Analytische Geometrie Klausur mit Lösungen und Formelsammlung

Josephine

29.11.2025

Mathe

Klausur + Lösung + Formelsammlung: Analytische Geometrie

Fächer

Mathe

Algebra

Vektorprodukte

Flächeninhalt dreieck vektoren

2.405

•

29. Nov. 2025

•

3 Seiten

Analytische Geometrie Klausur mit Lösungen und Formelsammlung

Josephine

@josephine_s

Willkommen zu den Grundlagen der Analytischen Geometrie! In dieser Zusammenfassung... Mehr anzeigen

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$# Themenfeld: Basiswissen „Analytische Geometrie" Aufgabe 1 Gegeben sind die Punkte A (-1|2|1) und B (1|0|4) sowie die Vektoren $\overright$

Dreiecksberechnungen im Raum

In der analytischen Geometrie kannst du problemlos mit Dreiecken im dreidimensionalen Raum arbeiten. Um die Seitenlängen eines Dreiecks zu berechnen, bestimmst du zunächst die Verbindungsvektoren zwischen den Punkten.

Für ein Dreieck mit Punkten A, B und C berechnest du die Seitenlängen durch die Beträge der Verbindungsvektoren:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

Der Umfang des Dreiecks ergibt sich dann aus der Summe aller Seitenlängen:

$u = |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CA}|$

Um die Winkel in einem Dreieck zu berechnen, nutzt du die Formel mit dem Skalarprodukt:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$

Diese Formel wandelst du dann mit dem Taschenrechner um (cos⁻¹), um den Winkel in Grad zu erhalten.

🔍 Tipp: Bei der Winkelberechnung kannst du die Innenwinkelsumme im Dreieck (180°) nutzen, um den dritten Winkel zu ermitteln, wenn du bereits zwei berechnet hast!

Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke BC berechnest du, indem du die Koordinaten der beiden Punkte addierst und durch 2 teilst:

$M = (\frac{b_1+c_1}{2}|\frac{b_2+c_2}{2}|\frac{b_3+c_3}{2})$

$# Themenfeld: Basiswissen „Analytische Geometrie" Aufgabe 1 Gegeben sind die Punkte A (-1|2|1) und B (1|0|4) sowie die Vektoren $\overright$

Wichtige Formeln der analytischen Geometrie

Die analytische Geometrie basiert auf einigen Schlüsselformeln, die du immer wieder anwenden wirst. Hier sind die wichtigsten im Überblick:

Der Mittelpunkt einer Strecke lässt sich leicht berechnen: $M = \begin{pmatrix} \frac{a_1+b_1}{2} & \frac{a_2+b_2}{2} & \frac{a_3+b_3}{2} \end{pmatrix}$

Den Richtungsvektor zwischen zwei Punkten A und B erhältst du durch: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} b_1-a_1 \ b_2-a_2 \ b_3-a_3 \end{pmatrix}$

Die Länge eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras im Raum: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ (wobei k ein Skalar ist)

Das Skalarprodukt ist entscheidend für Winkelberechnungen: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$

Für den Winkel zwischen zwei Vektoren gilt: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

⚡ Wichtig: Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren Null ist, stehen sie orthogonal (senkrecht) zueinander! Diese Eigenschaft hilft dir, räumliche Beziehungen zu analysieren und zu verstehen.

