Lineare Algebra

Alternativer Bildtext:

- Parameter form €: ax + bx₂ tcx-d C₂ Möglichkelt 1: Ebenenpunkte: Schritt 1: Drei Punkte der Ebene bestimmen, die nicht auf einer Geraden liegen Schritt 2: Parameter form aus 3 Punkten aufstellen LEX·+·+SV (r.SER) a /a₁ +b₂\ 82 + bz äst bs 15 <> Möglichkeit 2: Schritt: Normalenform nach einer koordinate auflösen (z. B X3) Schritt 2: freie Koordinaten mit Parametern besetzen (z.B x₁ =r, X₂=S) Schritt 3: als Vector darstellen ā -6- () - () - (5) á a-6 La+(-5) velctor product ā×5. (:)×( Normalen form (€: (x-a).ñ-0) 1-6 Normalenform in coordinaten form € (-a)-n-0 cs 8: e: (( ) ( ) ( ) - 0 -- Ausmult pfizieren -> €: ax, + bx₂+ Cx₂ =d Normalen form/Koordinatenform einer ebene Normalenvector ( stent sentcrecht auf einer ebene e E: (x-)-0 (Punict- Normalenform der Ebenen gleichung) eñox-na-o callgemeine Normalen form) €:nox-d-o Parameter form-> Normalenform €:x-a+r-u+S-V C₂ Vettorprodukt: Schri: Vector product der beiden spannvectoren bilden Schritt 2: Stützvelctor a aus parameterform übernehmen und in 6:(-a)-ñ-0 einsetzen ааааааа Sinnvolle Umwandlungen Parameter form (Exa+r·ũ+s (rs €IR)) Coordinatenform (t: ax + bx₂+ (x₂-d) Stalare Multiplikation C> Anwendung: Ermittlung eines zu zwel velforen a und 5 sentrecht stehenden ab mit ca und 15 Velctors •Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms oder Dreiecks: Ap 18x51 Ap 16x61 •Berechnung des Volumen eines Spats: Vispatla. (5x) Berechnung des volumens einer vierseitigen Pyramide ABCDS, deren Grund- /a r.a raz /az-bz-dj bz as ba-abg a₁.b₁-a₂-b₁ ₁ DZW. € N₁ X +N₂X₂ + N 3 X 3 =d (coordinatenform der Ebenengleichung) Dzw. E: ax + b*X₂ + C• Xs •d lage von Geraden und Ebenen bezüglich der Koordinaten ebenen X₁ X₂ -Ebene: X₂³0 (8)x.0 X₂ X3-Ebene: X₂ X₂-Ebene: X₂.0 (x=0 x₁=0x0 ·Parallel zu einer Achse (x₂-Achse): €:ax₁ + bx₂=d Parallel zu 2 Achsen (x₂x₂-Ebene): €: ax₁.d in Koordinatenebene (x₂x₂-Ebene): E: X₁-0 fläche ein Parallelogramm ist: V•·la (6x)| •Berechnung des volumens einer dreiseitigen Pyramide ABCS: V•·la (5xč)| Lage I'm coordinatensystem: Normallfall 3 Schnittpuncte mit den Achsen: €: ax, + bx₂ +Cx₂-d )-(:) (561) Hesse'sche Normalenform Normaleneinheitsvector no Normalenvelctor einer ebene der länge 1, dass heißt no- für einen Normalenvektor in der Ebene Hesse'sche Normalen form: E: no. (x²-a)-0 ne X4+ N₂X+3X3-d Koordinatengleichung €₁ In -0 mit d-na+na+sa Bestimmen von Abständen bezüglich dieser ebene Lage zweier Geraden 9:x-a+ru (re) g und n schneiden sich in einem Punct g und h verlaufen cecht) paraller Cg und n sind identisch g und h verlaufen windschief zueinander Prüfe ob u-V für KER gllក Prüfe,ob Aeh (Punich probe) ja g und k sind identisch h:x-b+sv (SER) grh Prüfe ob sich g und h schneiden (n) netn gund h sind echt paratie sich COS (X). guna n schneiden Schnittuintel zwischen vector a und velctor b ((o)=16 a-5 sencrecht (d-90) falls 5-6-0 In-Im Schnittpunct ermittern! nein g und h sind wind- Schlef 4 <> Gerade 9 mit Richtungsvektor ū und Gerade ʼn mit Richtungsvetior v IU VI COS (d). 