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Lagebeziehungen von Geraden

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Lambacher Schweizer Lösungen: Seite 155 Aufgabe 1a/b & 3a/b

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Ariana Farahani

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In der analytischen Geometrie ist die Lagebeziehung von Geraden ein... Mehr anzeigen

# Lage von Geraden 18.04.27 S. 155 Nr.1 a) $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} + r. \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ 1 \end{pma

Lagebeziehung von Geraden: Identisch oder Parallel

Wenn du Geraden im Raum untersuchen möchtest, achte zuerst auf die Richtungsvektoren. Sind sie Vielfache voneinander, liegen die Geraden parallel oder sind sogar identisch.

Um herauszufinden, ob Geraden identisch sind, prüfe, ob ein Punkt der ersten Gerade auch auf der zweiten liegt. Bei der Aufgabe mit g: x⃗=(7\3)+r(2\1)\vec{x} = \begin{pmatrix} 7\3\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2\1\end{pmatrix} und h: x⃗=(3\6)+t(4\2)\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\6\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4\2\end{pmatrix} sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander. Wenn wir einen Punkt einsetzen und r = 1 erhalten, sind die Geraden identisch.

Bei parallelen Geraden sind die Richtungsvektoren ebenfalls Vielfache, aber kein Punkt der einen Gerade liegt auf der anderen. Im Beispiel mit g: x⃗=(0\7\3)+r(1\3\9)\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\7\3\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\3\9\end{pmatrix} und h: x⃗=(6\2\0)+s(1\1\3)\vec{x} = \begin{pmatrix} 6\2\0\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\1\3\end{pmatrix} erkennen wir, dass die Richtungsvektoren kollinear sind, aber wir bekommen widersprüchliche Werte für s.

Merke: Die Lösungen Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien zeigen: Zwei Geraden sind genau dann identisch, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind UND mindestens ein Punkt auf beiden Geraden liegt.

# Lage von Geraden 18.04.27 S. 155 Nr.1 a) $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} + r. \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ 1 \end{pma

Windschief oder Parallel - Weitere Lagebeziehungen

In der Oberstufe-Mathematik musst du auch erkennen können, wenn Geraden windschief sind. Das bedeutet, sie schneiden sich nicht und liegen auch nicht parallel zueinander.

Bei parallelen Geraden wie im Beispiel g⃗:x⃗=(5 0 1)+t(2 1 −1)\vec{g}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} und h⃗:x⃗=(7 1 2)+t(−6 −3 3)\vec{h}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \ 1 \ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -6 \ -3 \ 3 \end{pmatrix} erkennst du, dass die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Wenn du einen Punkt überprüfst, erhältst du widersprüchliche t-Werte t=1undt=−1t=1 und t=-1, was bestätigt, dass die Geraden parallel, aber nicht identisch sind.

Bei windschiefen Geraden wie g⃗:x⃗=t(2 0 1)\vec{g}: \vec{x} = t \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} und h⃗:x⃗=(3 0 4)+t(2 0 −1)\vec{h}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \ 0 \ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ -1 \end{pmatrix} sind die Richtungsvektoren nicht kollinear. Wenn du versuchst, einen gemeinsamen Punkt zu finden, kommst du auf einen Widerspruch, was beweist, dass die Geraden windschief sind.

Tipp für Klassenarbeiten: In den Lambacher Schweizer 11/12 Lösungen PDF findest du ähnliche Beispiele. Achte immer darauf, dass du für parallele Geraden die Kollinearität der Richtungsvektoren UND die Nicht-Identität nachweisen musst!



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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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Lagebeziehungen von Geraden

Parallele Linien

 

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In der analytischen Geometrie ist die Lagebeziehung von Geraden ein fundamentales Konzept. Du lernst, wie man bestimmt, ob Geraden identisch, parallel oder windschief sind - ein wichtiges Thema für die Lambacher Schweizer Qualifikationsphase und Mathematik-Prüfungen im Gymnasium.

# Lage von Geraden 18.04.27 S. 155 Nr.1 a) $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} + r. \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ 1 \end{pma

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Lagebeziehung von Geraden: Identisch oder Parallel

Wenn du Geraden im Raum untersuchen möchtest, achte zuerst auf die Richtungsvektoren. Sind sie Vielfache voneinander, liegen die Geraden parallel oder sind sogar identisch.

