Lernzettel Stochastik

Alternativer Bildtext:

im zweiten Wurf eine Sechs." B: ,,Erst im zweiten Wurf eine Sechs." Aufschreiben entweder so: Oder so: Zu dem Ereignis A gehört nur das Ergebnis OlO, wobei die Null für keine gewürfelte sechs und die I für eine gewürfelte sechs steht. Die Ergebnisse der Ereignisse kann man folgender Tabelle entnehmen. Dabei steht die Null für keine geworfene sechs und die eins für eine geworfene 6. Ereignis Ergebnisse Gegenereignis: E Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisse E erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert. = P(A) = P(mindestens einmal rot") - P(rr) + P(+b) + P(br) 3 15 16 16 -Pfade addieren Enthält alle Elemente zu einem Ereignis E, die nicht Teil von E sind. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E kann man oft einfacher mithilfe des Gegenereignisses E bestimmen: 16 => Im Tafelwerk Mengenschreibweise von Ereignissen: + alw A 010 3 16 B 010 Oft + - P(E)= 1- P(E) = 1 - 4 / - 18 16 16 Die Wahrscheinlichkeiten von E und E ergeben zusammen 1. Die Pfade von mehrstufigen Baumdiagrammen kann man als „Sowohl-als- auch-Ereignisse" deuten und durch Schnittmengen beschreiben. Wenn beim zweifachen Drehen eines Glücksrades sowohl das Ereignis E „Die erste Farbe ist rot." als auch das Ereignis F „Beim zweiten Drehen erscheint blau.“ eintreten, so schreibt man hierfür auch EnF (sprich: E geschnitten F). P(EnF) - P(r). P (b) = 3 3-4 - 12/16 Baumdiagramme • Ein Baumdiagramm eignet sich zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger bzw. zusammengesetzter Zufallsexperimente. ● Anhand des Baumdiagramms kann man außerdem sehr gut die Pfad- und die Summenregel verdeutlichen. Beispiel Aufgabe: In einer Urne befinden sich vier blaue und zwei rote Kugeln. Zwei Kugeln werden zufällig entnommen. P (rot) = ²/1/ P (blau) = 6 21/33 वाल Blau Ergebnisse: bb حلام Blau دان دا br Rot Blau حوالي Rot Rot Die Pfadregel wird dazu benutzt, die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses zu berechnen. Plrb) = 4/1² - 1²/23 - 11/32 = Die Wahrscheinlichkeit, dass erst rot und dann blau gezogen wird, beträgt 11 Die Summen Regel dagegen wird dazu benutzt, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen. E: Mindestens eine Kugel ist blau." P(E)=P(bb) + P(br) + P(rb) 3/3 - 2/3 + ¾/23 · 4 + 33 33 = 00/07 Absolute Häufigkeit: H(k) Im Tafelwerk Relative Häufigkeit: h (k) Arithmetisches Mittel: X Oft nur als „Mittelwerte" bezeichnet! 0 konkrete Anzahl der einzelnen Ergebnisse. Die Anzahl, mit der ein Ereignis nach n-maligem Wiederholungen aufgetreten ist. Tatsächliche Anzahl Absolute Häufigkeit geteilt durch die Gesamtheit der Wiederholungen. Absolute Häufigkeit im Verhältnis zu den Versuchswiederholungen und den anderen Ergebnissen. Das arithmetische Mittel einer Menge von Werten ist gleich der Summe aller Werte geteilt durch deren Anzahl n: Beispiel 1: Anzahl k der Geschwister: absolute Häufigkeit H(k) der Schüler mit k Geschwistern: relative Häufigkeit h(k) der Familien mit k Kindern: O 1 2 3 20 n = 1 + 9 + 4 + 1 = 25 X = 2 · (11.0 + 9·1+ 4· 2 + 1·3) ₂ 25 Im Durchschnitt haben die Kinder des Kurses also 0,8 Geschwister. Beispiel 2: Anzahl k der Kinder: O 11 9 4 X= 0·0₁483 + 1 · 0,0211 +4 0,018 + 5- 0,006 2 3 48,3% 21,1% 21,3% 6,9% 1 Im Durchschnitt sind in den erfassten Haushalten etwa 0.95 Kinder. 11 1,8% 0,6% +2·0₁213 + 3·0.069 0,946 4 5 Median: Der Median ist der Wert, der genau in der Mitte einer Datenreihe liegt, die nach der Größe geordnet ist. Aufgrund dieser zentralen Lage wird er auch Zentralwert genannt. Der Median halbiert die Datenreihe, sodass eine Hälfte der Daten unterhalb und die andere Hälfte oberhalb des Medians in der geordneten Reihe liegt. Beispiel: Anzahl k der Geschwister: absolute Häufigkeit H(k) der Schüler mit k Geschwistern: 00000 12 Werte O 11 1 2 9 Median = 1 4 (34+38):2 = 36 011111111122223 12 Werte 3 19 26 28 29 33 34 38 43 45 49 51 62 5 5 1 Besonderheit: bei gerader Anzahl von Werten ist der Median nicht so einfach abzulesen In diesem Fall müssen die beiden Werte in der Mitte addiert und durch 2 geteilt werden: Stichprobe: Die Menge aller denkbaren Untersuchungseinheiten, die in Frage kommen, heißt Grundgesamtheit oder Population. Eine Stichprobe ist eine zufällig gewonnene endliche Teilmenge der Grundgesamtheit. Die Anzahl der Elemente dieser Teilmenge heißt Umfang der Stichprobe. Urliste: Bei einer statistischen Erhebung die Aufzählung der erhaltenen Daten einer Stichprobe, ohne jegliche Gruppierung, Anordnung oder sonstige Aufbereitung. Die Daten können in der zeitlichen Reihenfolge der Erfassung stehen, müssen es aber nicht. Man nennt solche Daten auch Rohdaten oder Primärdaten. Laplace-Experiment: Zufallsexperiment, bei dem alle elementaren Ergebnisse dieselbe Im Tafelwerk Wahrscheinlichkeit haben (Beispiel: Würfel) Zufallsgröße - Wahrscheinlichkeit - Erwartungswert Zufallsgröße: Wenn jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments ein Zahlenwert zugeordnet wird, spricht man von einer Zufallsgröße. X Für eine Aufgabe muss die Zufallsgröße X oft erst noch definiert werden. Ein Beispielsatz dafür wäre: „Die Zufallsgröße X gibt an, wie oft „Zahl" erscheint.“ Beispiel Aufgabe: Das Glücksrad wird 8 mal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 mal „Gelb" erscheint! Die Zufallsgröße X gibt an, wie oft „gelb“ erscheint. P(X3)=0855 Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 mal gelb erscheint, beträgt 0,855. Wahrscheinlichkeitsverteilung: Gewinn (in €) 0 absolute Häufigkeit 23 relative Häufigkeit 46% Wahrscheinlichkeit 50% 1 17 34% 30% 2 10 20% 20% Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X ist eine Tabelle, bei der jedem Wert k von X die Wahrscheinlichkeit P (X = k) zugeordnet ist. P (X= k) bezeichnet dabei die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert k annimmt. k P(X= k) Beispiel Aufgabe: Beim gleichzeitigen Werfen von 4 Münzen können zwischen O und 4 Treffer („Kopf“) auftreten. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X (Trefferzahl) an. Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse eines Zufallsexperiments sind Zahlen im Intervall [O;1] mit Summe 1. Sie bilden eine Möglich sind Ergebnisse mit Trefferzahl X = 0: X = 1: X = 2: X = 3: X = 4: Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie sind Prognosen für ihre relativen Häufigkeiten bei vielen Versuchswiederholungen. NNNN -> - 1 A 16 TNNN, N T N N, NNTN, NNNT -> IINN, TNTN, TNNINTIN,NINTNNTI ΤΤΤΝ, Τ Τ ΝΤ, ΤΝΤΤ,ΝΤΤΤ IIII-1 Bei einer Laplace-Münze haben alle 16 Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit. Durch abzählen erhält man die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Summen-Regel! 