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LGS Gauß-Verfahren Rechner und Übungen: Einfach erklärt und Beispiele mit Lösungen

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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LGS Gauß-Verfahren Rechner und Übungen: Einfach erklärt und Beispiele mit Lösungen

Maja

@maja_spc

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Das Gauß-Verfahren ist eine effiziente Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Es nutzt Äquivalenztransformationen, um das System in Zeilenstufenform zu bringen und schrittweise die Variablen zu eliminieren. Neben dem Gauß-Verfahren gibt es auch das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Diese Methoden sind besonders wichtig in der linearen Algebra und finden Anwendung in verschiedenen mathematischen und praktischen Problemstellungen.

• Das Gauß-Verfahren reduziert den Rechenaufwand bei komplexen linearen Gleichungssystemen.
• Es basiert auf drei Hauptschritten: Zeilenstufenform finden, erste Lösung ablesen und rückwärts einsetzen.
• Erlaubte Umformungen sind das Addieren und Subtrahieren von Zeilen, Multiplizieren und Dividieren von Zeilen mit einer Zahl sowie das Vertauschen von Zeilen.
• Andere Lösungsmethoden wie das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren können je nach Gleichungssystem vorteilhaft sein.

21.2.2023

6866

LGS/ Gauß
Verfahren Inhaltsverzeichnis
●
Fachbegriffe
Lineare Gleichungssysteme
●
Einsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahren
Additionsverf

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Einführung in Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren

Diese Seite bietet eine Übersicht über die Hauptthemen des Dokuments. Es werden verschiedene Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme vorgestellt, darunter das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren, das Additionsverfahren und das Gauß-Verfahren. Diese Verfahren sind grundlegende Werkzeuge in der linearen Algebra und spielen eine wichtige Rolle bei der Lösung komplexer mathematischer Probleme.

Highlight: Das Gauß-Verfahren ist eine besonders effiziente Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme und wird in diesem Dokument detailliert behandelt.

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Beispiel für das Gauß-Verfahren

Auf dieser Seite wird ein konkretes Beispiel für die Anwendung des Gauß-Verfahrens bei einem linearen Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten gezeigt.

Example:

x + 2y + z = 12
x - y + 2z = -3
2x + 3y - 3z = 25

Das System wird schrittweise in Zeilenstufenform gebracht und gelöst.

Highlight: Das Beispiel demonstriert die praktische Anwendung der zuvor erklärten Schritte des Gauß-Verfahrens.

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Wichtige Fachbegriffe im Kontext Linearer Gleichungssysteme

Diese Seite führt zentrale Begriffe ein, die für das Verständnis linearer Gleichungssysteme und des Gauß-Verfahrens unerlässlich sind. Es werden Konzepte wie Äquivalenztransformation, Zeilenstufenform, Koeffizient und Koeffizientenmatrix erläutert.

Vocabulary: Äquivalenztransformation ist die Umformung einer Gleichung, bei der die Lösungsmenge erhalten bleibt.

Definition: Die Zeilenstufenform ist eine spezielle Anordnung der Gleichungen in einem linearen Gleichungssystem, bei der in jeder Zeile (von oben nach unten) mehr Nullen am Anfang stehen als in den vorherigen Zeilen.

Example: Eine Koeffizientenmatrix für ein System mit drei Gleichungen und drei Variablen könnte so aussehen:

2x + 1y + 3z = 1
4x + 4y + 9z = -4
-2x + 5y + 3z = -1

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Schritte des Gauß-Algorithmus

Auf dieser Seite werden die drei Hauptschritte des Gauß-Algorithmus erläutert: das Finden der Zeilenstufenform, das Ablesen der ersten Lösung und das rückwärts Einsetzen.

Example: In der Zeilenstufenform hat die erste Gleichung noch alle Unbekannten, die mittlere nur noch zwei und die letzte nur noch eine Unbekannte.

Highlight: Das rückwärts Einsetzen ermöglicht es, ausgehend von der bekannten Variablen, die Werte der anderen Variablen zu berechnen.

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Abschluss

Die letzte Seite bildet den Abschluss der Präsentation über lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren.

Highlight: Die Präsentation bietet einen umfassenden Überblick über verschiedene Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme, mit besonderem Fokus auf das effiziente Gauß-Verfahren.

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Grundlagen Linearer Gleichungssysteme

Diese Seite erklärt, was lineare Gleichungssysteme sind und stellt die drei Hauptverfahren zu ihrer Lösung vor: das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Es wird betont, dass jedes dieser Verfahren zum richtigen Ergebnis führt, aber je nach Gleichungssystem kann eines besonders vorteilhaft sein.

Definition: Ein lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn mindestens zwei lineare Gleichungen mit mindestens zwei Variablen gegeben sind.

Highlight: Die Wahl des Lösungsverfahrens hängt von der Struktur des Gleichungssystems ab und kann die Berechnung erheblich vereinfachen.

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Das Einsetzungsverfahren

Diese Seite erläutert das Einsetzungsverfahren, eine der grundlegenden Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Es wird ein schrittweiser Ansatz vorgestellt, bei dem eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst und in die andere eingesetzt wird.

Example: Ein Beispiel für das Einsetzungsverfahren:

x = 6 - 4y (aus Gleichung I)
-(6-4y) + 5y = 30 (Einsetzen in Gleichung II)
-6 + 4y + 5y = 30
9y = 36
y = 4

Highlight: Das Einsetzungsverfahren ist besonders nützlich, wenn eine der Gleichungen bereits nach einer Variablen aufgelöst ist oder sich leicht auflösen lässt.