Um herauszufinden, ob Geraden identisch sind, prüfe, ob ein Punkt der ersten Gerade auch auf der zweiten liegt. Bei der Aufgabe mit g: x⃗=(7\3)+r(2\1)\vec{x} = \begin{pmatrix} 7\3\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2\1\end{pmatrix} und h: x⃗=(3\6)+t(4\2)\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\6\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4\2\end{pmatrix} sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander. Wenn wir einen Punkt einsetzen und r = 1 erhalten, sind die Geraden identisch.

Bei parallelen Geraden sind die Richtungsvektoren ebenfalls Vielfache, aber kein Punkt der einen Gerade liegt auf der anderen. Im Beispiel mit g: x⃗=(0\7\3)+r(1\3\9)\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\7\3\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\3\9\end{pmatrix} und h: x⃗=(6\2\0)+s(1\1\3)\vec{x} = \begin{pmatrix} 6\2\0\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\1\3\end{pmatrix} erkennen wir, dass die Richtungsvektoren kollinear sind, aber wir bekommen widersprüchliche Werte für s.

Merke: Die Lösungen Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien zeigen: Zwei Geraden sind genau dann identisch, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind UND mindestens ein Punkt auf beiden Geraden liegt.

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Windschief oder Parallel - Weitere Lagebeziehungen

In der Oberstufe-Mathematik musst du auch erkennen können, wenn Geraden windschief sind. Das bedeutet, sie schneiden sich nicht und liegen auch nicht parallel zueinander.

Bei parallelen Geraden wie im Beispiel g⃗:x⃗=(5 0 1)+t(2 1 −1)\vec{g}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} und h⃗:x⃗=(7 1 2)+t(−6 −3 3)\vec{h}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \ 1 \ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -6 \ -3 \ 3 \end{pmatrix} erkennst du, dass die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Wenn du einen Punkt überprüfst, erhältst du widersprüchliche t-Werte t=1undt=−1t=1 und t=-1, was bestätigt, dass die Geraden parallel, aber nicht identisch sind.

Bei windschiefen Geraden wie g⃗:x⃗=t(2 0 1)\vec{g}: \vec{x} = t \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} und h⃗:x⃗=(3 0 4)+t(2 0 −1)\vec{h}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \ 0 \ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ -1 \end{pmatrix} sind die Richtungsvektoren nicht kollinear. Wenn du versuchst, einen gemeinsamen Punkt zu finden, kommst du auf einen Widerspruch, was beweist, dass die Geraden windschief sind.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Analysis: Funktionsscharen & Ableitungen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über zentrale Themen der Analysis, einschließlich Funktionsscharen, Ableitungen, Extrempunkte, Integrale und e-Funktionen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur im Mathematik Grundkurs. Verstehe die Konzepte und deren Anwendungen mit klaren Beispielen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen.

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Mathe-Abitur 2024: Stochastik & Vektoren

Umfassende Lernressourcen für das Mathe-Abitur 2024 im Leistungskurs NRW. Themen: Hypothesentests, Binomialverteilung, Vektorrechnung (Lagebeziehungen, Abstände, Spiegelung), Analysis (Funktionstypen, Integralrechnung, Extremwertaufgaben) und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen und zur Vertiefung mathematischer Konzepte.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Integralrechnung und Flächenberechnung

Erfahre alles über die Integralrechnung, einschließlich unbestimmter und bestimmter Integrale, Integralschreibweise und Rechenregeln. Lerne, wie man Flächeninhalte zwischen Funktionsgraphen berechnet und die Kurvendiskussion durchführt. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Differential- und Integralrechnung.

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Mathe GK Abi

Grundlagen, Funktionen, Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik

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Mathe Abi26 Zusammenfassung NRW

Dient zur Vorbereitung auf das Abitur 2026 im Grundkurs Mathematik.

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Beliebtester Inhalt

Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Inhalt, Entstehung und Quellen, Figuren, Geschichtliche Hintergründe, Motive, Erzählstruktur/- stil

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Zusammenfassung Heimsuchung

ein Zusammenfassung vom Buch Heimsuchung hinsichtlich auf eine literarische Erörterung

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Heimsuchung - Jenny Erpenbeck - KompletteZusammenfassung jedemKapitel+Analyse+Merkmale+Klausur Übung

Komplette Zusammenfassung von jedem Kapitel + Deutung+ Analyse + Merkmale+ Themen

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Charaktere aus Heimsuchung von Jenny Erpenbeck

Mindmap, Allgemeines, Verlauf

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

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Anna

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Thomas R

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Basil

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David K

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Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

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Greenlight Bonnie

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Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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Elisha

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Paul T

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