Praktische Anwendungen der Flächenberechnung

Dieser Abschnitt demonstriert die praktische Anwendung der Integralrechnung anhand verschiedener Beispiele zur Flächenberechnung. Die Beispiele umfassen Flächen oberhalb, unterhalb und beidseitig der x-Achse sowie Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen.

1. Flächenberechnung oberhalb der x-Achse: Für die Funktion f(x) = (x-1)²/3 + 1 im Intervall [0; 2] wird die Stammfunktion gebildet und das bestimmte Integral berechnet.

2. Flächenberechnung unterhalb der x-Achse: Bei der Funktion f(x) = (x-1)² - 1 im Intervall [0; 2] werden Betragsstriche verwendet, um den positiven Flächeninhalt zu erhalten.

3. Flächenberechnung ober- und unterhalb der x-Achse (symmetrisch): Für f(x) = x³ - x im Intervall [-1; 1] wird die Symmetrie ausgenutzt, um die Berechnung zu vereinfachen.

4. Flächenberechnung ober- und unterhalb der x-Achse (nicht symmetrisch): Bei f(x) = x² + 2x im Intervall [-1; 3] werden die Flächen in verschiedenen Teilintervallen berechnet und addiert.

Example: Für die Funktion f(x) = x³ - x im Intervall [-1; 1]: A = 2 · ∫[0,1] (x³ - x) dx = 1/2 FE

Diese Beispiele verdeutlichen, wie die Integralrechnung zur Berechnung von Flächeninhalten in verschiedenen Situationen angewendet werden kann. Sie zeigen auch, wie wichtig es ist, die Lage der Fläche zur x-Achse zu berücksichtigen und gegebenenfalls die Berechnung in Teilintervalle aufzuteilen.

Fortgeschrittene Anwendungen der Integralrechnung

In diesem Abschnitt werden komplexere Anwendungen der Integralrechnung vorgestellt, insbesondere die Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen und die Bestimmung der Flächenbilanz.

Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen: Für die Funktionen f(x) = -(x-1)² + 2,5 und g(x) = (x-2)² wird die Fläche zwischen den Graphen berechnet. Hierbei ist es wichtig, die Schnittpunkte der Funktionen zu bestimmen und das Integral der Differenz der Funktionen zu bilden.

Highlight: Bei der Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionen ist es entscheidend, die obere von der unteren Funktion zu subtrahieren: ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

Berechnung der Flächenbilanz:

1. Für eine Funktion unterhalb der x-Achse: Am Beispiel von f(x) = (x-1)² - 1 im Intervall [0; 2] wird gezeigt, wie die Flächenbilanz berechnet wird, ohne Betragsstriche zu verwenden.

2. Für eine Funktion ober- und unterhalb der x-Achse: Mit f(x) = x³ - x im Intervall [-1; 1] wird demonstriert, wie sich positive und negative Flächenanteile ausgleichen können.

Example: Für f(x) = x³ - x im Intervall [-1; 1]: Flächenbilanz = ∫[-1,1] (x³ - x) dx = 0 FE

Diese fortgeschrittenen Anwendungen zeigen, wie vielseitig die Integralrechnung zur Bestimmung von Stammfunktionen und zur Berechnung von Flächeninhalten eingesetzt werden kann. Sie verdeutlichen auch die Bedeutung des unbestimmten und bestimmten Integrals für komplexe mathematische Probleme.