Tangentenberechnung für die natürliche Logarithmusfunktion

Die Aufgabe befasst sich mit der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) und ihren Tangenten. Es werden verschiedene Aspekte der Differentialrechnung und Integralrechnung angewandt, um Tangentengleichungen zu bestimmen und geometrische Eigenschaften zu untersuchen.

Ableitung und Tangente an der Stelle x = e

• Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion wird bestimmt: f'(x) = 1/x
• Der Wert der Ableitung an der Stelle x = e wird berechnet: f'(e) = 1/e
• Die Tangentengleichung im Punkt P(e, f(e)) wird hergeleitet: y = 1/e · x + b

Highlight: Die Steigung der Tangente im Punkt P(e, f(e)) beträgt 1/e, was eine wichtige Eigenschaft der natürlichen Logarithmusfunktion darstellt.

Example: Die vollständige Tangentengleichung lautet y = 1/e · x + (1 - 1/e), wobei der y-Achsenabschnitt durch Einsetzen des Punktes P(e, 1) bestimmt wird.

Tangente und Flächenberechnung im Punkt Q(1, 0)

• Die Tangente im Punkt Q(1, 0) wird untersucht
• Die Tangentengleichung wird bestimmt: y = x - 1
• Ein Dreieck wird durch die Tangente und die Koordinatenachsen gebildet

Definition: Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt und die gleiche Steigung wie die Funktion in diesem Punkt hat.

Vocabulary: Der Flächeninhalt des Dreiecks wird durch Integration berechnet, was eine Anwendung der Integralrechnung darstellt.