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Quellen

Diese Seite listet die verwendeten Quellen auf, darunter Studyflix, Mathebibel und abiturma. Diese Ressourcen bieten weitere Informationen und Übungsmöglichkeiten zu linearen Gleichungssystemen und dem Gauß-Verfahren.

Highlight: Die genannten Plattformen sind wertvolle Ressourcen für Schüler und Studenten, die ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten.

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Das Gleichsetzungsverfahren

Auf dieser Seite wird das Gleichsetzungsverfahren erklärt, eine weitere Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Bei diesem Verfahren werden beide Gleichungen nach der gleichen Variablen aufgelöst und dann gleichgesetzt.

Example: Ein Beispiel für das Gleichsetzungsverfahren:

y = 3x + 5 (aus Gleichung I)
y = 5 + 2x (aus Gleichung II)
3x + 5 = 5 + 2x
x = 0
y = 5

Highlight: Das Gleichsetzungsverfahren ist besonders effektiv, wenn sich beide Gleichungen leicht nach derselben Variablen auflösen lassen.

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Das Additionsverfahren

Diese Seite beschreibt das Additionsverfahren, eine dritte Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Bei diesem Verfahren werden die Gleichungen so umgeformt, dass sich beim Addieren eine Variable eliminiert.

Example: Ein Beispiel für das Additionsverfahren:

2x + y = 3
5x + y = 11
-3x = -8 (nach Addition)
x = 2
y = 1 (durch Einsetzen in eine der ursprünglichen Gleichungen)

Highlight: Das Additionsverfahren ist besonders nützlich, wenn die Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen Gegenzahlen sind oder leicht dazu umgeformt werden können.

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Einführung in Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren

Highlight: Das Gauß-Verfahren ist eine besonders effiziente Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme und wird in diesem Dokument detailliert behandelt.

Beispiel für das Gauß-Verfahren

Auf dieser Seite wird ein konkretes Beispiel für die Anwendung des Gauß-Verfahrens bei einem linearen Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten gezeigt.

Example:

x + 2y + z = 12
x - y + 2z = -3
2x + 3y - 3z = 25

Das System wird schrittweise in Zeilenstufenform gebracht und gelöst.

Highlight: Das Beispiel demonstriert die praktische Anwendung der zuvor erklärten Schritte des Gauß-Verfahrens.

Wichtige Fachbegriffe im Kontext Linearer Gleichungssysteme

Vocabulary: Äquivalenztransformation ist die Umformung einer Gleichung, bei der die Lösungsmenge erhalten bleibt.

Definition: Die Zeilenstufenform ist eine spezielle Anordnung der Gleichungen in einem linearen Gleichungssystem, bei der in jeder Zeile (von oben nach unten) mehr Nullen am Anfang stehen als in den vorherigen Zeilen.

Example: Eine Koeffizientenmatrix für ein System mit drei Gleichungen und drei Variablen könnte so aussehen:

2x + 1y + 3z = 1
4x + 4y + 9z = -4
-2x + 5y + 3z = -1

Schritte des Gauß-Algorithmus

Auf dieser Seite werden die drei Hauptschritte des Gauß-Algorithmus erläutert: das Finden der Zeilenstufenform, das Ablesen der ersten Lösung und das rückwärts Einsetzen.

Example: In der Zeilenstufenform hat die erste Gleichung noch alle Unbekannten, die mittlere nur noch zwei und die letzte nur noch eine Unbekannte.

Highlight: Das rückwärts Einsetzen ermöglicht es, ausgehend von der bekannten Variablen, die Werte der anderen Variablen zu berechnen.

Abschluss

Die letzte Seite bildet den Abschluss der Präsentation über lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren.

Highlight: Die Präsentation bietet einen umfassenden Überblick über verschiedene Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme, mit besonderem Fokus auf das effiziente Gauß-Verfahren.

Grundlagen Linearer Gleichungssysteme

Definition: Ein lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn mindestens zwei lineare Gleichungen mit mindestens zwei Variablen gegeben sind.

Highlight: Die Wahl des Lösungsverfahrens hängt von der Struktur des Gleichungssystems ab und kann die Berechnung erheblich vereinfachen.

Das Einsetzungsverfahren

Example: Ein Beispiel für das Einsetzungsverfahren:

x = 6 - 4y (aus Gleichung I)
-(6-4y) + 5y = 30 (Einsetzen in Gleichung II)
-6 + 4y + 5y = 30
9y = 36
y = 4

Highlight: Das Einsetzungsverfahren ist besonders nützlich, wenn eine der Gleichungen bereits nach einer Variablen aufgelöst ist oder sich leicht auflösen lässt.

Quellen

Highlight: Die genannten Plattformen sind wertvolle Ressourcen für Schüler und Studenten, die ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten.

Das Gleichsetzungsverfahren

Example: Ein Beispiel für das Gleichsetzungsverfahren:

y = 3x + 5 (aus Gleichung I)
y = 5 + 2x (aus Gleichung II)
3x + 5 = 5 + 2x
x = 0
y = 5

Highlight: Das Gleichsetzungsverfahren ist besonders effektiv, wenn sich beide Gleichungen leicht nach derselben Variablen auflösen lassen.

Das Additionsverfahren

Example: Ein Beispiel für das Additionsverfahren:

2x + y = 3
5x + y = 11
-3x = -8 (nach Addition)
x = 2
y = 1 (durch Einsetzen in eine der ursprünglichen Gleichungen)

Highlight: Das Additionsverfahren ist besonders nützlich, wenn die Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen Gegenzahlen sind oder leicht dazu umgeformt werden können.