4 16 -> 2 16 4 3 4 16 -> 4 1 16 Anzahl möglicher Ergebnisse. Gesetz der großen Zahlen: Bei zunehmender Wurfzahl schwanken die relativen Häufigkeiten weniger. Erwartungswert: Der Erwartungswert ist eine dem arithmetischen Mittel entsprechende theoretische E(X) oder M Kenngröße. Rechnet man bei der Mittelwertberechnung mit Wahrscheinlichkeiten anstatt mit relativen Häufigkeiten, so erhält man den Erwartungswert der Zufallsgröße X. Da die relativen Häufigkeiten um die Wahrscheinlichkeiten schwanken, schwanken auch die Mittelwerte zufallsbedingt um den Erwartungswert. Damit ist der Erwartungswert eine Prognose für den zu erwartenden Mittelwert. Man bezeichnet ihn daher auch als theoretischen Mittelwert". M = X₁ · P(X=X₂) + x₂ · P(X= x₂) + .+ xn· P(x-xn) Beispiel Aufgabe: Der Erwartungswert der Trefferzahl ist: M = 0. 4/6 + 1.4 16 + 2 · 2/6 + 3 · 4 6 + 4·16 16 = = k O. 1 2 P(x-k) 4² 2/ 4 2 o 4 Faires Spiel: Als fair bezeichnet man ein Spiel, bei dem der Erwartungswert für den Gewinn null ist. Gewinn Auszahlung - Einsatz M = 0·4² +1²/²/2/ + 24 = 1 Beispiel 2 Faires Spiel Beim Glücksspiel mit einem Würfel soll das Doppelte der Augenzahl (in Euro) ausgezahlt werden. a) Bestimmen Sie die Auszahlung, die der Spieler im Mittel erwarten kann. b) Geben Sie an, wie hoch der Einsatz sein muss, damit das Glücksspiel fair ist. Lösung a) Wegen µ = (2+4 + 6 + 8 + 10 + 12) = 42 = 7, ist im Mittel die Auszahlung 7€ zu erwarten. b) Für ein faires Spiel muss der Einsatz 7€ betragen. Im Tafelwerk Varianz und Standardabweichung bei Zufallsgrößen Kenngrößen der Stochastik sind: arithmetisches Mittel x, empirische Varianz v und die Standardabweichung s. Standardabweichung: Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streubreite der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X um den Erwartungswert. Varianz: V oder V(X) oder 02 Sie ist eine Prognose für die empirischen Kenngrößen. Standardabweichung gibt an, welche empirische Standardabweichung man bei ausreichend großer Versuchszahl auf lange Sicht erwarten kann. Auch Stichprobenstreuung genannt. √V V = (x₁ -μ)²² P(X= x₁) +_+ (xn-μ)². P(X=xn) o = Der Unterschied zwischen dem Streuungsparameter Varianz und der Standardabweichung ist, dass die Standardabweichung die durchschnittliche Entfernung vom Mittelwert misst und die Varianz die quadrierte durchschnittliche Entfernung. Damit ergibt sich Beispiel 1 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung ohne Rechner berechnen Aus der Urne werden drei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X zählt die Zahl der roten Kugeln. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standard- abweichung von X. Lösung Man bestimmt zunächst die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X: k 0 P(X= k) 27 1 6 27 der Erwartungswert μ = 0. 2 12 27 3 8 27 +2·2+3=2₁ 12 die Varianz V = (0-2)² + (1-2)². +(2-2)2+(3-2)². 27 die Standardabweichung o = √√√6≈ 0,8, da 0,8² = 0,64 ≈ 3. 8 18 Im Tafelwerk Vierfeldertafeln und Bedingte Wahrscheinlichkeiten Wenn man in statistischen Erhebungen zwei Merkmale wie z.B. Geschlecht und Körpergröße gleichzeitig untersucht, kann das Vorwissen über ein Merkmal die Wahrscheinlichkeiten des anderen beeinflussen. Satz: P (F) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis F, wenn man weiß, dass E eingetreten ist. P (En F) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sowohl E als auch F eingetreten sind. Es gilt: P(EnF) P = (F) = P(EnF) P(E) bzw. PF (E) == P (F) Achtung: Beim Vertauschen von bedingendem und bedingtem Ereignis können sich sehr unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten ergeben. Das bedingende Ereignis wird als Index notiert. Man liest: „Wahrscheinlichkeit von M unter der Bedingung R PR (M) Aufbau einer Vierfelder Tafel: Ereignis B Gegenereignis zu B Pfadregel: 2. B. Gegen- Ereignis E ereignis zu E E Ē BP(EB) PEB) P(B) B PEB) PEB) P(B) Wahrscheinlichkeit von B Wahrscheinlichkeit von B P(E) P(E) 1 Wahrsch. Wahrsch. von E von E PIENB) = P(E) PE (B) = P(B) PB (E) 1. Je nach dem, welches Merkmal man zuerst betrachtet, lassen sich die Informationen der Vierfeldertafel in zwei verschiedene Baumdiagramme übertragen: PE (B) B P(EnB) P(E) E P (B) PE (B) 1. Zug P(E) B B PLENB) PEB) P(E)= 10 PE(F) = 0 IW 2. Zug Ergebnisse: rr En F 36 100 E PE (B) Lp (F) = B P(EnB) *100=0,6 rb br EnF Enf 24 3000 10 2. PB (E) Die bedingten Wahrscheinlichkeiten (zweite Stufe) sind stets gleich. E P(EnB) Man findet die bedingten Wahrscheinlichkeiten auf den Pfaden der zweiten Stufe und die bedingenden Wahrscheinlichkeiten auf den Pfaden er ersten Stufe. Im Tafelwerk Stochastische Unabhängigkeit Ziehen mit Zurücklegen: Ziehen ohne Zurücklegen: Der erste Zug beeinflusst den zweiten nicht. Der erste Zug beeinflusst den zweiten. bb En F 16 100 Wichtig: in Vierfeldertafeln sind bedingte Wahrscheinlichkeiten Anteile von Zelleninhalten An Zeilen- bzw. Spaltensummen. P(B) B 1. Zug PB (E) PE(E) ليا PE(F)= P(B) 2. Zug Ergebnisse: IT Enf 30 90 E PENB) P(EnB) I8 P(E)= 10 rb EnF 30 LP(F)=50=0,6 br En F 34 bb EnF 12 PB (E) Die Wahrscheinlichkeiten (zweite Stufe) hängen von der ersten Stufe ab. Ē P(EB) 8 Definition: Zwei Ereignisse E und F heißen stochastisch unabhängig, wenn P (F) = P (F). Satz: Zwei Ereignisse E und F sind genau dann unabhängig, wenn P (En F)=P(E) • P(F). Der Satz ergib sich, weil nach der Pfadregel stets P (E₁F) = P (E) • P₂ (F) gilt. Wichtig: - Oft setzt man die Unabhängigkeit als Modellannahme voraus. Wenn man zum Beispiel für eine Folge von Torwandschüssen Wahrscheinlichkeiten ausrechnen will, nimmt man an, dass die einzelnen Schüsse voneinander unabhängig sind. In Wirklichkeit ist das möglicherweise nicht so, da der Schütze sich vielleicht erst einschießen muss oder aber mit der Zeit ermüdet - Wenn nicht offensichtlich ist, ob sich Ereignisse E und F beeinflussen, verwendet man die Beziehung P (EnF) = P(E) · P (F), um zu prüfen, ob die Ereignisse unabhängig voneinander sind. - Da sich bei Abhängigkeit wegen P (F) # P (F) durch die Beobachtung von E die Wahrscheinlichkeit von F ändert, schätzt