Der Gauß-Algorithmus - Grundlegende Umformungsregeln
Der Gauß-Algorithmus, auch als Gauß-Verfahren bekannt, ist eine systematische Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Die Besonderheit dieses Verfahrens liegt in seiner strengen Regelung der erlaubten Umformungsschritte, die die mathematische Korrektheit gewährleisten.
Definition: Der Gauß-Algorithmus basiert auf drei fundamentalen Umformungsregeln, die die Äquivalenz des Gleichungssystems bewahren.
Die erste erlaubte Operation ist das Addieren und Subtrahieren von Zeilen. Dabei können beliebige Zeilen des Gleichungssystems miteinander addiert oder voneinander subtrahiert werden, ohne die Lösungsmenge zu verändern. Diese Operation ist besonders nützlich, um Variablen zu eliminieren und das System in Stufenform zu bringen.
Die zweite zulässige Umformung ist die Multiplikation oder Division einer kompletten Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl. Diese Operation wird häufig verwendet, um Koeffizienten zu vereinfachen oder um bestimmte Terme für spätere Additionen oder Subtraktionen vorzubereiten. Wichtig ist dabei, dass die gesamte Zeile mit demselben Faktor multipliziert oder dividiert werden muss.
Highlight: Das Vertauschen von Zeilen ist die dritte erlaubte Operation und kann jederzeit durchgeführt werden, ohne das Ergebnis zu beeinflussen.