Lineare Algebra

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Ű und V: €:x=ã+r·ū+S·√ [r₁3€ⓇR) · einer Geraden g:x-a+r.ū² und einem Punkt B&g: €:x-aª+r·a·s·AB (r.SER) • zwei sich schneidenden Geraden g:ỹ·a+r·ū und h·ỹ·b+s·√: €³x²·a+r·ū+3•√° (r₁s €R) • zwei echt parallelen Geraden g⋅ x = a +r⋅u und n⋅ x·b+s·Ñ³ €:×·☎+r·Ù+S· AB (r₁5 €R) Schritt 2: Parameterform aus 3 Punkten aufstellen ²₂ €³x³+√·ū+S·V (r.SER) a.b 1-161 Addition and Substraktion: ä+ 5-()-(S)-(6) a+ba+ a+b € (-a)-n-0 cst: Normalenform in coordinaten form · ©-✪) ()- a Möglichkeit 2: Schrift: Normalenform nach einer koordinate auflösen (z. B.X₂) Schritt 2: freie Koordinaten mit Parametern besetzen (z. B x₁ =r₁ X₂=S) Schritt 3: als vector darstellen 15 (a+0,5+0) ã - ¯- () - () - ( 5 a velctor product 18₁-b₁ 8a-bs 83-b3/ a-b La+ (-5) Normalen form (€: (x-a)·ñ³0) I axba xb2 Parameter form-> Normalenform €:X-a+r.us.V C₂ Vektor product: Schritt: Velctorproduct der beiden spannvectoren bilden Schritt 2: Stotzvelctor a aus parameterform übernehmen und in 6: (x-a)·ñ°-0 einsetzen Coordinatenform (tax₁ + bx₂ + (x₂ -d) | = 0 -> Ausmultiplizieren -> €: ax₂ + bx₂+ Cx₂ =d ааааааа Sinnvolle Umwandlungen Parameterform (€:X-a+r·ũ+s⋅V (r₁5 € IR)) ↓ 1-5 Stalare Multiplikation Normalen form / Koordinaten form einer ebene Normalenvelctor - (): stent senkrecht auf einer Ebene € > € (-a)-0 (Punict- Normalenform der Ebenen gleichung) eñox-oa-o callgemeine Normalen form) €:nox-d-o a r.ar.az az-b3-as bz as b₁-a4-b3 a₁·b₂-a₂-b₁ C> Anwendung: · Ermittlung eines zu zwel velctoren a und 50 sentrecht stehenden Velctors : - ab mit Cla und C15 •Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms oder Dreiecks: Ap-lax 51 A₂ · 1×51 ; Cage von Geraden und ebenen bezüglich der Koordinaten ebenen X₁ X₂ - Coene: x3 =0 (₁ײ • 0 X₁ X3-Ebene: X₂=0 (-0 X₁=00 , X₂ X3-Ebene: ²3 bzw. €²N₂²X₂ +₂²X₂ + N 3 X 3 =α (coordinatenform der Ebenen gleichung) bzw. E: ax + b*X₂ + C*Xs •d Lage im coordinatensystem: Normallfall 3 Schnittpunkte mit den Achsen: €: 2x₁ + bx₂ + Cx₂=d • Parallel zu einer Achse (x₂-Achse): €:8x₁ + bx₂ =d ·Parallel zu 2 Achsen (x₂x3-Ebene): €: ax₁=d in Coordinatenebene (x₂x3-Ebene): E: X₁ ²0 ).(:)) (TER) •Berechnung des Volumen eines Spats: Vispat-la. (5x) •Berechnung des volumens einer vierseitigen Pyramide ABCDS, deren Grund- fläche ein Parallelogramm ist: V···(6×2) •Berechnung des Volumens einer dreiseitigen Pyramide ABCS: V•·lã• coxT)| 2-a Hesse'sche Normalenform Normaleneinheitsvector no Normalenvelctor einer $ Ebene der länge 1, dass heißt no-Fr für einen Normalenvektorn der Ebene