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Kurvendiskussion einfach erklärt: Nullstellen, Ableitungen und mehr

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Kurvendiskussion einfach erklärt: Nullstellen, Ableitungen und mehr

Giulia

@g.xiulia.x

89 Follower

Die Kurvendiskussion ist eine grundlegende Methode der Analysis, um den Verlauf von Funktionen zu untersuchen. Sie umfasst die Bestimmung von Nullstellen, Extrempunkten, Wendepunkten und dem Monotonieverhalten einer Funktion.

Nullstellen sind die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse
Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) werden durch Nullsetzen der ersten Ableitung ermittelt
Wendepunkte ergeben sich aus den Nullstellen der zweiten Ableitung
Die Monotonie beschreibt das Steigen und Fallen der Funktion

17.11.2021

30508

Regeln :
Potenzregel:
konstantenregel:
summenregel:
Ableitungen
Faktorregel:
Wendepunkt von f
Extrem punkt von f'.
Nullstelle von f"
f(x)= x

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Nullstellen und ihre Berechnung

Die Bestimmung von Nullstellen ist ein wesentlicher Bestandteil der Kurvendiskussion. Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse, bei denen f(x) = 0 gilt.

Für verschiedene Funktionstypen gibt es spezifische Vorgehensweisen:

Lineare Funktionen (1. Grades): Lösen durch einfache Termumformungen
Quadratische Funktionen (2. Grades): Anwendung der p-q-Formel oder Ausklammern
Funktionen 3. Grades: Ausklammern und anschließende Anwendung der p-q-Formel
Funktionen 4. Grades: Substitution und Rücksubstitution

Beispiel: Für f(x) = x² + 4x + 2 ergeben sich die Nullstellen x₁ = -2 + √2 und x₂ = -2 - √2 durch Anwendung der p-q-Formel.

Vocabulary: Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, bei denen nur ganzzahlige Potenzen von x vorkommen.

Die Fähigkeit, Nullstellen effizient zu berechnen, ist entscheidend für eine umfassende Kurvendiskussion und das Verständnis des Funktionsverhaltens.

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Steigung und durchschnittliche Änderungsrate

Die Analyse der Steigung ist ein wesentlicher Bestandteil der Kurvendiskussion und gibt Aufschluss über das Monotonieverhalten einer Funktion.

Vorgehensweise zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt:

Die erste Ableitung f'(x) bilden
Die x-Koordinate des Punktes in f'(x) einsetzen

Beispiel: Für f(x) = 2x² + 3 und den Punkt P(3|24) ergibt sich eine Steigung von 12.

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen zwei Punkten wird durch die Formel m = Δy / Δx berechnet.

Definition: Die Monotonie einer Funktion beschreibt, ob diese steigt oder fällt. Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn ihre Steigung überall positiv ist.

Die Untersuchung der Steigung ist entscheidend für die Erstellung einer Monotonie Tabelle und das Verständnis des Funktionsverhaltens im Rahmen der Kurvendiskussion.

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Grundlagen der Kurvendiskussion

Die Kurvendiskussion ist ein zentrales Werkzeug in der Analysis, um den Verlauf von Funktionen detailliert zu untersuchen. Dieses Kapitel führt wichtige Regeln und Konzepte ein, die für die Durchführung einer Kurvendiskussion unerlässlich sind.

Zunächst werden grundlegende Ableitungsregeln vorgestellt:

Die Potenzregel: f(x) = xⁿ wird zu f'(x) = n·xⁿ⁻¹
Die Konstantenregel: f(x) = k wird zu f'(x) = 0
Die Summenregel: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen
Die Faktorregel: f(x) = c·g(x) wird zu f'(x) = c·g'(x)

Definition: Ein Extrempunkt von f ist eine Nullstelle von f'. Ein Wendepunkt von f ist ein Extrempunkt von f' und eine Nullstelle von f''.

Highlight: Wenn f fällt, verläuft f' unterhalb der x-Achse. Wenn f steigt, verläuft f' oberhalb der x-Achse.

Diese Grundlagen bilden das Fundament für die Kurvendiskussion und ermöglichen es, wichtige Eigenschaften von Funktionen zu analysieren und zu verstehen.

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Wendepunkte und ihre Berechnung

Wendepunkte sind ein weiterer wichtiger Aspekt der Kurvendiskussion. Sie markieren Stellen, an denen sich die Krümmung einer Funktion ändert.

Vorgehensweise zur Bestimmung von Wendepunkten:

Die zweite Ableitung f''(x) = 0 setzen
Den x-Wert in f'''(x) einsetzen, um die Art des Wendepunkts zu bestimmen
Den x-Wert in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzen, um den y-Wert zu ermitteln

Definition: Das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt ist f''(x) = 0. Das hinreichende Kriterium erfordert f'''(x) ≠ 0.

Highlight: Ein Vorzeichenwechsel in f''(x) deutet auf einen Wendepunkt hin.

Beispiel: Für f(x) = 1/2x³ - 2/3x² ergibt sich ein Rechts-Links-Wendepunkt bei (1, -1).

Die Berechnung von Wendepunkten ist entscheidend für das Verständnis des Kurvenverlaufs und ergänzt die Analyse von Extrempunkten in der Kurvendiskussion.

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Extrempunkte und ihre Bestimmung

Die Ermittlung von Extrempunkten ist ein zentraler Aspekt der Kurvendiskussion. Extrempunkte umfassen Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion und geben Aufschluss über lokale Maxima und Minima.

Vorgehensweise zur Bestimmung von Extrempunkten:

Die erste Ableitung f'(x) = 0 setzen
Den x-Wert in f''(x) einsetzen, um zwischen Hoch- und Tiefpunkt zu unterscheiden
Den x-Wert in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzen, um den y-Wert zu bestimmen

Definition: Das notwendige Kriterium besagt, dass für einen Extrempunkt f'(x) = 0 gelten muss. Das hinreichende Kriterium verwendet die zweite Ableitung zur Klassifizierung.