man nach der Beibachtung von E die Realität anders ein. Man hat aus der Beobachtung von E etwas über F „gelernt“. Beispiel Aufgaben: 05 In einem Gefäß befinden sich drei schwarze und drei weiße Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen, wobei die erste Kugel nicht zurückgelegt wird. Die Ereignisse E: „Die erste Kugel ist schwarz" und F: „Die zweite Kugel ist weiß.", sollen auf Unabhängigkeit untersucht werden. b) a) Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar. b) Übersetzen Sie die Situation in eine Vierfeldertafel. c) Berechnen Sie PE (F) und PF (E). S OH alo. alco vrico { els dla viw dle vie El GIRO 518 11 X16 11 W 2 718 518 11 718 دادم 1 Ps (W) = 10 2 P₁ (5)= JI meto P(Sow) P (S) 3 70 "1 P(SW) P (W) melore (1 (1) دائع сосо O O DIN din како ико O O Beispiel 2 Unabhängigkeit prüfen, aus Beobachtung lemen Man würfelt zweimal und betrachtet die Ereignisse E: „Der erste Würfel zeigt eine 6." und F: Die Augensumme liegt über 10.". a) Zeigen Sie: Die Ereignisse E und F sind abhängig. b) Untersuchen Sie, wie sich Ereignis E auf Ereignis F auswirkt. Lösung a) Bei zweimaligem Würfeln gibt es die 36 Ergebnisse 1-1,1-2, ..., 6-6. Es gilt E-(6-1,6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6); F-(6-5, 6-6,5-6); EnF-(6-5,6-6). Daraus folgt P (E) = -1; P(F) - - 2 P (EnF) = -1 und somit P(EnF) + P(E)- P(F). 36 P(EnF) b) Mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a) erhält man Pe(F)=P(B Wenn man also weiß, dass der erste Wurf,6" zeigt, wächst die Wahrscheinlichkeit für eine Augensumme über 10 von auf. Im Gegensatz zur stochastischen Abhängigkeit von E und F besteht keine kausale Abhängigkeit: Wenn der erste Würfel ,6" zeigt, folgt daraus nicht, dass die Augensum- me über 10 ist. Im Tafelwerk Bernoulli Experimente Definition: Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli-Experiment, wenn es genau zwei Ergebnisse hat. Eine Bernoulli-Kette besteht aus mehreren voneinander unabhängigen Durchführungen eines Bernoulli-Experiments. Die Anzahl der Durchführungen nennt man die Länge n der Bernoulli- Kette, die Trefferwahrscheinlichkeit wird mit p bezeichnet. Die Punkte, die genannt werden müssen, wenn man beurteilen soll, ob es eine Bernoulli-Kette ist oder nicht: - gibt es nur 2 Ergebnismöglichkeiten? pro Durchführung - bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit gleich? - bleiben die Voraussetzungen gleich? + Unabhängigkeit der einzelnen Exper. Achtung: Falls die Änderung durch zum Beispiel Zurücklegen äußerst geringfügig ist, so wird das Zufallsexperiment ebenfalls als Bernoulli-Experiment modelliert. Erwartungswert: Varianz: Standardabweichung: м-пр V = n⋅p⋅ (1-p) = n⋅p⋅ q 0= √n.p. (1-P) 1. Wurf Р 1-p 2. Wurf Р 1-P Р 1-P 1 3. Wurf 1 1-p 0 1-p 1 0 Ergebnis 111 110 1 101 100 1 011 1-p 0 010 001 1-p 0 000 Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse lassen sich mithilfe der Pfadregel bestimmen Binomialkoeffizienten Möglichkeiten Je länger die Bernoulli-Kette, desto größer wird auch die unterschiedliche Anzahl an Pfaden, die zu einem Ereignis gehören. Dafür gibt es eine Formen, um diese Anzahl direkt zu berechnen. Definition: ()- n! k!·(n-k) heißt Binomialkoeffizient (fürn, kEN mit k≤n). Satz: Beim Baumdiagramm zu einer Bernoulli-Kette der Länge n gibt es (K) Pfade mit genau k Treffern. Binomialkoeffizienten können auf verschiedene Weise berechnet werden: . Für kleine Zahlen kann man direkt die verschiedenen n-Tupel aufschreiben und abzählen. 2. Man kann die Formeln (2) n. (n-1)(n-2)....· (n=k+1) k. (k-1). oder (2) = 1 3. Rechner können die Binomialkoeffizienten mit der Funktion „nCr" direkt berechnen. Fakultäten O! = 1 1!= 1 2!=2 3! = 6 4!=24 5! = 120 6! = 720 7!= 5.040 8!= 40.320 9!= 362.880 10!= 3.628.800 Und: an vielen Stellen hilft Kürzen! Wichtig: Bei Minus kann man Fakultäten zusammenrechnen, bei Mal nicht! Dann müssen sie einzeln ausgerechnet werden! Beispiel Aufgaben: Berechnen Sie durch Angabe aller Möglichkeiten! (3) Treffer (3) (3) => n! k!·(n-k)! Berechnen Sie mithilfe einer der Formeln! 5! (5-2)!-21 TUN, NTN, UNT => TTN, TNT, UTT 3 5.4.3.2.1 3! 2! 120 (3.2) (2.1) -> benutzen. 120 12 3 10 (8) 8! (8-4)! 4! 8.7.6.5.4.3स्त 41 47 47 Kürzen. CAS: nCr (Züge, Treffer) = 8765 4.3.2.1 -> Tastatur = 1620 24 Wahrscheinl. Wahrscheinl. für Treffer für kein Treffer M Es gibt! keiten, aus einer Urne mit n ver- schiedenen Kugeln genau Treffer zu erzielen. Die Formel von Bernoulli Wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit einer genauen Anzahl von Treffern zu berechnen. Allgemein gilt: Wenn der Test n Fragen enthält und die Wahrscheinlichkeit für genau k richtige Antworten bestimmt werden soll, gibt es im Baumdiagramm genau (R) Pfade mit genau k Treffern. Jedes dieser Ergebnisse hat die Wahrscheinlichkeit pk. (^-pj^-k. Im Tafelwerk Möglich- Satz (Formel von Bernoulli): Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Längen und der Trefferwahrscheinlichkeit p. Wenn die Zufallsgröße X die Anzahl der Treffer zählt, dann ist die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer: P(x = k) = (R). pk. U-pjn-k (für k = 0,1,2,...,n). Definition: Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n und p, wenn sie sich als Bernoulli-Kette der Längen und der Trefferwahrscheinlichkeit p modellieren lässt. Beispiel 1 Die Formel von Bernoulli anwenden Ein idealer Würfel wird siebenmal geworfen. Berechnen Sie mithilfe der Formel von Bernoulli die Wahrscheinlichkeit, dass genau dreimal eine Fünf oder Sechs fällt. Lösung Es liegt eine Bernoulli-Kette der Länge n-7 und der Trefferwahrscheinlichkeit p - vor. X: Anzahl der Würfe, bei denen eine Fünf oder Sechs fällt. P(x-3)-(3)-((- 0,256. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also etwa 25,6% 1. ↑ Beispiel 2 Zusammengesetzte Wahrscheinlichkeiten berechnen Ein idealer Tetraeder wird fünfmal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass a) mindestens viermal eine Eins fällt, b) höchstens dreimal eine Eins fällt. Lösung Es liegt eine Bernoulli-Kette der Länge n = 5 und der Trefferwahrscheinlichkeit p-vor. X: Anzahl der Würfe, bei denen eine Eins fällt. a) P(X ≥ 4) = P(X= 4) + P(X - 5)-(5)-())+ () · ³ · () - 5 (1) · + (1¹) - 0,016 Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 1,6% fällt mindestens viermal eine Eins. b) X ≤ 3" ist das Gegenereignis von X2 4". Damit gilt P(X ≤ 3)=1-P(X≥ 4) = 1-0,016 = 0,984. Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 98,4% fällt höchstens dreimal eine Eins. CAS: Aktion, Verteilungsfunktion, Diskret, binomial PDf binomial PDf (Anzahl Treffer, Züge, Wahrscheinlichkeit) n P Beispiel: n = 22; p= 0,5; P(X= 11) лл ^^ P(X-11) =(22) · 0₁5 0.5 ≈ 0.168 Wichtig: Wahrscheinlichkeiten auf 3 Nachkommastellen runden! L binomial PDF (M. 22, 0.5) -> n Cr (22,11) (nicht wenn binom genuket) Dokumentation in der Klausur: P(x-3) (3) (4) ³ (2) ²³ ≈ 0.132 - = Bei Anwendungsaufgaben reicht: Auch wenn mit Taschenrechner gerechnet wurde! P(x-3) ≈ 0.132 Allerdings muss X als Zufallsgröße definiert sein!!! Kumulierte Wahrscheinlichkeiten Definition: Die Wahrscheinlichkeit P(x≤k) = P(X=0) + P(X=1 ) + ... + P(X=k) heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit. Per Hand lassen sich kumulierte Wahrscheinlichkeiten berechnen, indem die einzelnen Wahrscheinlichkeiten, die die kumulierte Wahrscheinlichkeit einschließt, addiert. Beispiel: P(XES) CAS: Aktion, Verteilungsfunktionen, Diskret, binomial Cdf binomial CDf (von, bis, Länge ) genau ein Treffer P(x=1) mindestens drei Treffer P(x>3 oder 1- P(x≤2) Erwartungswert: Varianz: Standardabweichung: Histogramme: 0,20. 0,15- höchstens ein Treffer P(x ≤1) mindestens drei Treffer und höchstens sieben Treffer P(3≤ x ≤7) = P(x≤7) - P(x≤2) CAS: mehr als drei Treffer P(x>3) = P(x2) weniger als zwei Treffer P(x<2) In Fig. 2 ist p = 0,3. Für andere Werte von p erhält man entsprechende Diagramme. ↑P(X=k) 2 0,10- 0,05. PIX=0) + P(x-1) + P(X=2) + P(X= 3) + P(X= 4) + P(x=5) a=2,05 n=20 10 Kenngrößen bei binomialverteilten Zufallsgrößen м-пр V = n⋅p⋅ (1-p) = n⋅p.q 0=√√n.p. (1-P) -) a=4,10 4 20 25 n = 80 } 30 35 45 a=615 50 55 60 3 — P(x=i) I=0 = P(x=0) + P(x = 1) P(x ≥ 3) = + P(x-2) + P(x-3) 10 P(S≤X ≤ 10) - — / P(X-i) i-S binomialCDf (5,10,20,0,3) n=180 65 Hochpunkt kurve als Kontur 70 Fio ? Wende- punkt Fig.1 Die Fläche unter der Glockenkurve hat den Inhalt 1, weil die Summe der Flächeninhalte der Balken des Histogramms 1 ist. - Standardabweichung ist ein Maß für die Glockenbreite O entspricht dem Abstand der Wendestelle und der Extremstelle Beispiel 1 Nicht ganzzahliger Erwartungswert Eine binomialverteilte Zufallsgröße X hat die Parameter n = 65 und p = 0,3. Bestimmen Sie ihren Erwartungswert und beschreiben Sie seine Bedeutung. Lösung μ=65-0,3 = 19,5. Dies ist kein Wert von X, da er nicht ganzzahlig ist. In diesem Fall ist bei einem der benachbarten Werte 19 oder 20 die Wahrscheinlichkeit P(X= k) am größten. Es ist P(X=19) = 0,1073 und P(X= 20) = 0,1057. Also ist P(X=19) am größten. Ist der Erwartungswert nicht ganzzahlig, so muss geprüft werden, welche seiner Nachbarzahlen zutrifft. Geprüft werden die Werte, indem ihre Wahrscheinlichkeiten ausgerechnet werden. Beispiel: ²n p= 80 2/3 - 160 - 53.3 = n⋅p= 53,3 ist der Erwartungswert. Im Sachzusammenhang muss aber geguckt werden, ob 53 oder 54 wahrscheinlicher ist. Am sichersten ist es, bei derselben Wahrscheinlichkeit beide anzugeben, aber wenn nur einer gefordert ist, muss man sich für einen entscheiden! Histogramme mit CAS: CAS: Statistik P(X-53) 0.094 CAS: binomial PDF (53,80, 3/3) P(X-54)~ 0,094 - Calc - Verteilung - Binom. Einzelwkt. Hilfe weiter Beispiel Aufgabe 4 Seite 289 X Umfang n pos weiter 3 10 0,6 (Egal welche Zahl zwischen I und 10, es werden eh alle angezeigt) Wahrscheinlichkeit => Graphsymbol XC = 3 1 2. P (X= k) mit CAS berechnen Cal > - menu - statistik S list 1 10 FC =0,0424673 - keyboard Katalog -S - seq ( 2 Das untere Feld neben Cal auswählen Seq (X₁X₁0,10) U Die rosane Markierung mithilfe der Pfeiltasten bewegen List 2 -> P (X=k) - keyboard Katalog -B - binomialPDF ( binomial PDf (10,0.6) Wieder das untere Bereich Feld auswählen, aber Umfang Wahrsch diesmal unter list 2 EXE EXE Problemlösung mit der Binomialverteilung Bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei der Bernoulli-Kette treten drei Parameter auf: - die Anzahl der Versuchen (Länge der Kette) - die Trefferwahrscheinlichkeit p - die Anzahl der Treffer k Bislang wurde immer P (X= k) oder P (X <k) berechnet. Jetzt werden zusätzlich Fragestellungen betrachtet, bei denen diese Wahrscheinlichkeit gegeben ist und einer der Parameter gesucht. Achtung: die Wahrscheinlichkeit P (X = k) darf nicht mit der Trefferwahrscheinlichkeit p verwechselt werden! Variante I || IV n- Bestimmung Gesucht P(X= k) bzw. P(X = k) ↳> Wahrsch. für best. Anzahl Treffer n umfang, Lange der Kette Р Treffer- wahrsch. k Treffer- anzani Siehe IX,3 und IX,4 Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 b) fünf eine Rot-Grün-Schwäche haben. Lösung Beispiel Ein idealer Würfel wird achtmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens drei Sechsen zu würfeln? Gegeben: n=8, p=und k=3 Gesucht: P(X = 3) b) Es soll gelten P(X≥5) ≥ 0,85 bzw. P(X ≤ 4) ≤ 0,15. Mit dem Rechner bestimmt man P(X ≤4) für verschiedenen (vgl. Tabelle). Daraus ergibt sich die Mindestzahl n-80. Die Gruppe muss aus mindestens 80 Männern bestehen. Man möchte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine Sechs würfeln. Wie oft muss man mindestens würfeln? Gegeben: p=1, k-1, P(X ≥ 1) = 0,9 Gesucht: n Bei einem gezinkten Würfel sollen bei zehnmaligem Wer- fen mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% mindestens zwei Sechsen geworfen werden. Wie groß muss die Wahrschein- lichkeit für eine Sechs bei diesem Würfel mindestens sein? Gegeben: n10, k-2, P(X ≥ 2) = 0,8. Gesucht: p Man wirft einen idealen Würfel 50-mal. Wenn man mehr als k Sechsen würfelt, erhält man einen Gewinn. Wie groß muss k mindestens sein, damit man mit einer Wahrschein- lichkeit von höchstens 5% einen Gewinn erhält? Beispiel 1 Parameter n bestimmen Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland haben eine Rot-Grün-Schwäche. Bestim- men Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% mindestens a) einer eine Rot-Grün-Schwäche hat, Gegeben: n = 50, p=1, P(X k) = 0,05. Gesucht: k 6 Die Zufallsgröße X zählt die Personen mit Rot-Grün-Schwäche untern Männern. X ist binomialverteilt mit dem Parameter p=0,09; n ist gesucht. a) Es soll gelten P(X≥ 1) ≥ 0,85 bzw. P(X=0) ≤ 0,15. Wegen P(X= 0) = 0,91 löst man die Ungleichung 0,91 s 0,15. Durch Logarithmieren ergibt sich näherungsweise n ≥ 20,1. Die Gruppe muss aus mindestens 21 Männern bestehen. n 78 79 80 81 PX ≤4) 0,159 0,151 0,143 0,136 Auch Teilaufgabe a) kann