Alternativer Bildtext:

den Flächeninhalt des Parallelogramms. = ;V= AC =U+V = 1 D(31 01-2), -2 000 LBH = 5 AC²+ BD² = -2 3 →y=115° →8 = 65° AD=v= 00€ + 2. (AB²+ AD²) = 2. b) Zeigen Sie, dass für die Diagonalenvektoren AC und BD gilt: AC² + BD² = 2 · (AB²+ AD²). -2 A 1 3 -3 2 (a.b)-c = Zahl - Vektor = n.d. 3 =√115 10,72 FE (a+b)x (c-d) ((a+b)xc).d = Vektor x Vektor = Vektor = Vektor Vektor = Zahl = 14+34 = 48 3 2 (0-6) 3 C( 1| 1| 1) ⇒ AC² + BD² = 2. (AB²+ AD²) BD=u-V= +-3 |= 2.(14+10) = 48 ((a+b).c).d = Zahl. Vektor = Vektor v D จ d 106 1 = 3 3 B Vektorprodukt Neben dem bereits bekannten Skalarprodukt, bei dem zwei Vektoren miteinander multipliziert eine reelle Zahl ergeben, gibt es ein weiteres Produkt von Vektoren, das Vektorprodukt. Aus der Physik ist bekannt, dass das Produkt zweier vektorieller Größen auch wieder eine vektorielle Größe ergeben kann (z.B. Drehmoment M = r ×F). Erkennbar ist dieses Produkt an dem,,x" zwischen den beiden zu multiplizierenden Vektoren, daher auch der Name ,,Kreuzprodukt". Mathematisch bedeutet dies: Das Vektor- oder Kreuzprodukt axb von zwei Vektoren a und b im dreidimensionalen Raum ist ein Vektor, der orthogonal zu a und orthogonal zu b, und damit orthogonal zu der von a und b aufgespannten Ebene ist. Man errechnet also damit einen Vektor , der sowohl auf Vektor a, als auch auf Vektor b steht. → eine Anwendung des Vektorproduktes. Für die Vektoren a = Vektorprodukt von a und b. bx ax a, und b = b a₂ b₂ ax heißt ax axb= ay bx x by az b, Es gilt: axb ist orthogonal zu a und axb ist orthogonal zu b. Kreuzprodukt hat also als Ergebnis einen Vektor → deswegen als zweiter Name auch Vektorprodukt. Im physikalischen Raum bedeutet es, dass sie sich wie Daumen a, Zeigefinger b und abgespreizter Mittelfinger axb der rechten Hand verhalten (Rechte-Hand-Regel). ● b und Dieser Vektor ist so orientiert, dass a, b und axb in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Mathematisch heißt das, dass die drei Vektoren a, axb gleich orientiert sind wie Achsen des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems. Ein Drehen des ersten Vektors a in den zweiten Vektor b ergibt die positive Richtung des Vektors axb über den Rechtsschraubensinn. ● Eigenschaften des Vektorproduktes Für das Vektorprodukt gelten die folgenden Rechengesetze: bxa=– axb (Alternativgesetz) (a+b)xc=axc+bxC (Distributivgesetz) λ(à×ñ)=(λà)×õ+à×(λb)‚ λ = R ax = ab₂-a₂ by a, b, a, b, das aby-a b c = axb axb (Multiplikation mit einer reellen Zahl) b Berechnungsschema: 1 2 5 1 2 5 1 X AC A 1-21 3 71 Der Betrag von axb gibt den Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms an. Ausgedrückt durch den von a und b eingeschlossenen Winkel & gilt: 4 |ax b = a b sina . • -2 3 7 -2 -1 → Flächeninhalt eines Dreiecks ABC = X NR: 14-15 -10- 7 = 3+ 4 ^ CA 24 2-7-5-3 5-(-2)-1.7 1-3-2-(-2) Beispielaufgaben: Also nochmal deutlich: Flächeninhalt eines Parallelogramms: A = lã xả 12)-(-52) 7 1 AB = 1. Berechne das Vektorprodukt der Vektoren a B (2-1-(-1)-4) QOCCO (-1)-3-1-1 = (-3) -1 1.4-2.3 A₁ 2.1-(-1)-4 } (-1)-3-1-1 } 1.4-2.3 Das Vektorprodukt dient also einerseits zum Ermitteln eines zu zwei Ausgangsvektoren senkrechten Vektors (Normalenvektor) und andererseits zu Flächeninhaltsberechnung eines Parallelogramms oder Dreiecks (= halber Parallelogrammflächeninhalt). == 4-6 Erklärung unter: = https://voutu.be/Sufu17BAZ2A 2 1 ABX AC 2 b α und b b sin a = a 4 2. Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren a = Parallelogramms. 0.5 A = 1 A== 1 3 2 x 4 = 2-(-4) HHH (-3) -1 4-6 3. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(-1|2|3), B(3|0|2) und C(5|2|-2). 4 6 10-0 10 14 −6+20 0 +12 12 ABX AC= Mit dem CAS-Rechner: Edit Aktion Interaktiv Umformungen Weiterführend Berechnungen Komplex Liste Matrix Vektor (Un->Gleichungen fill Manuell dim augment Finanzmath Befehle 2·1−(−1).4` (-1).3-1.1 1.4-2.3 Verteilungsfunktione unity angle norm crossP dotP toRect toPol toSph toCyl Algeb Standard Reell 2n ▲ ™M = zu Aufgabe 1 0 Edit Aktion Interaktiv crossP (2 ▲ Hathl Math2 Math3 Trig Var abc [1 3 PEJA ▼ Algeb 2 Line 18 1 fax Simp fdx ▼▼ - und b R i 2 (0) (8) (88) 20 sin COS tan 6 Standard Reell 20 VI e In lim -0 2012 O ↑ 1 √100+196+144 √440 FE 10,5 FE 2 00 IN LESE 8 t = Ans EXE 3 4 aufgespannten √6² + (−4)² + (−2)² = √56 FE zu Aufgabe 2 Edit Aktion Interaktiv Jdx- Simp Jdx ▲ norm (crossP (2 Math1 Math2 Math3 Trig Var abc Algeb Line L ■ ELA ↑ e I In Y + Y [0] sin COS tan 2+√ 14 अ i 2012 U (:88) >A 8 Ans Standard Reell 2n lim ■口 8 t X ПО EXE Eine Zusammenfassung der für die Vektorrechnung vorrangigen CAS-Funktionen findest Du auf dem Arbeitsblatt ,,Vektorrechnung mit CAS". CO 1. Gegeben sind die Vektoren a = 3 4 a) ū = 2 ;V 6 2 Berechnen Sie folgende Produkte: axb; axc;(axb)xc; bxc; ax (bx c) 2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des von u und V aufgespannten Parallelogramms. Übungen zu Vektorprodukt (a.b). (c.d) a. (c-d) ((a.b).c).d Vektoren u = ; b: 2 b) ú=\ 3 = 5 0 (a.b). (c+d) (axb). (cxd) (laxb)xã)xã = 10 -11 3. Berechnen Sie mit Hilfe des Vektorprodukts den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. a) A(2| -1| 3), B(-5| 4| 7), C(-2| -3| 0) b) A(-3| 2| 7), B( 4| -4| 0), C(0| 2| -3) c) A(1,7| 0| -2), B( 0| 3,5| -1), C( 1| -1| 1) 4. Was kommt bei den folgenden Produkten heraus? Skalar oder Vektor oder ist dieser Vektorterm nicht definiert? c) u = 0 5 (a-b)-c (a+b)x (c-d) 2 8 5. A(2| 3| -2) sei Eckpunkt eines Parallelogramms ABCD, das aufgespannt wird durch die ((a+b).c).d ((a+b)xc).d a) Bestimmen Sie die übrigen Eckpunkte, die Innenwinkel und den Flächeninhalt des Parallelogramms. b) Zeigen Sie, dass für die Diagonalenvektoren AC und BD gilt: AC² + BD² = 2. (AB²+ AD²).