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Mathe
10. Dez. 2025
3.881
18 Seiten
Madita @m_brd
Ganzrationale Funktionen sind ein mega wichtiges Thema in Mathe, das dir in Klausuren immer wieder begegnet. Du lernst... Mehr anzeigen
Nullstellen sind die x-Werte, wo der Graph die x-Achse schneidet - super wichtig für Klausuren! Du setzt einfach y = 0 und löst die Gleichung.
Es gibt drei clevere Methoden Erst prüfst du, ob du x ausklammern kannst (nimm die höchste Potenz). Dann kommt die p-q-Formel für quadratische Gleichungen x₁,₂ = -p/2 ± √.
Bei Linearfaktoren nutzt du aus, dass ein Produkt null ist, wenn mindestens ein Faktor null ist. Aus = 0 folgt x = 2 oder x = -3.
Tipp Fang immer mit dem Ausklammern an - das spart oft viel Rechenzeit!
Ganzrationale Funktionen haben die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Das klingt kompliziert, ist aber nur eine Aneinanderreihung von Potenzen mit verschiedenen Koeffizienten.
Das absolute Glied a₀ zeigt dir sofort den y-Achsenabschnitt. Für das Verhalten bei sehr großen x-Werten ist nur der Term mit der höchsten Potenz wichtig.
Symmetrie erkennst du an den Exponenten Nur gerade Exponenten bedeuten Achsensymmetrie zur y-Achse, nur ungerade Exponenten bedeuten Punktsymmetrie zum Ursprung.
Merke dir Der höchste Term bestimmt, wie sich der Graph "am Ende" verhält!
Potenzfunktionen f(x) = a·xⁿ gehen immer durch den Ursprung (0|0) - das ist ihr Markenzeichen. Der Faktor a bestimmt, wie breit oder schmal der Graph wird.
Bei geradem Exponenten (x², x⁴, x⁶...) läuft der Graph durch die Punkte (1|a) und . Alle Funktionswerte haben das gleiche Vorzeichen - positiv wenn a > 0, negativ wenn a < 0.
Diese Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse, sehen also wie eine U-Form aus (oder umgedreht, wenn a negativ ist).
Eselsbrücke Gerade Exponenten = gerade Symmetrie (Achsensymmetrie)!
Bei ungeradem Exponenten (x¹, x³, x⁵...) läuft der Graph durch (1|a) und . Die Funktionswerte wechseln bei x = 0 das Vorzeichen - das macht diese Funktionen besonders.
Wenn a > 0 ist, gehen die Werte von negativ zu positiv über. Bei a < 0 läuft es umgekehrt. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Das bedeutet, der Graph sieht aus wie eine "liegende S-Kurve", die durch den Nullpunkt geht.
Merkregel Ungerade Exponenten = Punktsymmetrie zum Ursprung!
Du kannst Symmetrie ganz einfach rechnerisch überprüfen, ohne den Graphen zu zeichnen. Das spart Zeit in Klausuren und ist super zuverlässig.
Für Achsensymmetrie zur y-Achse gilt f = f(x). Du ersetzt also alle x durch -x und schaust, ob die gleiche Funktion rauskommt.
Für Punktsymmetrie zum Ursprung gilt f = -f(x). Hier muss nach dem Ersetzen das Negative der ursprünglichen Funktion rauskommen.
Klausur-Tipp Prüf immer beide Symmetrien - manchmal ist keine davon erfüllt!
Die Ableitungsfunktion f'(x) gibt dir zu jeder Stelle x die Steigung der ursprünglichen Funktion an. Das ist mega praktisch für Kurvendiskussionen!
Wenn eine Funktion überall ableitbar ist, dann ordnet die Ableitungsfunktion jedem x-Wert die entsprechende Steigung zu. Du kannst damit sofort sagen, ob der Graph steigt oder fällt.
Die Ableitung ist also dein "Steigungsdetektiv" - sie verrät dir alles über das Verhalten des ursprünglichen Graphen.