Beispiel: Für f(x) = 2x² + 3x - 5 ergibt sich ein Tiefpunkt bei (-3/4, -49/8).

Die Analyse von Extrempunkten ist essentiell für das Verständnis des Monotonieverhaltens einer Funktion und bildet einen wichtigen Teil der Kurvendiskussion Übersicht.

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Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) werden durch Nullsetzen der ersten Ableitung ermittelt
Wendepunkte ergeben sich aus den Nullstellen der zweiten Ableitung
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Nullstellen und ihre Berechnung

Die Bestimmung von Nullstellen ist ein wesentlicher Bestandteil der Kurvendiskussion. Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse, bei denen f(x) = 0 gilt.

Für verschiedene Funktionstypen gibt es spezifische Vorgehensweisen:

Lineare Funktionen (1. Grades): Lösen durch einfache Termumformungen
Quadratische Funktionen (2. Grades): Anwendung der p-q-Formel oder Ausklammern
Funktionen 3. Grades: Ausklammern und anschließende Anwendung der p-q-Formel
Funktionen 4. Grades: Substitution und Rücksubstitution

Beispiel: Für f(x) = x² + 4x + 2 ergeben sich die Nullstellen x₁ = -2 + √2 und x₂ = -2 - √2 durch Anwendung der p-q-Formel.

Vocabulary: Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, bei denen nur ganzzahlige Potenzen von x vorkommen.

Die Fähigkeit, Nullstellen effizient zu berechnen, ist entscheidend für eine umfassende Kurvendiskussion und das Verständnis des Funktionsverhaltens.

Steigung und durchschnittliche Änderungsrate

Die Analyse der Steigung ist ein wesentlicher Bestandteil der Kurvendiskussion und gibt Aufschluss über das Monotonieverhalten einer Funktion.

Vorgehensweise zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt:

Die erste Ableitung f'(x) bilden
Die x-Koordinate des Punktes in f'(x) einsetzen

Beispiel: Für f(x) = 2x² + 3 und den Punkt P(3|24) ergibt sich eine Steigung von 12.

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen zwei Punkten wird durch die Formel m = Δy / Δx berechnet.

Definition: Die Monotonie einer Funktion beschreibt, ob diese steigt oder fällt. Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn ihre Steigung überall positiv ist.

Die Untersuchung der Steigung ist entscheidend für die Erstellung einer Monotonie Tabelle und das Verständnis des Funktionsverhaltens im Rahmen der Kurvendiskussion.

Grundlagen der Kurvendiskussion

Zunächst werden grundlegende Ableitungsregeln vorgestellt:

Die Potenzregel: f(x) = xⁿ wird zu f'(x) = n·xⁿ⁻¹
Die Konstantenregel: f(x) = k wird zu f'(x) = 0
Die Summenregel: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen
Die Faktorregel: f(x) = c·g(x) wird zu f'(x) = c·g'(x)

Definition: Ein Extrempunkt von f ist eine Nullstelle von f'. Ein Wendepunkt von f ist ein Extrempunkt von f' und eine Nullstelle von f''.

Highlight: Wenn f fällt, verläuft f' unterhalb der x-Achse. Wenn f steigt, verläuft f' oberhalb der x-Achse.

Diese Grundlagen bilden das Fundament für die Kurvendiskussion und ermöglichen es, wichtige Eigenschaften von Funktionen zu analysieren und zu verstehen.

Wendepunkte und ihre Berechnung

Wendepunkte sind ein weiterer wichtiger Aspekt der Kurvendiskussion. Sie markieren Stellen, an denen sich die Krümmung einer Funktion ändert.

Vorgehensweise zur Bestimmung von Wendepunkten:

Die zweite Ableitung f''(x) = 0 setzen
Den x-Wert in f'''(x) einsetzen, um die Art des Wendepunkts zu bestimmen
Den x-Wert in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzen, um den y-Wert zu ermitteln

Definition: Das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt ist f''(x) = 0. Das hinreichende Kriterium erfordert f'''(x) ≠ 0.

Highlight: Ein Vorzeichenwechsel in f''(x) deutet auf einen Wendepunkt hin.

Beispiel: Für f(x) = 1/2x³ - 2/3x² ergibt sich ein Rechts-Links-Wendepunkt bei (1, -1).

Die Berechnung von Wendepunkten ist entscheidend für das Verständnis des Kurvenverlaufs und ergänzt die Analyse von Extrempunkten in der Kurvendiskussion.

Extrempunkte und ihre Bestimmung

Die Ermittlung von Extrempunkten ist ein zentraler Aspekt der Kurvendiskussion. Extrempunkte umfassen Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion und geben Aufschluss über lokale Maxima und Minima.

Vorgehensweise zur Bestimmung von Extrempunkten:

Die erste Ableitung f'(x) = 0 setzen
Den x-Wert in f''(x) einsetzen, um zwischen Hoch- und Tiefpunkt zu unterscheiden
Den x-Wert in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzen, um den y-Wert zu bestimmen

Definition: Das notwendige Kriterium besagt, dass für einen Extrempunkt f'(x) = 0 gelten muss. Das hinreichende Kriterium verwendet die zweite Ableitung zur Klassifizierung.

Beispiel: Für f(x) = 2x² + 3x - 5 ergibt sich ein Tiefpunkt bei (-3/4, -49/8).

Die Analyse von Extrempunkten ist essentiell für das Verständnis des Monotonieverhaltens einer Funktion und bildet einen wichtigen Teil der Kurvendiskussion Übersicht.