Mathematik

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Parallelogramm

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19. Feb. 2026

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Mathe Lambacher Schweizer Lösungen für Klasse 9 und Qualifikationsphase

Ariana Farahani

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Voici le résumé optimisé pour le référencement en français :... Mehr anzeigen

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$# Hausaufgaben S. 145 Nr. 2 b) A(-51-3); B(21-8) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \ -8$

Page 2 : Vérification des propriétés des parallélogrammes

Cette page poursuit l'analyse des parallélogrammes en vérifiant leurs propriétés caractéristiques à partir des coordonnées de leurs sommets.

Highlight : Pour qu'un quadrilatère soit un parallélogramme, ses côtés opposés doivent être égaux et parallèles.

On examine plusieurs ensembles de points pour déterminer s'ils forment un parallélogramme. Par exemple, pour les points A(0|4|5), B(7|7|7), C(11|8|5), et D(4|5|5), on calcule les vecteurs AB, BC, CD, et DA pour vérifier s'ils satisfont aux conditions d'un parallélogramme.

Exemple : AB = (7-0, 7-4, 7-5) = (7, 3, 2) CD = (4-11, 5-8, 5-5) = (-7, -3, 0) On vérifie si AB = -CD

La méthode est répétée pour d'autres ensembles de points, en calculant systématiquement les vecteurs entre les sommets adjacents et opposés.

Vocabulaire : Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Dans certains cas, on conclut que le quadrilatère n'est pas un parallélogramme car les conditions nécessaires ne sont pas remplies, comme l'égalité des côtés opposés ou le parallélisme.

$# Hausaufgaben S. 145 Nr. 2 b) A(-51-3); B(21-8) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \ -8$

Page 3 : Triangles rectangles et calculs d'aires

Cette page se concentre sur les propriétés des triangles rectangles et les calculs d'aires, en utilisant les Lösungen Lambacher Schweizer pour résoudre des problèmes plus complexes.

Définition : Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles mesure 90 degrés.

L'exercice 9b) explore les triangles possibles formés par trois points donnés. On utilise le théorème de Pythagore pour vérifier si le triangle est rectangle.

Highlight : Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

On calcule les longueurs des côtés du triangle en utilisant la formule de distance entre deux points dans l'espace tridimensionnel :

|AB| = √ $(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²$

L'aire du triangle est calculée en utilisant la formule de l'aire d'un triangle : A = (1/2) * base * hauteur.

Exemple : Pour un triangle avec |AB| = 7, |BC| = 7, et |AC| = √98, on vérifie si c² = a² + b² : 98 = 49 + 49, ce qui confirme que le triangle est rectangle.

La page présente également des calculs pour différents triangles, en vérifiant leurs propriétés et en calculant leurs aires.

$# Hausaufgaben S. 145 Nr. 2 b) A(-51-3); B(21-8) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \ -8$

Page 4 : Problèmes avancés de géométrie analytique

Cette dernière page aborde des problèmes plus complexes de géométrie analytique, en utilisant les concepts et techniques des Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien.

L'exercice 8 traite d'un parallélogramme ABCD avec des coordonnées spécifiques pour certains points. On demande de trouver les coordonnées des points manquants en utilisant les propriétés des parallélogrammes.

Vocabulaire : Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

On utilise deux méthodes de résolution :

Calcul direct des vecteurs et application des propriétés du parallélogramme.
Utilisation des relations entre les coordonnées des sommets opposés.

Exemple : Si AB = DC, alors les composantes de ces vecteurs sont égales : $x_B - x_A$ = $x_C - x_D$ $y_B - y_A$ = $y_C - y_D$ $z_B - z_A$ = $z_C - z_D$

La page présente également des calculs pour vérifier que les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu, une propriété caractéristique de cette figure géométrique.

Highlight : La vérification des propriétés géométriques à l'aide de calculs analytiques est une compétence clé dans l'étude de la géométrie analytique.

Ces exercices démontrent l'application pratique des concepts de géométrie analytique et renforcent la compréhension des propriétés des figures géométriques dans l'espace tridimensionnel.

$# Hausaufgaben S. 145 Nr. 2 b) A(-51-3); B(21-8) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \ -8$

Page 1 : Calculs vectoriels et parallélogrammes

Cette page présente des solutions détaillées pour plusieurs exercices de géométrie analytique, en se concentrant sur les calculs vectoriels et les propriétés des parallélogrammes.

Vocabulaire : Un vecteur est un segment orienté caractérisé par une direction, un sens et une longueur.

L'exercice 2b) demande de calculer les coordonnées du vecteur AB à partir des points A(-5|-3) et B(2|-8). La solution est obtenue en soustrayant les coordonnées : AB = (2-(-5), -8-(-3)) = (7, -5).

Exemple : Pour le vecteur AB, on calcule : Composante x : 2 - (-5) = 7 Composante y : -8 - (-3) = -5 Donc AB = (7, -5)

L'exercice 5f) utilise une méthode similaire pour le vecteur AB avec A(1|5|6) et B(1|6|7).