Hesse'sche Normalen form: E:n₂ · (x²-a)-0 Coordinatengleichung: N4X4+n₂Xs+N3X3-d In1 mit dena+na+gaz Bestimmen von Abständen bezüglich dieser ebene ³0 Lage zweier Geraden g:x-a +r⋅u (re) h:x-b+s⋅V (SER) g und n schneiden sich in einem Punkt co g und ʼn verlaufen cecht) parallel cg und n sind identisch •9 und ʼn verlaufen windschief zueinander Prüfe ob u-KV für KER nein glin Prúfe.ob Aeh (Punich probe) g und i sind identisch nein gund h sind echt Parallel sich gith Prüfe ob sich g und h schnelden (n) nein g und h sind wind- Schlef GSchnittpunich ermitten! Schnittwinkel G Zwischen Velctor a und veldtor 16: a-b cos(a)=1-161 senicrecht (d=90) falls a∙b=0 Inoul guna n schneiden Sin (d)=n·lul oder (as (4).; COS (X)= <> Gerade 9 mit Richtungsvelctor u und Gerade ʼn mit Richtungsvecior v al. (0 ≤ d ≤ 90') luov COS (d)- V senicrecht (α-90) falls u⋅ V-0 In-Im C₂ Gerade g mit Richtungsvektor u und Ebene & mit dem Normalervektor nº In ul Senkrecht (a=90¹) falls u = k·ñ (KER →→ Vielfache) Senicrecht (d-90) falls n⋅m-0 a 4 C₂ Gerade-Gerade (windschief) 9:x=a+ru hx=b+s• V in1·101d-90-4 <₂ Ebene € mit Normalen vetor in und Ebene F mit Normayen vector in Inom! Abstände zu einer Geraden C₂ Gerade-Gerade (parallel) entspricht der Berechnung des Abstands eines Punktes zu einer Geraden -> beliebiger Punct P der Geraden ʼn zur Gerade g Möglichkeit 1: Hesse'sche Normalen form ที q. (8-5) mit ñ-üxv d Möglichkeit 2: Hilfsebene Schritt 1: Hilfsebene Ht bilden, welche die Gerade h enthalt und parallel zur Geraden g verläuft (Normalen form) (H: (UxV)o(-5)-0) - (x) - Schritt 2: Siehe punkt- Ebene <> Gerade - Ebene (parallel) entspricht Berechnung von Punkt -Ebene <> Ebene - Ebene (parallel) entspricht Berechnung Punct - Ebene 16 7 A H ISL lage einer Gerade zu einer ebene 9:x-a+ru (rem) ·ñ° (x - 5) = 0 Cg und & schneiden sich in einem Punict (2.B ++-2) Cg und & verlaufen (echt) paraller (2.B 0-1) 9 ₂ g liegt (vollständig) in der Ebene € (2.B 0-0) PA Id-VALI 9 vegt in E 7 911€ ↓ Prüfe. Ob A € 6 (Punichprobe) Cofvector d-IPCI |d=IALI f 19 Au Prüfe,ob nu. also •u•o ja nein 9 und schneiden Sich AL A 19 15 COUR g nan 9 verläuft echt paraller zu € € d-IALI 9 CS Schnitpontt ermitein g Lage zweier Ebenen Ea+r+SV (SEM) F: Mo (X-5)=0 <> € und F Schneiden sich in einer Geraden (2.B 2r-s=-2 -> Gleichung enthält Parameter) € und F verlaufen (echt) parallel (2.B 0=1) GE und F sind identisch (Z.B 0=0) Abstände zu einem PUNICE C Punct-Punkt PlP₁1 P₂ IP3) Q(9₁192193) verbindungsvelcior: Pä- (1) (2) Prüfe, ob mou-0 und mov-0 oder prüfe, 06 ñ- k⋅m für KER nein d- d- EllF ↓ Prüfe.00 A EF (Punctprobe) E und F Sind identisch <> Punkt - Gerade P(P₁1 P₂ P3) 9:x-+r·ū (r€®) Möglichkeit 1: Skalarproduct apa+bP₂+ CP3-d Va+b+c Spiegelung C₂ Punkt an Punct Lange IPal Schritt 1: Verbindungsveldtor zwischen dem Punkt P und einem allgemeinen Geradenpunkt Pr aufstellen (PP) Schrift 2: Stalarproduct aus dem verbindungs veltor und dem Richtungsvektor u der Geraden bilden und gleich 0 setzen Parameter r ermitteln (PPr·W=0) C₂ Punict-Ebene P(P₁ P₂ P3) E: 2X₁ + bx₂ +CX₂=d Möglichkeit 1: Hesse'sche Normalenform €:n (x-a)=0 F:Mo(x-6)=0 nein E und F sind echt parallel P(PalP₂ P3) S(S₁/S₂ IS 3) Vorgehen: OP=OP+2-PS Schritt 3: Lotfußpunct ( erhalten, indem der Parameterwert in die Geradengleichung eingesetzt wird (r einsetzen → O[ -> L(x1417)) Schritt 4: (änge (Betrag) des (ofvertors IPL berechnen Möglichkeit 2: Hilfsebene d=IPQI Schritt 1: Hilfsebene it bilden, die den Punkt Penthält und sentrecht auf der Geraden g stent (H⋅ū• (X-P)-0) Schritt 2: Lotfußpunkt L als Schnittpunkt von g und It berechnen (Pr in Ht einsetzen - nach rumformen →→ OL -> ((x1417)) Schritt 3: (änge (Betrag) des lotveltors IPL'I berechnen (PL-> 1PL 1) -> H (for P(palpalps) : (x-a) · ñ - 0) 8 s Möglichkeitteit 2: (offußpunct verfahren Schritt 1: Aufstellen der Gleichung der lotgeraden I, die den Punkt P enthalt und sentrecht auf der ebene e stent. (: x·per·n (VER) Schrit 2: Schnittpunct L der Longeraden ( mit der Ebene € berechnen (Pr in einsetzen - nach rumformen - einsetzen -> OLL) Schritt 3: (ange (Betrag des latvelciors IPE/ berechnen - G 20 E und F Schneiden Sich C Schnitt gerade bestimmen __p* Pot I P A PA Cofvektor d-IPLI G₂ Punkt an Gerade P(PP₂ P3) ga+r-u Schritt 1: Hilfsebene H bilden, die P enthält und senkrecht auf der Geraden g stent (Richtungsvector von g als Normalenvector voo it verwenden). P einsetzen. Schritt 2: Hilfsebene it mit der Geraden g schneiden. Schnittpunct • lotfußpunct L. callgemeinen Geradenpunkt von g (Pr) in It einsetzen -> nach r umstellen - o -> L(xlylz) Schritt 3: Punkt P wird am coffußpunkct I gespiegelt. (OP* - OP+2. PL →→ Pixly1z)) Cofvektor AL d-IPLI P a gh 19 Au Matrizen Matrix: Anordnung von zahlen m C₂ Format (Matrix) (Anzahl Zeilen ↓ x Anzahl Spallen->) A= co (mxn)-Matrix vektor: Matrix, die nur eine Zeile oder einen Spalt besitzt - (8) F-(a b c) Quadratische Matrix: gleich viele Zeilen und Spalten einheitsmatrix: quadratische Matrix, deren Diagonalelemente den Wert 1 und andere elemente den Wert o haben Addition und Sulastraction 241 242 243 A+B=a2₁ azz a23 231 232 233 241 242 243 A-B-221 222 223 234 232 ass/ A.X- ba baz bas + Du bz2 b23 D31 132 133/ bu baz b₁3 D₂ D22 123 bsa b32 033/ Multiplikation von einer Matrix und einem vector (nx4) emxa imxn) (am dA² 243) /2A X₁ taas ·X₂ + 243.X₂ a24 x4 +822 X₂+ 223 Xs a21 822 223 254 882 883 as X₁ + 32 X₂ +833・ X3 / X₁ X2 Spezielle affine Abbildungen: C₂ 1. Spiegelung an x.