Vektoren und Grundlagen der Linearen Algebra
In diesem Abschnitt werden die fundamentalen Konzepte der Linearen Algebra vorgestellt, mit besonderem Fokus auf Vektoren und ihre Eigenschaften. Vektoren sind die Grundbausteine der Linearen Algebra und werden durch ihre Länge und Richtung charakterisiert.
Definition: Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das durch Länge und Richtung festgelegt ist und oft als Pfeil dargestellt wird.
Es werden verschiedene Arten von Vektoren eingeführt, darunter:
- Verbindungsvektor AB: Ein Pfeil, der von Punkt A nach Punkt B verläuft.
- Ortsvektor OA: Verbindet den Ursprung mit einem Punkt A.
- Einheitsvektoren: Standardbasis des dreidimensionalen Raums.
- Nullvektor: Ein Vektor der Länge 0.
Highlight: Das Skalarprodukt ist eine grundlegende Operation in der Linearen Algebra, die zur Berechnung von Winkeln und Längen verwendet wird.
Die Geradengleichung wird in ihrer Parameterform vorgestellt:
g: x = a + r · u (r ∈ R)
Dabei ist a der Stützvektor, u der Richtungsvektor und r der Parameter.
Example: Eine Geradengleichung aus zwei Punkten aufzustellen, verwendet man die Formel: g: x = a + r · AB (r ∈ R)
Ebenen werden in ihrer Parameterform eingeführt:
E: x = a + r · u + s · v (r, s ∈ R)
Hier sind u und v die Spannvektoren, die nicht parallel zueinander sein dürfen.
Vocabulary: Spannvektoren sind Vektoren, die eine Ebene aufspannen und nicht parallel zueinander sind.
Wichtige Anwendungen der Vektorrechnung werden vorgestellt, wie:
- Berechnung der Länge eines Vektors
- Überprüfung der Orthogonalität zweier Vektoren
- Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren
Diese Grundlagen bilden das Fundament für weiterführende Konzepte in der Linearen Algebra.