L'exercice 7 traite d'un parallélogramme. On calcule la longueur d'un côté en utilisant la formule de distance entre deux points : √ $x₂-x₁$ ² + $y₂-y₁$ ² + $z₂-z₁$ ².

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

La page se termine par des calculs supplémentaires de vecteurs et de distances pour différents points dans l'espace à trois dimensions.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Stefan S

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Samantha Klich

Android-Nutzerin

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Basil

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Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Mathe Lambacher Schweizer Lösungen für Klasse 9 und Qualifikationsphase

Ariana Farahani

@arianafarahani_93fc07

Voici le résumé optimisé pour le référencement en français :

Les Lösungen Lambacher Schweizerpour les mathématiques au lycée offrent des solutions détaillées aux exercices du manuel. Ce document présente des résolutions d'exercices de géométrie analytique, notamment sur les vecteurs... Mehr anzeigen

$# Hausaufgaben S. 145 Nr. 2 b) A(-51-3); B(21-8) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \ -8$

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Page 2 : Vérification des propriétés des parallélogrammes

Cette page poursuit l'analyse des parallélogrammes en vérifiant leurs propriétés caractéristiques à partir des coordonnées de leurs sommets.

Highlight : Pour qu'un quadrilatère soit un parallélogramme, ses côtés opposés doivent être égaux et parallèles.

Exemple : AB = (7-0, 7-4, 7-5) = (7, 3, 2) CD = (4-11, 5-8, 5-5) = (-7, -3, 0) On vérifie si AB = -CD

La méthode est répétée pour d'autres ensembles de points, en calculant systématiquement les vecteurs entre les sommets adjacents et opposés.

Vocabulaire : Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Dans certains cas, on conclut que le quadrilatère n'est pas un parallélogramme car les conditions nécessaires ne sont pas remplies, comme l'égalité des côtés opposés ou le parallélisme.

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Page 3 : Triangles rectangles et calculs d'aires

Cette page se concentre sur les propriétés des triangles rectangles et les calculs d'aires, en utilisant les Lösungen Lambacher Schweizer pour résoudre des problèmes plus complexes.

Définition : Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles mesure 90 degrés.

L'exercice 9b) explore les triangles possibles formés par trois points donnés. On utilise le théorème de Pythagore pour vérifier si le triangle est rectangle.

Highlight : Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

On calcule les longueurs des côtés du triangle en utilisant la formule de distance entre deux points dans l'espace tridimensionnel :

|AB| = √ $(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²$

L'aire du triangle est calculée en utilisant la formule de l'aire d'un triangle : A = (1/2) * base * hauteur.

Exemple : Pour un triangle avec |AB| = 7, |BC| = 7, et |AC| = √98, on vérifie si c² = a² + b² : 98 = 49 + 49, ce qui confirme que le triangle est rectangle.

La page présente également des calculs pour différents triangles, en vérifiant leurs propriétés et en calculant leurs aires.

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Cette dernière page aborde des problèmes plus complexes de géométrie analytique, en utilisant les concepts et techniques des Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien.

Vocabulaire : Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

On utilise deux méthodes de résolution :

Calcul direct des vecteurs et application des propriétés du parallélogramme.
Utilisation des relations entre les coordonnées des sommets opposés.

Exemple : Si AB = DC, alors les composantes de ces vecteurs sont égales : $x_B - x_A$ = $x_C - x_D$ $y_B - y_A$ = $y_C - y_D$ $z_B - z_A$ = $z_C - z_D$

La page présente également des calculs pour vérifier que les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu, une propriété caractéristique de cette figure géométrique.

Highlight : La vérification des propriétés géométriques à l'aide de calculs analytiques est une compétence clé dans l'étude de la géométrie analytique.

Ces exercices démontrent l'application pratique des concepts de géométrie analytique et renforcent la compréhension des propriétés des figures géométriques dans l'espace tridimensionnel.

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Page 1 : Calculs vectoriels et parallélogrammes

Cette page présente des solutions détaillées pour plusieurs exercices de géométrie analytique, en se concentrant sur les calculs vectoriels et les propriétés des parallélogrammes.

Vocabulaire : Un vecteur est un segment orienté caractérisé par une direction, un sens et une longueur.

L'exercice 2b) demande de calculer les coordonnées du vecteur AB à partir des points A(-5|-3) et B(2|-8). La solution est obtenue en soustrayant les coordonnées : AB = (2-(-5), -8-(-3)) = (7, -5).

Exemple : Pour le vecteur AB, on calcule : Composante x : 2 - (-5) = 7 Composante y : -8 - (-3) = -5 Donc AB = (7, -5)

L'exercice 5f) utilise une méthode similaire pour le vecteur AB avec A(1|5|6) et B(1|6|7).

L'exercice 7 traite d'un parallélogramme. On calcule la longueur d'un côté en utilisant la formule de distance entre deux points : √ $x₂-x₁$ ² + $y₂-y₁$ ² + $z₂-z₁$ ².

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

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