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Integrale & Stammfunktionen
9.3.2021
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Lernzettel: Mathematik Stammfunktionen: Stammfunktionen F(x) Wichtigste Regel: f(x)=x F(x)= 1: n+1 x xn+1 f(x) x² x5 6x³ X Beispiele für verschiedene Typen: f(x) 1 2 -6 ableiten f(x) 3x²+6x+1 -4x³+7x+5 aufleiten f(x) 3x4 -2x² Ausgangsfunktion f(x) ableiten F(x) 1x + C 2x + c -6x + C aufleiten F(x) 1:2+1 x x²+1 = 1/3 x x³ + c 1/6 × x + C 6x 1/4 x x¹ = 3/2 × x + c ½ x X² + C Ableitung f'(x) F(x) 3x 1/3 x x³+6x1/2xx²+1x+c = 1x³+3x²+1x+c -4x1/4xx4 + 7×1/2xx²+5x+c = -1x4+3,5x²+5x+c F(x) 3x -1/3x³+ c = -1x³+c -2x 1/-1x¹ +c= 2x¹ +c Q1 Warum +c? Es gibt unendlich viele Stammfunktionen. Um alle irgendwie darzustellen, schreibt man +c. c kann positiv oder negativ oder ggf. sogar eine Dezimalzahl o.ä. sein. Im Integral schreiben wir allerdings kein +c. (c = Integrations Konstante) Lernzettel: Mathematik Integrale: a f(x)= 3x²- 4x +6 [0;1] (Einführungsaufgabe-leicht) b ²3x². - 4x + 6 dx → Integral aufstellen Stammfunktion = 1x³ 2x² + 6x lo¹ = F(b) = 1³-2²+6 - [F(a)= 0]a und b für x einsetzen = 1-2+6 - [0] = 5 f(x)= -x²+4 Flächeninhalt einer Funktion mit der X-Achse (ohne gegebene Grenzen) 1.) Nullstellen f(x) = 0 -x²+4= 0 -4 -x²=-4 | (-1) -x²=4 | V X12 V X₂=-2 Grenzen. 2/3.) Integral aufstellen/Stammfunktion S² -x² + 4 dx = -1/3x³+4x → Stammfunktion Schritte 1. Integral aufstellen 2. Stammfunktion 4.) Obere Grenze - untere Grenze F(b)- F(a) = -1/3 x 2³ + 4x 2-[-1/3 × (-2)³+ 4× (-2) = -1/3 x 8 + 8-[1/3× (-8)-8] = - 8/3+ 8-8/3 +8 = 32/3 Q1 3. F(b)- F(a) → ,,obere Grenze"- ,,untere Grenze" f(x) dx Q Merken! Auch, wenn Grenzen gegeben sind, muss man die Nullstellen berechnen, wenn...
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Alternativer Bildtext:
man den Flächeninhalt zwischen Graph und X-Achse haben möchte Schritte 1. Nullstellen berechnen 2. Integral aufstellen 3. Stammfunktion bilden 4. F(b)- F(a) Flächeninhalt einer Funktion mit der x-Achse (mit gegebener Grenze) f(x)=x²-4 [-2; 3] 1. Nullstellen x²-4 = 0 | +4 x² = 4 | V X12 V X₂= -2 → erste Nullstelle liegt im angegebenen Bereich = man stellt zweites Intervall auf → zweite Nullstelle ist eine der angegebenen Grenzen Neue Intervalle : [-2; 2] und [2;3] 2. Integrale aufstellen+ Stammfunktion L²x²- -2 : 1/3x³-4x x² - 4 dx 3. Obere Grenze- untere Grenze F(b)- F(a) = 1/3x2³ - 4x 2-[ 1/3× (-2)³- 4x (-2) =1/3x 8-8-[1/3x (-8) + 8] = - 32/3 → Betragsstriche = |-32/31, da Flächeninhalt nicht negativ = 32/3 2. Integrale aufstellen + Stammfunktion S²³² = 1/3x³ - 4x x² - 4 dx 3. Obere Grenze - untere Grenze F(b)- F(a) = 1/3x 3³-4x 3-[1/3x 2³-4x2] = 1/3x 27-12-[1/3x 8-8] = 9-12 - [8/3-8] = -3-8/3 + 8 = 7/3 Flächeninhalt 2 [2;3] Für den kompletten Flächeninhalt nur die 2 Flächeninhalte addieren! → 32/3 + 7/3 = 39/3 = 13 FE IN -3 -4 Bsp. Bild Flächeninhalt 1 [-2;2] Flächeninhalt zwischen 2 Funktionen (ohne gegebene Grenze) - Integralrechnung f(x)=x²- 2x; g(x)= -2x+1 1.) x²-2x = -2x +1 | +2x x² = 1 |v -> X₁ = 1 -> -1 und 1 2.) f(x)- g(x) V X₂ = -1 → sind die Grenzen =x²-2x - (-2x+1) =x²-2x +2x -1 =x²-1 das wird ins Integral eingesetzt 3.) ¹₁(x²-1) dx 4.) = 1/3x³ - 1x nach x auflösen 5.) F(b) = 1/3x (1)³- 1× (1) - [F(a)= 1/3× (-1)³- 1× (-1) = 1/3-1-[-1/3+1] =1/3 -1 +1/3 -1 = 2/3-2 = -4/3 = 4/3 FE (Flächeneinheiten), da es keinen negativen Flächeninhalt gibt Betrag M Bestimmtes und unbestimmtes Integral b forex f(x)dx = [F(x)]h = F(b) – F(a) [ f(x) dx = Bsp. Bild Zum Abschluss noch einmal der Unterschied zwischen einem bestimmten und einem unbestimmten Integral: : F(x) + c S₁ Schritte 1. Schnittpunkte berechnen. → f(x)=g(x) → Grenzen 2. f(x) g(x) bilden 3. Integral aufstellen f(x) - g(x) dx A=4.5 4. Stammfunktion bilden 5. ,,obere Grenze" - ,,untere Grenze" → F(b)- F(a) 6. ausrechnen → Ergebnis negativ? -> Betrag