Klausur: Grundlagen Analysis, Mathe Grundkurs

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Koordinaten aller Hoch-, Tief- und Wendepunkte. 9 f(1) = ²0²-²2 ²2² +²21 +2 fürost≤7 Ein Rennwagen rutscht im Punkt P(alf(a)) von der Fahrbahn ab und bewegt sich geradlinig auf die rot eingezeichnete Bande zu, welche durch die Geradengleichung y= 3 beschrieben wird. Er trifft im Punkt Q(013) auf die Bande. Berechne die Koordinaten des Punktes P, an dem der Rennwagen die Fahrbahn verlassen hat. sieben (6,5 Punkte) Aufgabe 6: Forscher untersuchten fünf Tage lang das Wachstum einer bestimmten Bakteriensorte. Hierbei ergab sich, dass die von den Bakterien bedeckte Fläche durch die Funktion 3 4 5 Graph von f'(x) beschrieben werden kann. Hierbei bezeichnet f(t) die bedeckte Fläche in mm² zum Zeitpunkt tin Tagen. a) Berechne den Zeitpunkt an dem die bedeckte Fläche maximal ist. b) Bestimme die Zeiträume, in denen die bedeckte Fläche sinkt. c) Bestimme den Zeitpunkt an dem das Wachstum der Fläche maximal ist. y = 3 (2,5 Punkte) Aufgabe 7: Die abgebildete Kurve einer Rennstrecke lässt sich durch den Graphen der Funktion f mit f(x) = 2-0,25x² beschreiben. -2 -1 0 (2,5 Punkte) (1,5 Punkte) (2,5 Punkte) 1 2 VIEL ERFOLG NEW NEW NEW Mathe Klausur Aufgabe 1 a) f(x) = √5x +4 4(x)=√x V(X) = 5x + 4 V (X) = 5 f'(x) = 5-² (5x+4) 1 ² = 2,5 (5x14) 2 ✓ b) f(x) = (4x-5) 10 U (x) = X V(x) = 4 x-5 c) f(x) = 2 2-3x 1 U(x) = ²x V(X) - 2-3x 9 f'(x) = 4·10 (4x - 5) ³ 40 (4x-5) 9 10 Verkettung u(x) = sin (x) V(x) = COS (x) e) f(x) = x² 2 →> Verkettung u'(x) = 10 x V'(x) = 4 f'(x) = -3- -1 (2-3x)² 312-3x) - ² = a) f(x) = sin (x) • COS (x ) 2- (2-3x) U '(x) = -1 x ² V'(x) = -3. U (X) = X V(x) = sin(4x) Sin (4 x) 2 u'(x) = 2x 9 u'(x) = COS (x) V'(x) = sin (x) coser) costx) M STA(X) f(x) = cos(x) · cos (x) - Sin (x) Sin (x) - 1/2 Zoe G -> Verkettung →Produktregel → Verkettung und Produktregel g(x) = sin (x) g₁(x) = cos(x) h(x) = 4x h'(x) = 4 ^ ✓'(x) = 4⋅cos (4x) 2 f'(x) = 2xsin (4x) + 4 cos (4x) · X 112 1 1 A1: 4,5/5 2 2 A2:414 Aufgabe 2 1 _gegeben: f(x) = 3x³ - 2x +1 a) Mingece -geg- ges. Tangenteng leichung t(x)= f'(a) (x-a) + f(a) Rechnung a = 2 P (21 (2)) 2 f(x) = x² - 2 f'(x) = f'(a) Men f¹ (2) = 2²-2 = 2 f(a) = f(2) = +(x) = 2 · (x-2) -3 1 = 2x-4-3 = 2x 2x-1/²3/ X = O 4 on dem Geraden g 11 = = IE 슬 دالیا einseicen in Tangentengleichung ? 2 1 3.8- b) g: y = -2x + 7 Soll parallel cur Tangente sein. Steigung von y also muss x ²-2= 2 -2 f'(x) = -2 142 3 داس -12- 2+1 4. +1 X=0 f(0) = 3-0²-2-0 + 1 Im Punkt P(011) verläuft die Tangenie Grapnen van f parallel zur Aufgabe $ 4 a) Nein, da f'(x) an der keinen Vorzeichenwechsel b) Wanr. An der Stelle hat der Grapn, der Funktion f eine Minimumstelle da flux) an dieser Stelle eine Nullstelle und einen Vorzeichenwechsel von - nach + c) wahr. Am Graph von f'(x) sient man, dass f(x) > 0 f ist ist. Das heißt Intervall [1; 2] der Grapn von streng monoton steigend. Somit ist f (2) großer als f (1). X = hat