161.151 (0 ≤ a ≤ 90') senicrecht (α-90) falls ū-V-0 Sencrecht (d-90) falls n⋅m-o C₂ Gerade g mit Richtungsveltor ū und Ebene & mit dem Normovenvektor nº Inoul In ul Sin (d) = oder (as (4) - α-90-4 senkrecht (a=90) falls u-k. (KER → Vielfache) G₂ Ebene & mit Normalen vetor in und Ebene F mit Normagenvektor in Inom! Abstände zu einer Geraden C Gerade-Gerade (parallel) entspricht der Berechnung des Abstands eines Punktes zu einer Geraden -> beliebiger Punct P der Geraden nʼn zur Gerade g C Gerade-Gerade (windschief) h:x-b+s⋅V g=x²-a+ru Möglichkeit 1: Hesse'sche Normalen form mit n-uxv d- (a-b)-n In1 Möglichkeit 2: Hilesebene Schritt 1: Hilfsebene i bilden, welche die Gerade h enthalt und parallel zur Geraden g verläuft (Normalen form) (H: (UxV)(-5)-0)-(4x)-n Schritt 2: stehe punkct - Ebene <> Ebene - Etene (parallel) entspricht Berechnung Punct - Ebene <> Gerade - Elbene (parallel) entspricht Berechnung von Punct-ebene T A lage einer Gerade zu einer ebene ga+ru (rem) eñº (x-6)=0 Cg und & schneiden sich in einem Punct (2.B ++-2) Cg und & verlaufen (echt) paraller (2.B 0-1) Cg liegt (vollständig) in der Ebene € (2.8 0-0) d+VAL -44 9 vegt in € g lotvettor d-IPCI 91€ ↓ Prüfe.ob A&E (Punicfprobe) cau Id=JALI Prüfe,obu, also nu-o nein 9 und schneiden Sich CS Schnitpont ermitein AL A ndn 9 verläuft echt parallel al € d.IALI 9 J Lage zweier Ebenen Earu+SV (T.SEM) F: Mo(x-b)-0 Abstände zu einem PUNICE. Cr Punct-Punkt P(P. IP₂ IP₂) Q (9₁192193) Verbindungsvelctor: Pa-(() <> € und F Schneiden sich in einer Geraden (2.B 2r-3=-2 -> Greichung enthalt Parameter) € und F verlaufen (echt) parallel (2.B 0-1) E und F sind identisch (2.B 0-0) d- Punkt-Gerade P(P₁ P₂ Ps) 9:x-+ru (ren) Möglichkeit 1: Skalarproduct d. Prüfe, ob mou-0 und mov-0 oder prüfe, ob ñ-k⋅m für KER ja nain EllF Prüfe.00 A EF (Punctprobe) E und F Sind identisch (P-a) n 161 apa+bPet CP3-d Va+b+c <> Punct-Ebene P(PalP₂ P3) E: 2X₁ + bx₂ +CX₂ °d Möguchikelt 1: Hesse'sche Normalenform Spiegelung G₂ Punkt an Punkt Schritt 1: Verbindungsveldtor zwischen dem Puntct P und einem allgemeinen Geradenpunkt Pr aufstellen (PP) Schritt 2: Stalarproduct aus dem Verbindungsvektor and dem Richtungsvelctor u der Geraden bilden und gleich 0 setzen <> Parameter r ermitteln (PPr·ū=0) Lange IPa €:no(x-a)-0 F:Mo(x-6)=0 P Schritt 3: Lotfußpunkt erhalten, indem der Parameterwert in die Geradengleichung eingesetzt wird (r einsetzen → OL-> (12) Schritt 4: (änge (Betrag) des (ofvectors IPLI berechnen Möglichkeit 2: Hilfsebene Schritt 1: Hilfsebene H bilden, die den Punkt Penthält und sentrecht auf der Geraden g stent (H:ū• (X-P)-0) Schritt 2: Lotfußpunkt L als Schnittpunkt von g und It berechnen (Pr in Ht einsetzen nach rumformen → OL →> L(x1417)) Schritt 3: (änge (Betrag) des lotvelctors IPL'I berechnen (PL-> (PCI) nein E und F sind echt parallel P(PalP₂IPs) S(S15₂153) Vorgehen: OP OP 2 PS d=IPQI P (for P(palpalps) : (x-a)·ñ=0] € und F Schneiden Sich C Schnitt gerade bestimmen G Möglichkeittert 2: (olfußpunktverfahren Schritt 1: Aufstellen der Gleichung der (orgeraden L, die den Punkt p enthalt und senrecht auf der ebene e stent. (²x.p+r⋅n (TER) Schrift 2: Schnittpunct L der lotgeraden ( mit der Ebene € berechnen (Pr in € einsetzen -> nach rumformen - einsetzen-> OLL) Schritt 3: (ange (Betrag) des lotvetions IPL berechnen p# P₂ Pot - A D Cofvektor d-IPLI Cofvektor d-IPCI ₂ Punkt an Gerade P(p. DzlPs) ga+ru