wie b) durch Probieren gelöst werden. - Graphik + Tabelle - Keyboard Katalog -B - binomialCDf( binomial CDF (1.x.x.0.09) die eine Person, die wir brauchen îx <-Y Startwert: Ende: Schrittweite: OK îx -Y 20 30 OK EXE Startwert: 20 Ende: 21 Schrittweite: 0,1 Wahr- scheinl X 20 21 îx <-Y EXE Startwert: 10 Ende: 100 Schrittweite: 10 OK Y₁ 0,848 ← 85 0.862 X 10 20 30 => Es müssen 21 Männer sein Aufgabe: mindestens Somit muss hochgerundet werden auf 21 ул 0,61 0.84 0194 85 liegt dazwischen kleiner gleich binomial CDf (0, 4, X, 0.09) 1 Obere Grenze b) P(X≤4) Untere Grenze → und jetzt das Ganze mit 0,15 îx -Y Startwert: 78 Ende: 81 Schrittweite: 1 X~~∞ 78 000€ 79 80 Wahr- scheinl. Dokumentation: a) P(x >80) ~0,542 Antwort YA 0.1585 0,1506 0.143 -> 0.16 0.16 0.15 Bei mindestens in der Aufgabe muss man immer aufrunden und bei höchstens abrunden 10 Eine Ferienwohnanlage hat 80 Wohnungen. Erfahrungsgemäß werden 15% der Buchun- gen wieder storniert. Der Besitzer nimmt für die Pfingstferien 95 Buchungen an. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zu viele Buchungen angenommen wurden. b) Bestimmen Sie die Anzahl an Buchun- gen, die der Besitzer für die Pfingstferien annehmen sollte, damit die Wahrschein- lichkeit, dass zu viele Buchungen angenom- men wurden, kleiner als 5% ist. (nicht aufschreiben: binomial CDF (81,95,95,0.85)) b) Die Wahrschein!., dass mehr als 80 Leute kommen, soll kleiner sein als 5%. Es muss gellen, dass P(X²80) < 0,05 n P(x >80) 87 0,018 88 0.037 89 0,068 Antwort p-Bestimmung (nicht aufschreiben: Graphik + Tabelle binomial CDf (81, X, X, 0,85) Startwert: Endwert: Schrittw.: 1 Beispiel 2 Parameter p bestimmen Jedes Bauteil in einer Produktionsserie fällt mit der Wahrscheinlichkeit p aus. Der Ausfall der Bauteile geschieht unabhängig voneinander. Bestimmen Sie, wie groß p höchstens sein darf, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent bei einer Produktionsserie von 100 Bauteilen höchstens zehn ausfallen. Geben Sie den Wert auf zwei Nachkommastellen gerun- det an. Lösung Die Zufallsgröße X zählt die ausfallenden Bauteile bei einer Serie von 100 Stück. X ist binomial- verteilt mit n = 100, p ist gesucht. Es muss gelten: P(X ≤ 10) ≥ 0,9. Mit dem Rechner bestimmt man P(X ≤ 10) für verschiedene p (vgl. Tabelle). Daraus ergibt sich, dass p zwischen 0,075 und 0,070 liegen muss. Die Ausfallwahrscheinlichkeit darf höchstens 0,07 betragen. Р 0,080 0,075 0,070 gesucht:p gegeben: n=100 Es muss gelten: P(X ≤ 10) = 0,9 P(X = 10) 0,824 0,871 0,909 binomial CDf (0.10, 100, X) 1 untere obere Umfang Wahrschein! k-Bestimmung Beispiel 3 Parameter k bestimmen Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 20 Fragen. Zu jeder gibt es drei Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand nur durch Raten den Test besteht, soll höchstens 5% betragen. Bestimmen Sie die Mindestanzahl an richtigen Ant- worten, die für das Bestehen verlangt werden muss. Lösung Die Zufallsgröße X zählt die Anzahl der richtigen Antworten. Wenn jemand nur rät, ist X binomi- alverteilt mit n = 20 und p=/. Es ist die kleinste natürliche Zahl k gesucht, für die gilt: P(X= k) ≤ 0,05. Wegen P(X 2 k) -1- P(X ≤ k-1) muss dann P(X ≤ k-1) ≥ 0,95 sein. Mit dem Rechner bestimmt man P(X ≤k-1) P(X ≤k-1) 0,810 0,908 0,962 für verschiedene k (vgl. Tabelle). Daraus ergibt sich k-1-10, also k = 11. Es müssen für das Bestehen des Tests mindes- tens 11 richtige Antworten verlangt werden. gegeben: n = 20; p= 3/2 1 Graphik + Tabelle binomial cof (X.20.20₁4) CDF : Stichproben umfang <- Y 1x Startwert: 0 Ende: 20 Schrittw.: 1 k-1 8 9 10 (138) binomiale Wahr- Kettenlänge schein!. von bis 1 Tabelle: X лл E Antwort: 11 am nächsten an 0.05. Y 00376 Sigma-Regeln Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p, dem Erwartungswert μ=n-p und der Standardabweichung =√n-p-(1-p) erhält man folgende 0- Näherungen: 1. P(μ-0≤x≤μ + σ) = 68,3% 2. Ρ(μ-265Χ5 μ + 2x) = 95,4% 3. Ρ(μ-3σεXs μ + 3r) = 99,7% P(X=K) 0,08- 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0++ 30 35 Die Sigma-Regeln 99,7% 40 95,4% Maximum: Erwartungswert Blau: Sigma I Bereich (immer 68,3 %) Sigma: Standardabweichung 45 68,3% 4. P(u-1,640s X≤μ+ 1,640) 90% 5. P (u-1,960 ≤ x ≤ μ+ 1,960) = 95% 6. P (u-2,580 ≤X ≤μ + 2,580) = 99% 50 Im Tafelwerk 10 55 n=100 Breile p= 0,5 20 60 3a Anzahl k 65 Mithilfe der Sigma-Regeln kann man ohne Taschenrechner Binomialverteilungen berechnen. Die Bedeutung der Dtandardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße X ergint sich daraus, dass im lo-Intervall [u-o; μ+0] um den Erwartungswert näherungsweise 68,3% aller Treffer liegen. Man sagt, die Wahrscheinlichkeit des lo-Intervalls beträgt etwa 68,3%. Dabei berücksichtigt man nur ganzzahlige Ergebnisse im lo--Intervall. Da man mit den Sigma-Intervallen Prognosen für absolute Häufigkeiten machen kann, bezeichnet man sie auch als Prognoseintervalle. Die Wahrscheinlichkeit eines Sigma-Intervalls nennt man auch Sicherheitswahrscheinlichkeit B. Ein Prognoseintervall, dessen Sicheheitswahrscheinlichkeit B ist, wird auch B-Prognoseintervall genannt. Oft hat man bei der Bernoulli-Kette nur eine Vermutung über die Wahrscheinlichkeit p. tatsächlich ermittelt man ein Stichprobenergebnis k. Man nennt p mit k verträglich, wenn k im zugehörigen B- Prognoseintervall liegt. Dabei wird ß vorgegeben. Nach einer Faustregel liefern die Sigma-Regeln brauchbare Näherungen, wenn die „Laplace- Bedingung" >3 gilt. Bewertung von Stichproben verträgliche Stichprobenergebnisse: -1,96 0 ≤ x ≤ μ + 1,960. Solche Stichproben treffen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% ein. . signifikante Stichprobenergebnisse: X < M - 1,960 oder X> μ+ 1.960. Solche Stichproben sind ungewöhnlich, da sie nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% eintreffen. hochsignifiante Stichprobenergebnisse: X <U-2,580 oder X >μ+ 2,580. Solche Stichproben sind höchst unwahrscheinlich, da sie nur in 1% aller Stichproben auftreten. Vorgehensweise: 1. Man berechnet mithilfe des Stichprobenumfangs und der Erfolgswahrscheinlichkeit p den Erwartungswert µ = n • p und die Standardabweichung =√ √n • p • (1 - p)'. 2. Man bestimmt die Intervalle der Umgebung μ ± 1,960 und μ ± 2,580. 