Page 2 : Vérification des propriétés des parallélogrammes

Cette page poursuit l'analyse des parallélogrammes en vérifiant leurs propriétés caractéristiques à partir des coordonnées de leurs sommets.

Highlight : Pour qu'un quadrilatère soit un parallélogramme, ses côtés opposés doivent être égaux et parallèles.

On examine plusieurs ensembles de points pour déterminer s'ils forment un parallélogramme. Par exemple, pour les points A(0|4|5), B(7|7|7), C(11|8|5), et D(4|5|5), on calcule les vecteurs AB, BC, CD, et DA pour vérifier s'ils satisfont aux conditions d'un parallélogramme.

Exemple : AB = (7-0, 7-4, 7-5) = (7, 3, 2) CD = (4-11, 5-8, 5-5) = (-7, -3, 0) On vérifie si AB = -CD

La méthode est répétée pour d'autres ensembles de points, en calculant systématiquement les vecteurs entre les sommets adjacents et opposés.

Vocabulaire : Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Dans certains cas, on conclut que le quadrilatère n'est pas un parallélogramme car les conditions nécessaires ne sont pas remplies, comme l'égalité des côtés opposés ou le parallélisme.

Page 3 : Triangles rectangles et calculs d'aires

Cette page se concentre sur les propriétés des triangles rectangles et les calculs d'aires, en utilisant les Lösungen Lambacher Schweizer pour résoudre des problèmes plus complexes.

Définition : Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles mesure 90 degrés.

L'exercice 9b) explore les triangles possibles formés par trois points donnés. On utilise le théorème de Pythagore pour vérifier si le triangle est rectangle.

Highlight : Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

On calcule les longueurs des côtés du triangle en utilisant la formule de distance entre deux points dans l'espace tridimensionnel :

|AB| = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)

L'aire du triangle est calculée en utilisant la formule de l'aire d'un triangle : A = (1/2) * base * hauteur.

Exemple : Pour un triangle avec |AB| = 7, |BC| = 7, et |AC| = √98, on vérifie si c² = a² + b² : 98 = 49 + 49, ce qui confirme que le triangle est rectangle.

La page présente également des calculs pour différents triangles, en vérifiant leurs propriétés et en calculant leurs aires.

Page 4 : Problèmes avancés de géométrie analytique

Cette dernière page aborde des problèmes plus complexes de géométrie analytique, en utilisant les concepts et techniques des Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien.

L'exercice 8 traite d'un parallélogramme ABCD avec des coordonnées spécifiques pour certains points. On demande de trouver les coordonnées des points manquants en utilisant les propriétés des parallélogrammes.

Vocabulaire : Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

On utilise deux méthodes de résolution :

1. Calcul direct des vecteurs et application des propriétés du parallélogramme.
2. Utilisation des relations entre les coordonnées des sommets opposés.

Exemple : Si AB = DC, alors les composantes de ces vecteurs sont égales : (x_B - x_A) = (x_C - x_D) (y_B - y_A) = (y_C - y_D) (z_B - z_A) = (z_C - z_D)

La page présente également des calculs pour vérifier que les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu, une propriété caractéristique de cette figure géométrique.

Highlight : La vérification des propriétés géométriques à l'aide de calculs analytiques est une compétence clé dans l'étude de la géométrie analytique.

Ces exercices démontrent l'application pratique des concepts de géométrie analytique et renforcent la compréhension des propriétés des figures géométriques dans l'espace tridimensionnel.