Schritt 1: Hilfsebene bilden, die P enthält und senkrecht auf der Geraden g stent (Richtungsvektor von g als Normalenvector voo Ht verwenden). P einsetzen. Schritt 2: Hilfsebene H mit der Geraden g schneiden. Schnittpunkt • lotfußpunct L. callgemeinen Geradenpunkt von g (Pr) in It einsetzen - nach rumstellen oL(xlylz) Schritt 3: Punt P wird am loffußpunict I gespiegelt. (OP*-OP+2.PL - Pixlylz)) 91 € 46 J T L Matrizen Matrix: Anordnung von Zainien m Format (Matrix) (Anzahl Zeilen ↓x Anzahl Spallen->) A. (au de des aza 222 223/ C₂ (mxn)-Matrix vector: Matrix, die nur eine Zeile oder einen Spalt besitzt e-(8) F-(a bc) Quadratische Matrix: gleich viele Zeilen und Spalten einheitsmattix quadratische Matrix, deren Diagonal elemente den Wert A und andere elemente den wert o haben Addition und Substraction /244 242 243 /bur buz baz /autbu A+B-au az as+bu biz b23dut ber 234 asz 855, b₂ b32 033/ ase+bse au 242 243 A-B- az az ass 234 232 855/ /bun buz bay bu bzz bz3 bsa b32 033/ Aa4 azz dis as ass ass Multiplication von einer Matrix und einem vector (MX4) (mxn) (nx4) I am aaz 243 /X₁\ Spezielle affine Abbildungen: <> 1. Spiegelung an x.-Aanse A.) 28 P(211) -> ¹-(6-) (²)-(-²₁)-> P' (21-1) /aX₁ + X₂+d43.X₂ az x₁ +822 X₂+az3 X3 as X₁ 1832 X₂ tags: X₂ <> 2. Spiegelung an X₂-Achse A. () EB P(211) (9)(²)-(²) - P₁(-211) <>3. Spiegelung am ursprung A. (9) 2.8 P(214) --(- -)(²)-(-²)- Abbildungen von Matrizen Jede affine flobildung ist durch eine Matrix A und einen verfor to festgelegt. Für einen Punkt Plx lylz) und seinen scheinpuntct x'(X₂' 1X₂' lxs') gilt: X₁. A. x+b ->P'(-21-1) B /a4-bu 24₂-bα an-bus' au-ban-bez des-bes ase-bse 83²-bss ass-ba <> 4. zentrische Streckung (falfor t) am ursprung A- () 28 P(211) -> L> 8.B = 4,5 (45)()-(5)->P' (5 14,5) 2z+baz a3 + bes at bez dis+ bes 8₂1 +bss ass + b₂ /2₁₁ 242 243 224 at 223) (3x3) las 2sz ass/ >t-(0) (2X3) Skalare Multiplikation (.zahl-Matrix) /r.a₁ r.az) (r.a₂ r.a£², r.A. (₂ Multiplikation zweier Matrizen (211 212 ans) C.A.Ba24 an 21/ <> Punkt an Ebene PlPlPzlP3) : ax, + bx₂ + CX3=d schrift 4: Lofgerade bilden, die P enthält und sentrecht auf ebene & steht. CP als Stützpunkt und Normalenvelctor der Ebene alls Richtungsveltor verwenden) L>L:+p+r. (-(3) Schritt 2: (ofgerade mit ebene & schneiden. Schnittpunkct - Loffußpunkt L (Allgemeinen Geradenpunkt in & einsetzen → nach rauflösen-> OL-> L(x1412) Schrit 3: Punct Pam Lotfußpunkt & Spiegeln (OP*• OP +2.PL →→ P* (x1y12)) (ann an aus) a24 an a13/ 5. Drehung mit dem winkel & um den ursprung (010) A. (cos-siny) 2.8 P(211) sin cos L.2.B y=-x Dea baz bu biz 034 032 d=tan(-1) -45° (cos(-90) sin(-90) ・(sin(-90') - cos (-907) (²) - (-2) - L.2.B 4.90 (sin (90) 205 (901)) (²) - (1-1) (³) - (1) 6. Spiegelung an ursprungsgerade mit Steigungswinkel & A-COS (20) sin(2) (Sin (20) -(03 (2)) 2.B P(211) /am·bau + auz· bu+da·bsta a bu+azz ba+az3b3₁₂2 Inverse Matrix /4001 1st A eine quadratische Matrix, so nennt man A" die inverse Matrix von A, wenn es gilt: AAEAA (E: Einheitsmatrix) -> (04) oder (040 es gilt: (AB) B.A und (A) - A L₂ (A1E) (EIA) im (GS! ->P'(-11-2) assoziativ: A. (B·C) (A·B).C nicht kommutativ: A·B&B·A ->P'(-112) a bezaz best aas: bes Cae aze bez az bz2 +825 bes. Ce (crec)