3. Man prüft, in welcher Umgebung die Zufallsgröße X der Stichprobe liegt. Aufgabenbeispiel: Bewerten einer Stichprobe 1 Ein Roulette-Rad enthält 37 Zahlenfelder, die unter regulatären Bedingungen alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p = 37 fallen müssten. Zur Kontrolle wurden 4000 Spiele durchgeführt, wobei die Zahl 17 am häufigsten, nämlich 132-mal erscheint. Die Zufallsgröbe x beschreibt, wie oft clie Zahl 17 erscheint. (Bernoulli-Experiment, ca p= 3/7 und die Voraussetzungen bei jedem Versuch sich nicht ändern.) n = 4000 P= 37 37 / ) M = 4000. 37 ≈ 108 0= √n.⋅p. (-p) 196. 10,26 ≈ 20 108 + 20 = 128 108-20= 88 1 = [88, 128] 132 liegt nicht im Intervall 1, somit ist das Stichproben ergibn is nicht verträglich mit M= n. p= 200.4 √n. Aufgabenbeispiel: Skizzieren eines Histogramms Skizzieren Sie das Histogramm der Binomialverteilung mit n = 20 und p = 0,4 nach Augenmaß. → Hochpunkt der Kurve o= / = = √4000 37 (1-37) ≈ 10,26 (-> Laplace- Bedingung erfüllt) 8 (n.p. (1-p) [μ-30₁ μ+30²] = [214] L. Spannweite √20 20 0,4 0.6 [μ²0₁1 +0] = [6, 10] ↳ Wende stellen. 0,125. Wichtig. Fläche unter der Glocke muss. etwa 4 betragen ~ 2 P(X=k) O U gedachtes Rechteck T 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2 Tipp: über 20 - Intervall ein gedachtes, Rechteck so platzieren, dass zur Glocken- flache etwa gleichviel hinzukommt, wie abgeschnitten wird. Da auch das Rechteck clie Fläche 1 haben muss, ergibt sich seine Höhe zu 40 = = = = 0.125. 1 Beispielaufgabe: Verträglichkeit überprüfen Martina verbringt ihre Ferien nach dem Abitur als Animateurin auf Kreta, weil dort für die vier Monate nur insgesamt 12 Regentage angegeben sind. Tatsächlich misst sie 17 Regentage. Überprüfen Sie, ob die behauptete Regenwahrscheinlichkeit bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% mit den beobachteten 17 Regentagen verträglich ist. n=120 vier Monate P = 120 u= n. p=12₁ 0= √n.p. (1-p)² = 3,29 -> > 12/20 = 10 95% - Prognoseintervall: [12-1.96-3,29; 12+ 1.96-3,29] = [5,56; 18.44] - [618] = Die Prognose p= 10 ist mit der Messung k=17 verträglich. Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit => Anhand von Stichprobenergebnisse Rückschlüsse auf die Erfolgswahrscheinlichkeit p der Gesamtheit ziehen Man legt eine o--Umgebung fest und sucht nach denjenigen Erfolgswahrscheinlichkeiten p, bei denen das Stichprobenergebnis X gerade noch in der Umgebung der entsprechenden Verteilungsfunktion liegt auf diese Weise erhält man eine kleinstmögliche erfolgswahrscheinlichkeit Pin und eine größtmögliche Erfolgswahrscheinlichkeit Pmax man wählt eine Wahrscheinlichkeit, mit der das Konfidenzintervall sich als richtig erweisen soll (z.B.95%) Man berechnet die Umgebung (μ ± ko ), die dieser angesetzten Wahrscheinlichkeit entspricht. (Bei 95% ist k = 1,96) Man löst die Gleichung npk. √n.p₁.(1-P₁) = X und n.pzk. √n.p₂.(1-P₂) =X nach p bzw. p auf. (Mit n = Stichprobenumfang und X = Stichprobenergebnis) | Beispielaufgabe: In Chiphersteller möchte herausfinden, wie groß der Anteil der defekten Chips ist und wählt dazu 400 Chips zufällig für eine Qualitätskontrolle aus. Dabei erweisen sich nur 368 Chips als intakt, der Rest, 32 Chips, ist defekt. Kann der Chiphersteller mit einer 95%-igen Sicherheit davon ausgehen, dass mindestens 85% der produzierten Gesamtmenge intakt sind? Für die Stichprobenergebnisse X gilt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%: μ-1,960 ≤ x ≤ μ + 1,96 0 Für X=368 kommen im Extremfall nur solche Erfolgswahrscheinlichkeiten in Frage, für die gilt: I M-1.960 = 368 und II u + 1,960 = 368 Mit n= 400 μ=n.p und σ= √n.p. (1-p). erhält man I 400. p₁ - 1.96 -√√400 p₁. (1-p₁) = 368 II 400 p₂ + 1,96 · √400. pz. (1-P₂) = 368 P1₁=94,26%. <=> ) P2= 88,94% Interpretation der Ergebnisses: Die Erfolgswahrscheinlichkeit p2= 88,94% ist der kleinste p-Wert der Gesamtheit, mit dem X = 368 gerade noch verträglich ist. Der Erwartungswert einer Stichprobe mit 400 ziehungen wäre clann M₂= 0,8894.400 ≈ 356. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p₁= 94,26% ist der größte p-Wert der Gesamtheit, mit dem X = 368 gerade noch verträglich ist. Der Erwartungswert einer Stichprobe mit 400 Ziehungen wäre dann U₁- 09426.400 × 377. Der Chiphersteller kann also mit einer 95%-igen Sicherheit davon ausgehen, dass der tatsächliche Anteil der intaliten. Chips irgendwo im Intervall zwischen 88,94% und 94,26% liegt und somit seine Vorgabe (mindestens 85% aller Chips sollten intalat sein) erfüllt ist. Man beachte. Das obige p-Intervall enthält aufgrund des Ansakes her mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % den tatsächlichen, unbekannten p-Wert. Das berechnete Intervall für die p-Werte wird als Vertrauensinterall bzw. Konfidenzintervall bezeichnet. Je höher man die Wahrscheinlichkeit wählt, mit der das Konfidenzintervall den tatsächlichen p-Wert enthalten soll, umso größer wird dieses Intervall. Im Tafelwerk Die Normalverteilung - Verteilungen, die ganzzahlige Wette annehmen, nennt man diskret - Verteilungen, die beliebig viele reelle Werte annehmen können, nennt man stetig L₂ Gauß sche Glockenfunktion Z› Eine stetige Funktion, deren Graph eine solche Glockenform annimmt 0.3 0,2 0,1- 0 Ein Beispiel ist die Normalverteilung -> Mit zunehmendem n werden die Histogramme von Normalverteilungen immer glockenförmiger. Gleichung: 4(x)= Flächeninhalt unter der Kurve: 4(x) dx = 1 Um die Gauß sche Glockenkurve an die Histogramme der Normalverteilung anzupassen, wird die Glockenkurve gestreckt bzw. verschoben, wobei der Flächeninhalt I bleiben muss. Beispiel: ty 34 38 42 1 √21 с n-50 p=0,8 e 46 50 54 Die Glockenkurve hat ihr Maximum an der Stelle O. Man verschiebt deshalb die Glockenkurve so, dass das Maximum beim Erwartungswert M-40 angenommen wird: -2 (x-μ)² 4μµ(x)= √29 Das Maximum der Glockenkurve 1 ist 20.4, das der Binomialverteilung etwa 0,14. -co 0,2- 0,1- y n-50 p=0,8 34 38 42 46 50 54 o X Man staucht also die Glockenkurve mit den Faktor in y-Richtung: 1 4μ₁0 (x) = 0√√201 ^y 0,2- 0,4 0,1- -3-2 -1 0 0 03- 0,2 Der Graph der Gauß schen Glockenfunktion heißt Gauß sche Glockenkurve ty 0,1- 38 42 46 Als Verhältnis ergibt sich 0,4: 0,14 Durch die Stauchung hat sich der ≈2,86 Zum Vergleich: Flächeninhalt unter der Kurve auf verringert. Damit der Flächeninhalt wieder 1 wird, streckt man die Kurve in x-Richtung durch Multiplikation 0= √n.p⋅ (1-p) ≈ 2.83. 