Die Parametergleichung einer Geraden durch den Punkt P mit Richtungsvektor $\vec{v}$ lautet: $\vec{g}: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{v}$ (r ∈ ℝ)

$# Themenfeld: Basiswissen „Analytische Geometrie" Aufgabe 1 Gegeben sind die Punkte A (-1|2|1) und B (1|0|4) sowie die Vektoren $\overright$

Vektoren, Skalarprodukt und Parameterdarstellung

Vektoren sind die grundlegenden Bausteine der analytischen Geometrie. Sie helfen dir, Richtungen und Strecken im Raum zu beschreiben. Bei der Addition zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ addierst du einfach die entsprechenden Komponenten:

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ 5 \ 4 \end{pmatrix}$

Auch die Subtraktion von Vektoren ist unkompliziert - ziehe einfach die entsprechenden Komponenten voneinander ab:

$\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ 3 \ -2 \end{pmatrix}$

Das Skalarprodukt ist eine wichtige Operation, die dir hilft, Winkel zwischen Vektoren zu berechnen. Es multipliziert die entsprechenden Komponenten und summiert sie:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot (-1) + 5 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) = -3 + 15 - 8 = 4$

💡 Merke: Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren Null ergibt, stehen diese Vektoren senkrecht (orthogonal) zueinander. Das ist eine wichtige Eigenschaft, die dir bei der Analyse von räumlichen Beziehungen hilft!

Den Richtungsvektor zwischen zwei Punkten erhältst du durch Subtraktion ihrer Ortsvektoren. Mit $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$ kannst du die Richtung und Länge der Strecke von A nach B bestimmen.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

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Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Lena M

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Timo S

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Marcus B

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Willkommen zu den Grundlagen der Analytischen Geometrie! In dieser Zusammenfassung lernst du wichtige Berechnungsmethoden für Vektoren, Geraden und geometrische Figuren im dreidimensionalen Raum kennen. Diese Konzepte sind essentiell für das Verständnis räumlicher Beziehungen und bilden die Basis für komplexere Themen... Mehr anzeigen

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Dreiecksberechnungen im Raum

Für ein Dreieck mit Punkten A, B und C berechnest du die Seitenlängen durch die Beträge der Verbindungsvektoren:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

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$u = |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CA}|$

Um die Winkel in einem Dreieck zu berechnen, nutzt du die Formel mit dem Skalarprodukt:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$

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Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke BC berechnest du, indem du die Koordinaten der beiden Punkte addierst und durch 2 teilst:

$M = (\frac{b_1+c_1}{2}|\frac{b_2+c_2}{2}|\frac{b_3+c_3}{2})$

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Wichtige Formeln der analytischen Geometrie

Die analytische Geometrie basiert auf einigen Schlüsselformeln, die du immer wieder anwenden wirst. Hier sind die wichtigsten im Überblick:

Der Mittelpunkt einer Strecke lässt sich leicht berechnen: $M = \begin{pmatrix} \frac{a_1+b_1}{2} & \frac{a_2+b_2}{2} & \frac{a_3+b_3}{2} \end{pmatrix}$

Den Richtungsvektor zwischen zwei Punkten A und B erhältst du durch: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} b_1-a_1 \ b_2-a_2 \ b_3-a_3 \end{pmatrix}$

Die Länge eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras im Raum: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ (wobei k ein Skalar ist)

Das Skalarprodukt ist entscheidend für Winkelberechnungen: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$

Für den Winkel zwischen zwei Vektoren gilt: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

⚡ Wichtig: Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren Null ist, stehen sie orthogonal (senkrecht) zueinander! Diese Eigenschaft hilft dir, räumliche Beziehungen zu analysieren und zu verstehen.

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Vektoren, Skalarprodukt und Parameterdarstellung

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ 5 \ 4 \end{pmatrix}$

Auch die Subtraktion von Vektoren ist unkompliziert - ziehe einfach die entsprechenden Komponenten voneinander ab:

$\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ 3 \ -2 \end{pmatrix}$

Das Skalarprodukt ist eine wichtige Operation, die dir hilft, Winkel zwischen Vektoren zu berechnen. Es multipliziert die entsprechenden Komponenten und summiert sie:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot (-1) + 5 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) = -3 + 15 - 8 = 4$

💡 Merke: Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren Null ergibt, stehen diese Vektoren senkrecht (orthogonal) zueinander. Das ist eine wichtige Eigenschaft, die dir bei der Analyse von räumlichen Beziehungen hilft!

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