-Achse A. (₁) 28 P(211) →→ ¹ - (^ -^) · ( ² ) - ( ²³₁ ) -> P' (21-1) <> 2. Spiegelung an x₂-Achse A. (69) 2.B P(211) -- ¹ - (¯ˆ 6 ) · ( ² ) - ( ²³ ) -- ->P'(-211) C>3. Spiegelung am ursprung A. (1) 2.8 P(211) -> •¹• (-6² • ₁) · (²₁) - ( ²³₁ ) - P Abbildungen von Matrizen Jede affine flobildung & ist durch eine Matrix A und einen vector 5 festgelegt. Für einen Punkt Plx ly 1z) und seinen scheinpuntct X'(X₁¹1X₂¹ 1x₂') gilt: ¹•A• X²+b ->P'(-21-1) B /214+bu 2a2+baz 243 +b43 aut bu azz+bzz a3 + bes 28a+bs₁ 232+ b₂= 253 + b₂b. L>z.Bk=1,5 −→ >¹₂ (415 015) · (²1) -(₁,5) -> P¹ (5 | 1,5) au-bu daz-baz 243-bas an-bu azz-bzz 823-bes 231-bs1 232-b38 233-b53 c₂ 4. zentrische Streckung (Falcfor Ic) am ursprung A-(1) EB P(211) /211 212 213 (224 222 223 las asz ds3/ t- (08) / 2₁₁ 212 213 aza 222 223/ (2X3) (3X3) Skalare Multiplikation (.zahl-Matrix) r.A. C₂ Punkt an Ebene PlPal Pal P3) E: ax, + bx₂ + CX3-d schrift 4: lofgerade I bilden, die P enthält und sendrecht auf ebene & stent. CP als Stützpunkt und Normalen velctor der Ebene als Richtungsvelcior verwenden) L>L: x=p+r·n (ñ= (₂)) Schritt 2: (ofgerade ( mit ebene & schneiden. Schnitt punct = Loffuß Punkt 2 (Allgemeinen Geradenpunct in & einsetzen → nach r auflösen -> Oł →→ L(x1412) Schrit 3: Punct Pam lotfuppunIct | Spiegein (OP*• OP+ 2-PL -> p*(x1413)) /r.2^^ r·anz (r.221 r.20²/ Multiplication zweier Matrizen (211 212 Qus C= A·B 221 222 223 (211 212 213 a21 222 223 C₂5. Drehung mit dem winkel & um den ursprung (010) A-/cosy-siny (sin & cas ) Z.B P(211) Loz.B y=-x α-tan (-1) -45° -> (cos(-90') sin(-90) ») · (²) - (-2). (sin(-90°) -cos (-90') Dan baz bu bzz 03₁ 032 (5 es gilt: (AB) BA™ und (A^~^)"^· A L₂ (ALE) -> (EIA) IM (GS! ₂6. Spiegelung an ursprungsgerade mit Steigungswinkel o (sin (2x) - (03 (20) Z.B P(211) inverse Matrix 1st A eine quadratische Matrix, so nennt man A™¨^ die inverse Matrix von A, wenn es gilt: A.A-₁-6-A₁-A (E: Einheitsmatrix) -> (19) oder (100) 004 •Z.B 4.90⁰ (Sin (90°) COS (90³)) (²) - (₁-1) · (² ) - (¯1) -- ->P'(-11-2) Dan baz bu bzz 034 032 a · b₁₁+ anz· b₂+ da·bs • Can aza · ba+azzb₂4 +az3 • b3₁ • C₂2 B) assoziativ: A.(B⋅C)= (A·B)⋅C nicht commutativ: A·B&B·•A -P¹(-112) abuz+az bez +243-b23°C az aza baz azz-bz2 +223 023-Cze = /C₁₁ C₁2 Cz₁ Czz