1 von x-u mit o n=50 p=0,8 50 54 1 O WRIT 2Die entstandene Kurve hat die - (x-μ) Gleichung e Qμ₂0 (x) e Ihr Graph bildet nun die Kontur der Binomialverteilung. Man enthält mithilfe dieser Funktion z.B, einen Näherungswert für P(X-38). Dieser Wert entspricht dem Flächeninhalt des Balkens bei k-38 mit Breite 1 und Höhe P(X-38). Die Fläche unter der Glockenkurve im Bereich [37,5; 38,5] ist ungefähr so groß wie der Balken. 38,5 Also gilt: P(X=38); 4μ₁0 (x) dx; mit μ= n⋅p und σ=√√n.p. (1-P) 37,5 Die Anpassung der Integrationsgrenze nennt man Stetigkeitskorrektur. Entsprechend erhält man mit der Stetigkeitskorrektur zum Beispiel die Näherung 415 P(85 ≤x≤41) ≈ Die Näherung liefert brauchbare Werte, wenn für die Standardabweichung die Laplace-Bedingung gilt. Man kann also Binomialverteilungen durch Integrale annähern (Satz von de Moivre-Laplace). Indem man von diskreten zu stetig verteilten Werten der Glockenfunktion übergeht, gelangt man zur Normalverteilung: Definition: Eine stetige Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern u und &, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Wert im Intervall [a;b] annimmt, gleich dem Wert des zugehörigen Flächeninhalts unter dem Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion 4μ; 0 ist: b -(x-μ)* cx -2 a 84,5 Die Funktion , nennt man eine Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion über dem Integral (-; ∞ ). Man verwendet auch die Integralfunktion , mit Qμ₁0 (x)= (déauch Verteilungsfunktion genannt. 1 C -∞ √211 Da sie eine Stammfunktion von o ist, kann man damit schreiben: P(a≤x≤ b) - Qμo (b) - Qμo (a) sowie P(xx) - O:0 (x). LI Für u = O und=1 spricht man von der Standardnormalverteilung. Die Wahrscehinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsgröße X genau den Wert a annimmt, ist null, weil Samo (x) dx = O ist. Man betrachtet daher Intervalle mit positiver Länge. P(a≤X b) = a ^ O√2π Qμo (x)dx. e Taschenrechner: norm PD f (x₁0, μ) - Befehl für die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte einer normalverteilten Zufallsgröße mit Erwartungswert und Standardsabweichung norm CDf (a, b,o,μ). - Befehl zum Zeichnen des Graphen der entsprechenden Glockenfunktion Befehl für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(a ≤ x ≤ b) Achtung: für die Berechnung von P(X ≤ b) gibt man als untere Grenze mit „Keyboard" + „Math2“ - co ein. inv Norm CD f (P(x), 0₁) - Bestimmung des Wertes der Zufallsgröße für den gilt: P(X≤x) = d mit: interaktiv + Verteilungsfunktion“ + „Umkehrfunktion" Beispiel: Die tatsächliche Zustimmungsrate für eine Partei liege bei p = 20%. Nun we4en n = 1000 Personen nach ihren Wahlabsichten befragt. X sei die zufällige Anzahl derer, die die Partei wählen wollen. Man erwartet, dass µ = 200 der Befragten sich für die Partei aussprechen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das prognostizierte Ergebnis X/1000 im 2%- Bereich um den tatsächlichen Wert p liegt? 0,021000 = 20 0 = 160 P1180≤x≤220) = P(X ≤ 220) - P(X ≤ 179) * § (2005) - (- 2015) € 0,895 Mit fast 90%. Wahrscheinlichkeit sagt man also ein Ergebnis zwischen 18% und 22% voraus, wenn der tatsächliche Wert für die Partei P=20% ist. Tipp: Wenn in der Aufgabe mehr als steht, nimmt man bei Normalverteilungen trotzdem den Wert, der eigentlich nicht eingeschlossen sein sollte! Beispiel: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für mehr als 127 g. P(X>127) = CAS: norm CDF (127, ∞0, 2₁ *** 125) м Aufgabenbeispiel: Bestimmen Sie das größte Gewicht, das mindestens 95% der Packungen überschreitet. Ansatz: P(x > a) = 0,95 CAS: solve (1-normc DF (0.X, 2.125) = 0.95) <=> a≈ 121,7 4 Gewicht Prognoseintervalle für relative Häufigkeiten Im Tafelwerk Im Alltag versucht man Ungenauigkeiten dadurch zu reduzieren, dass man Datenerhebungen oder Messungen mehrfach durchführt und anschließend den Mittelwert verwendet. Das soll im Folgenden mithilfe der Sigma-Regeln untersucht werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Laplace-Bedingungo › 3 gilt, damit man die Sigma-Regeln auf die Binomialverteilung mit ausreichender Genauigkeit anwenden kann. Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n und der Trefferwahrscheinlichkeit p gilt nach der 20-Regel für die Trefferzahl X mit ca. 95,4%iger Wahrscheinlichkeit n.p-2√√/n.p. (1-p)² ≤ x ≤ n⋅p +2√n.p.(1-p). Hieraus erhält man nach Division durch n für die Häufigkeit h √p. (1-0) in √p. (1-P) in P-2. 4 r = 2 Vor einer Versuchsdurchführung ist man also recht sicher (Wahrscheinlichkeit etwa 3-95,4%, dass die relative Häufigkeit für „Treffer“ im Intervall lp - [p- 2 ¹P (1-P) in -; P + 2√√P. (1-P) un liegen wird. Deswegen heißt lß auch ß-Prognoseintervall für die relative Häufigkeit mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit 3 = 95,4%. √P. (1-P) √n man für andere Sigma-Intervalle und erhält: | B = n ≤ p+2. bezeichnet man als Radius des Prognoseintervalls. Entsprechend verfährt Satz: Bein einer Bernoulli-Kette der Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p liegt bei einer Stichprobe die relative Häufigkeit h für einen Treffer mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit ß im Intervall √p. (1-0) in [P-2. JP. (1-P) in 1 ; P + 2. Man nennt dieses Intervall B-Prognoseintervall Dieser Satz wird auch Gesetz für Prognoseintervalle genannt. Dadurch wird verdeutlicht, dass bei konstantem p die Länge des 1 Prognoseintervalls proportional zu NT √P. (1-P) N ist: Der Radius T = 2₁ 1 Jn des √n -Prognoseintervalls halbiert sich z.B., wenn man den Versuchsumfang vervierfacht. Man spricht daher von einem Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe. Denn die Trefferwahrscheinlichkeit p gilt für die Grundgesamtheit, und der Satz macht eine Aussage über das Ergebnis einer Stichprobe, wenn man p kennt. Beispiel 1 Prognoseintervalle Ein Laplace-Würfel wird 100-mal gewürfelt. a) Berechnen Sie für die relative Häufigkeit der Sechsen das 95% Prognose intervall. b) Beschreiben Sie in Worten die Bedeutung Ihrer Rechenergebnisse. ·|į. Verträglichkeit - Wahrscheinlichkeitsangaben bezweifeln Mit dem Gesetz schließt man von einer bekannten Wahrscheinlichkeit p über das Prognosein- tervall auf die relative Häufigkeit. Wenn man eine relative Häufigkeit h beobachtet, die im 95,4%-Prognoseintervall von p liegt, sagt man: „p ist mit h verträglich." Wenn man sich bei einer Wahrscheinlichkeitsangabe p aber unsicher ist und p nicht mit h verträglich ist, besteht Anlass, die Wahrscheinlichkeitsangabe p zu bezweifeln. Für andere Werte von ß als 95,4% ergänzt man ggf. p ist bezüglich der Sicherheitswahrscheinlichkeit ß mit h verträglich." 