d) falsch. $ X = 4 hat im Graph von f'(x) Das heißt f "(4) Steigung. Aufgabe 5 A 3 2 -geg - f(x) = 3 x ³ X Ableitungen eine positive muss 2 ± Extrem stellen Nullstellen von f': '(x) = 0 X₁ = : 2x-3=0 (-2)2 = 2 = √ 4+12 2 2 = 4 2 >O sein. X2 = 2-4 2 2.1 244 = 6/201 ==-2/2² 3x + 4 f'(x) = x² - 2x-3 f"(x)=2x-2 f(x) = 2 4-1-(-3) 11 = 11 Stelle X = 3 hat- H 2 ± √161 2 3 -17 einsetzen in f" (x): (3) = 2.3-2 6-2 = = 4 > O Tiefpunkt 11 → F" (-1) = 2 · (-1)-2 = -2-2 = -4 <0 Hochpunkt einsercen in f(x) A 3 f(3) = 3-3 = 9-9-9 + 4 = -5 17 3 2 3²-3·3+4 1 1 A4:414 →T (31-5) / 3 f (-1) = 3 (-1) ³ - (-1) ² - 3. (1) +4 === -1+3+4 →H (1¹)✓ zoe AS 515 Wendestellen: 2x-2=Q 2x = 2 X = 1 einsetten in f(x): f(₁) = 3-1³-1²-3-1 +4 1-3+4 Aufgabe 6 = 3 4 1 A 3 Antwort: Der Grapn von f hat im Punkt T(31-5) einen Tiefpunkt, im Punkt H (-11 41/3²) einen Hochpunkt und im Punkt W (113) einen Wendepunk.. W (113) geg a) ² = { ¹ (L) = 2 ² ² f'(t) = 0 4 9 3= √(-3) ²-4 2 2 2-12/20 3√2 2 3 77 3 3 9 2 f(t) = 2 + ³ - 2 + ² + 2/2 +2 t 3t+ 3 = 3-2 142 1.2 9 4 th= 342-6 3+1 = 27 4 = einsetzen in {"¹² (1) = 2 → Wendepunkt 2 - 3: NI6 9 f"(x) #0 für ≤ t ≤ 7 f"(t) = = + - 3 - einsetzen in f" 3 f" (6) = ₁·6-3 <=1,530 Minimum stelle 3 f(2)=4-2-3 -1530 → Maximumstelle Vergleichen der Maximumstelle mit Ranawerten: f(0) = 2 ^ $(7) = 8 23 f(2)= b) ● A Die bedeckle maximal -2 7 3 3 A: Die dem MIN 3 2 = 7 2 8 + 3 22 = 2,875 Intervalle: I₁ = [0:2)] I₂ = [2:6)] I ₂ 2 لم 3 f' (t) = ²/² + ²² - 3 t + 2/ 2 Nullstelln von f' : (ubernommen von a). 3 t₁ =6 t₂ = 2 Testwerte einsetzen. 9 I ₁ : f '(^) = 3²/3² - 1 ² -3-1 + ²/ bedeckte 2. und t 2-2+2 Fläche ist am 7+2 f(3) = 3-3 ²-3-3+2 = 2-3 + 2 = 15 30 3+ 8- 8 = [2:6)] I ₂ = [67] M 3 9 9 13/1.9 -9 + 2 - - 4 Is : f'(6,5) = - 6,5 ²-3-6,52/2 + 3-42,25-19, 5 + = zweiten Tag 9 = -1/32 <0 Streng monoton Steigend = 4 0,84 > 0 →Streng monoton. fallend → Streng monoton. Stergend Flache sinkst 6 Tag zwischen. 2, 5 5 1,5 2,5 A6 6.5/65 c) Nunstellen {"(t) = 0 MIJ A 4 f (4) t =3 t-3 FO t 11 U = 11 vergleichen mit Randwerten. 9 f(0) = Z = 4.S 3 2 f' (7) = 8 · 3 = TI = 3 4 Doil coll 45 00 8 849-21+2 8-4 16 3. 2 von 2 maximal {"(t) 143 Hiww. -3-7+Z 9 1,875 3.447 12 + 2 Nummer 7 geg f(x) = 2-0,25 x ² 2 2-0,25 x ²-3 = X 2-0,25 x ²3 - x = Schnittpunkt berechnen: 2 2-0,25 x ² = x+3 S 9 Das Wachstum der Fläche ist Begronden antersuchtung om hochste. THE BI zu Beginn der Beobachtungen Tangenteng ieichung: a=0 f'(x)= -0.5x O O 1-3 -0,25 x²-x + 2-3 = 0 einsetzen in F"(t) 3. {"(4) #0 = f(a) = 3 f'(a) = -0,5-0 =0 →(x)=30 33 T&C = (x-0) +3 X +3 M/F → wendestele a (013) Tangente ist falsch herge Celet and zufällig vichtig Weiterführung nr 7 2 x − 1 =0 -0,25 X 1 ± √(-1)² - 4·(-0.25).(-1) = 1 ± √ 1-1 -0,5 einsetzen in f(x): f(-2) = 2-0,25 Ma = 71 = 2-1-0,25 - 2-1 = 1 20,254 . P (-211) P (-2) 1 0.5 = 2 Antwort 2 Der Rennwagen hat die Fanibann im Punkt P (-211) verlassen Zufallig voltigs Engebnis Für den Ansatz mit dr rangerte gibt es 112 A3:313 A1: 4/25