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Æsma
17.2.2021
Mathe
Lambacher Schweizer s. 119/1 Lösungen
Die Berechnung von Tangentengleichungen und deren geometrische Eigenschaften ist ein zentrales Thema in der Differentialrechnung. In diesen Aufgaben aus dem Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien lernst du, wie man Tangentengleichungen bestimmt und damit verbundene geometrische Probleme löst.
17.2.2021
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In dieser Aufgabe aus dem Lambacher Schweizer für die Qualifikationsphase betrachten wir die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln(x). Wir sollen die Ableitung an der Stelle x = e berechnen und die Tangentengleichung im Punkt P(e|f(e)) bestimmen.
Die Ableitung der Logarithmusfunktion ist f'(x) = 1/x. An der Stelle x = e ergibt sich somit f'(e) = 1/e. Das ist die Steigung der Tangente, die wir für die Tangentengleichung benötigen.
Für die vollständige Tangentengleichung y = mx + b brauchen wir noch den y-Achsenabschnitt b. Der Punkt P hat die Koordinaten (e|ln(e)), wobei ln(e) = 1 ist. Setzen wir diese Werte in die Gleichung ein, erhalten wir: 1 = (1/e)·e + b, also 1 = 1 + b, woraus folgt: b = 0. Die gesuchte Tangentengleichung lautet also y = (1/e)·x.
🔍 Bei Aufgaben mit der natürlichen Logarithmusfunktion lohnt es sich, die wichtige Eigenschaft ln(e) = 1 zu nutzen, um Berechnungen zu vereinfachen.
Bei dieser Aufgabe geht es um die Funktion f(x) = x - 1. Wir sollen die Tangentengleichung im Punkt Q(1|0) bestimmen und anschließend den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, das diese Tangente mit den Koordinatenachsen bildet.
Um die Tangentengleichung zu ermitteln, brauchen wir die Steigung der Tangente. Diese entspricht der Ableitung der Funktion an der Stelle x = 1. Die Ableitung von f(x) = x - 1 ist f'(x) = 1, somit ist f'(1) = 1. Die allgemeine Tangentengleichung lautet y = m·x + b, wobei wir die Steigung m = 1 einsetzen können.
Jetzt müssen wir noch den y-Achsenabschnitt b bestimmen. Da der Punkt Q(1|0) auf der Tangente liegt, setzen wir seine Koordinaten in die Gleichung ein: 0 = 1·1 + b, woraus folgt, dass b = -1. Die Tangentengleichung ist also y = x - 1.
💡 Die Flächenberechnung des Dreiecks erfolgt durch ein bestimmtes Integral. Das Dreieck wird durch die Tangente y = x - 1 und die Koordinatenachsen gebildet.
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Tangente und Normale
Ein kleiner Überblick/ Lernzettel zum Thema Tangente und Normale. (wie ein Regelheft Eintrag)
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Tangentengleichung bestimmen
Schritt für Schritt Erklärung + Beispiel Aufgabe mit Ausarbeitung
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Tangente rechnerisch nachweisen
Die Tangente rechnerisch nachweisen, wenn die Tangente gegeben ist. An einem Beispiel erklärt.
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Durchschnittliche und Lokale Änderungsrate
Kurze Zusammenfassung zu durchschnittliche und lokale Änderungsrate.
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Tangentengleichung aufstellen
Tangenten, Mathematik
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Tangentengleichung
aufstellen einer Tangentengleichung
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Æsma
@smayosh
Die Berechnung von Tangentengleichungen und deren geometrische Eigenschaften ist ein zentrales Thema in der Differentialrechnung. In diesen Aufgaben aus dem Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien lernst du, wie man Tangentengleichungen bestimmt und damit verbundene geometrische Probleme löst.
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In dieser Aufgabe aus dem Lambacher Schweizer für die Qualifikationsphase betrachten wir die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln(x). Wir sollen die Ableitung an der Stelle x = e berechnen und die Tangentengleichung im Punkt P(e|f(e)) bestimmen.
Die Ableitung der Logarithmusfunktion ist f'(x) = 1/x. An der Stelle x = e ergibt sich somit f'(e) = 1/e. Das ist die Steigung der Tangente, die wir für die Tangentengleichung benötigen.
Für die vollständige Tangentengleichung y = mx + b brauchen wir noch den y-Achsenabschnitt b. Der Punkt P hat die Koordinaten (e|ln(e)), wobei ln(e) = 1 ist. Setzen wir diese Werte in die Gleichung ein, erhalten wir: 1 = (1/e)·e + b, also 1 = 1 + b, woraus folgt: b = 0. Die gesuchte Tangentengleichung lautet also y = (1/e)·x.
🔍 Bei Aufgaben mit der natürlichen Logarithmusfunktion lohnt es sich, die wichtige Eigenschaft ln(e) = 1 zu nutzen, um Berechnungen zu vereinfachen.
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Bei dieser Aufgabe geht es um die Funktion f(x) = x - 1. Wir sollen die Tangentengleichung im Punkt Q(1|0) bestimmen und anschließend den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, das diese Tangente mit den Koordinatenachsen bildet.
Um die Tangentengleichung zu ermitteln, brauchen wir die Steigung der Tangente. Diese entspricht der Ableitung der Funktion an der Stelle x = 1. Die Ableitung von f(x) = x - 1 ist f'(x) = 1, somit ist f'(1) = 1. Die allgemeine Tangentengleichung lautet y = m·x + b, wobei wir die Steigung m = 1 einsetzen können.
Jetzt müssen wir noch den y-Achsenabschnitt b bestimmen. Da der Punkt Q(1|0) auf der Tangente liegt, setzen wir seine Koordinaten in die Gleichung ein: 0 = 1·1 + b, woraus folgt, dass b = -1. Die Tangentengleichung ist also y = x - 1.
💡 Die Flächenberechnung des Dreiecks erfolgt durch ein bestimmtes Integral. Das Dreieck wird durch die Tangente y = x - 1 und die Koordinatenachsen gebildet.
Diese Aufgabe befasst sich mit einer Tangentengleichung für die Funktion f(x) = x - 1 im Punkt Q(1|0). Das Besondere: Die Tangente bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck, dessen Flächeninhalt wir berechnen sollen.
Um die Tangentengleichung zu ermitteln, bestimmen wir zuerst die Steigung durch Ableiten der Funktion: f'(x) = 1, also f'(1) = 1. Mit der Punkt-Steigungsform der Tangentengleichung y = mx + b und dem Punkt Q(1|0) ergibt sich: 0 = 1·1 + b, also b = -1. Die Tangentengleichung lautet somit y = x - 1.
Die Berechnung der Dreiecksfläche erfolgt mithilfe eines bestimmten Integrals. Die Tangente schneidet die x-Achse im Punkt (1|0) und die y-Achse im Punkt (0|-1). Um den Flächeninhalt zu ermitteln, integrieren wir von 0 bis 1: ∫₀¹ (x - 1) dx = [x²/2 - x]₀¹ = (1/2 - 1) - 0 = -0,5. Da wir den Betrag der Fläche suchen, ist das Ergebnis 0,5 Flächeneinheiten.
📐 Um eine Dreiecksfläche zu berechnen, die von einer Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, kannst du entweder die Formel A = (1/2)·Grundseite·Höhe oder ein bestimmtes Integral verwenden.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Anna
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Lena M
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
Android user
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Marcus B
iOS user
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Sarah L
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