195%- -1,96- Lösung a) Da z = 1,96 zu ß-95% gehört, erhält man das Intervall AT +1,96. [0,094; 0,240], gerundet auf drei Dezimalen. V100 b) Wenn man viele Serien mit je 100 Würfelversuchen durchführt, erwartet man, dass die relative Häufigkeit der Sechsen in ca. 95% dieser Serien im Intervall [0,094; 0,240] liegt. Beispiel 2 Bezweifeln einer Wahrscheinlichkeitsannahme Nehmen Sie an, dass bei einem handgesägten N Würfel eine Sechs mit Wahrscheinlichkeit fällt. a) Bestimmen Sie das 99%-Prognose intervall für die relative Häufigkeit der Sechser bei n = 100 bzw. n - 1000 Versuchen. b) Man beobachtet die relative Häufigkeit 0,21. Untersuchen Sie, ob Anlass besteht, an der Annahme zu zweifeln, dass p - die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs ist. 1 1,64 1,96 2 18 2 55% 95,4% 99% 99,7% Zuordnung von Faktor z und Sicherheitswahrscheinlichkeit 2,58 3 c2 Lösung a) Die 99%-Prognoseintervalle sind [0,071; 0,263] (n = 100) bzw. [0,136; 0,197] (n = 1000). b) Da 0,21 im ersten Prognoseintervall von Teilaufgabe a) liegt, besteht noch kein Anlass, an p= zu zweifeln, wenn die relative Häufigkeit aus 100 Versuchen ermittelt wurde. Wenn ihr aber 1000 Versuche zugrunde lagen, hat man Grund, p = zu bezweifeln, weil p bei der geforderten Sicherheitswahrscheinlichkeit B-99% mit h= 0,21 nicht verträglich ist. 68,3% 90% Wenn p nicht mit h verträglich ist, sagt man auch: „Die Ab weichungen zwischen der angenommenen Wahrscheinlichkeit p und der beobachteten relativen Häufigkeit h sind statistisch signifi kant." Konfidenzintervalle Im Tafelwerk Das Gesetz macht bei bekannter Wahrscheinlichkeit p eine Aussage über die zu erwartende relative Häufigkeit h. In der Praxis nutzt man es auch umgekehrt, um von einer beobachteten relativen Häufigkeit h auf die unbekannte Wahrscheinlichkeit p zu schließen. Man gibt dazu ein Intervall möglicher Werte von p an, das h enthält, und vertraut darauf, dass p in diesem Intervall liegt. Daher nennt man ein solches Intevall Vertrauensintervall oder Konfidenzintervall. Die Situation wird an einem Beispiel verdeutlicht. Eine Partei hat vor einer Wahl insgesamt einen Stimmanteil p, der nicht genau bekannt ist. Um eine Schätzung für p zu erhalten, führt man eine Wählerumfrage durch. Eine Stichprobe vom Umfang n = 100 ergibt eine relative Häufigkeit der Stimmen von h = 36 % für die Partei. Ein 95,4%-Konfidenzintervall (zur Sicherheitswahrscheinlcihkeit ß = 95,4%) wird nun gebildet aus allen Werten von p, in deren 95,4%-Prognoseintervall h liegt. Man sagt auch, dass diese Werte von p mit der Stichprobe auf dem Konfidenzniveau 95,4% verträglich sind. Der kleinste Wert des Konfidenzintervalls ist die Wahrscheinlichkeit på, für die h = 0,36 die Obergrenze des Prognoseintervalls darstellt. Der größte Wert des Konfidenzintervalls ist entsprechend die Wahrscheinlichkeit på, für die h = 0,36 die Untergrenze des Prognoseintervalls darstellt. Damit erhält man die Grenzen des Konfidenzintervalls aus den beiden Gleichungen 1) P+ √p. (1-P) in √P. (1-P) √n 2 = 0,36 ( => 0,36 <=> P₁ = 0.272 27 p-2 Damit ergibt sich = [0,272, 0₁461] als Konfidenzintervall. Man sagt auch: „Ein Konfidenzintervall ist eine Intervallschätzung für das unbekannte p." P2=0,461 Man kann die Berechnung wie folgt grafisch veranschaulichen: Man trägt zu jeder Wahrscheinlichkeit p auf der Rechtsachse das (zu p symmetrische) Prognoseintervall vertikal ein (orange gefärbt). Diese Intervalle werden begrenzt durch die Graphen der Funktionen mit f₂ (P) = PI 2. P /P. (1-P) n Die Grenzen des Konfidenzintervalls (grün gefärbt) sind dann die Schnittstellen der Gerade zu h = 0,36 mit den beiden Funktionsgraphrn. Definition: Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n ergibt eine Stichprobe die relative Trefferhäufigkeit h Das B-Konfidenzintervall besteht aus allen Werten von p, in deren B-Prognoseintervall h liegt. Bedeutung des Konfidenzintervalls Wenn man bei einer Bernoulli-Kette mit der "wahren" = h th 1,0+ 0,35 0,8+ (enthalten relative Häufigkeiten) 0,6+ 0,4+ 0,2+ f. (p) = p +2 Prognoseintervalle wahres p= 0,35 0,2 0,4 0,6 0,272 0,461 √p. (1-P) un 0,30 0,40 Die grauen Konfidenzintervalle überdecken p, die roten nicht. p(1-p) n Satz: Man erhält die Grenzen des 3-Konfidenzintervalls, indem man die folgenden Gleichungen für die Grenzen des Konfidenzintervalls nach p auflöst: 1) p+2. √p. (1-P) un bzw. 2) p-2. Trefferwahrscheinlcihkeit p mehrfach Stichproben durchführt, liegen auf lange Sicht etwa 95,4% der relativen Häufigkeiten h im 95,4%- Prognoseintervall zu p (in der Grafik orange). Für diese Werte von h überdeckt das zufallsabhängige 95,4%- Konfidenzintervall die Trefferwahrscheinlcihkeit p. Daher gilt angenähert: f. (p) = p - 2 h = 0,36 Konfidenzintervall (enthält Wahrscheinlichkeiten) 0,8 1,0 =h N p(1-P) n c2 1 1,64 1,96 2 2,58 3 р Fig. 1 68,3% 90% 95% 95,4% 99% 99,7% Zuordnung von Faktor z und Sicherheitswahrscheinlichkeit Satz: Ein B-Konfidenzintervall überdeckt die unbekannte Trefferwahscheinlichkeit p mit der Wahrscheinlichkeit B. Wichtig: Weil die Sigma-Regeln für die Binomialverteilungen nur näherungsweise gelten, gilt auch die Aussage nur annähernd. Beispiel: Lösung: a) Die blaue Zeile steht für das Ergebnis beim ersten Drehen, die blaue Spalte für das Ergebnis beim zweiten Drehen. Die weißen Zellen geben den Betrag x der Differenz an. Möglich sind die Werte 0, 1, 2, 3. P(X=k). b) Die Wahrscheinlichkeiten P (X=x) erge- ben sich mithilfe der Laplace-Regel. Alle Wahrscheinlichkeiten der Wahrschein- lichkeitsverteilung addieren sich zu 1. 0100 4 Histogramme Das abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht und der Betrag der Differenz der beiden Ergebnisse berechnet. Die Zufallsgröße X gibt diesen Betrag an. 7100 a) Bestimmen Sie, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann und geben Sie die zugehörigen Ergebnisse an b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße. c) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung in einem Histogramm dar O 1 2 1 2 3 4 X ->für nicht binom. Verteilungen. P(X= 0) = 1/6 = 1/2 P(X= 2) = 1/6 = 1/2 P(X=X) 1 0 1 2 3 X 0 1 4 2 21 0 1 2 3 2 1 0 1 3 8 1 1 P(X= 1) = 6 = ²/ P(X= 3) = 7/6 = 1/2 2 1 4 4 4 3 2 1 0 3 1 2 3 - zeichnen Sie eine X- und eine Y-Achse - tragen Sie auf der X-Achse für jeden möglichen Wert x der Zufallsgröße eine Säule ein