Wichtig Ableitung = Steigung der Ausgangsfunktion - das ist die Grundidee!
Beim graphischen Ableiten überträgst du die Steigungsinformationen vom ursprünglichen Graph auf die Ableitungsfunktion. Hochpunkte und Tiefpunkte werden zu Nullstellen der Ableitung, weil dort die Steigung null ist.
Das Vorzeichen der Ableitung hängt von der Steigung ab Positive Steigung bedeutet positive Funktionswerte der Ableitung, negative Steigung bedeutet negative Werte.
Steigt der Graph steil an, sind die y-Werte der Ableitung groß. Fällt er steil ab, sind sie stark negativ.
Eselsbrücke Wo der Graph waagerecht verläuft, hat die Ableitung eine Nullstelle!
Die Ableitungsregeln sind dein Werkzeugkasten für jede Kurvendiskussion. Die Potenzregel ist am wichtigsten Der Exponent kommt nach vorn, dann wird er um 1 reduziert.
Die Faktorregel bedeutet Konstante Faktoren bleiben einfach stehen. Bei der Summenregel leitest du jeden Summanden einzeln ab.
Beispiele f(x) = x³ wird zu f'(x) = 3x², und f(x) = 5x⁴ + 2x² wird zu f'(x) = 20x³ + 4x.
Übung macht den Meister Diese Regeln musst du automatisch anwenden können!
Transformationen verändern Graphen systematisch - total praktisch, um neue Funktionen aus bekannten zu erstellen. Bei Spiegelungen drehst du den Graph um y = -f(x) spiegelt an der x-Achse, y = f an der y-Achse.
Vertikale Verschiebungen sind super einfach y = f(x) + c schiebt um c Einheiten nach oben, y = f(x) - c nach unten.
Das kannst du dir leicht merken, weil du ja einfach eine Zahl dazuzählst oder abziehst.
Merkhilfe Plus bedeutet nach oben, Minus nach unten - logisch, oder?
Horizontale Verschiebungen sind etwas trickier y = f verschiebt um c Einheiten nach rechts, y = f nach links. Das ist genau umgekehrt, wie man denken würde!
Bei vertikalen Streckungen verändert der Faktor a die Höhe a > 1 streckt den Graph in y-Richtung, 0 < a < 1 staucht ihn zusammen.
Diese Transformationen kannst du auch kombinieren - dann wendest du sie nacheinander an.
Achtung Horizontale Verschiebungen funktionieren "rückwärts" - f geht nach rechts!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Umfassende Zusammenfassung aller relevanten Themen für das mündliche Abitur, einschließlich Kurvendiskussion, Ableitungen, Vektorrechnung, Integrationsregeln, stochastische Probleme und mehr. Ideal für die gezielte Prüfungsvorbereitung.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Kurvendiskussion, einschließlich Symmetrie, Nullstellenberechnung und Verhalten im Unendlichen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Extrempunkte (EP), Sattelpunkte (SP), Wendepunkte (WP) und die Berechnung von Nullstellen mit der ABC-Formel. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
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MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Madita
@m_brd
Ganzrationale Funktionen sind ein mega wichtiges Thema in Mathe, das dir in Klausuren immer wieder begegnet. Du lernst hier alles über Potenzfunktionen, Nullstellen und wie du Graphen richtig ableitest und transformierst.
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Nullstellen sind die x-Werte, wo der Graph die x-Achse schneidet - super wichtig für Klausuren! Du setzt einfach y = 0 und löst die Gleichung.
Es gibt drei clevere Methoden: Erst prüfst du, ob du x ausklammern kannst (nimm die höchste Potenz). Dann kommt die p-q-Formel für quadratische Gleichungen: x₁,₂ = -p/2 ± √.
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Symmetrie erkennst du an den Exponenten: Nur gerade Exponenten bedeuten Achsensymmetrie zur y-Achse, nur ungerade Exponenten bedeuten Punktsymmetrie zum Ursprung.
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Diese Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse, sehen also wie eine U-Form aus (oder umgedreht, wenn a negativ ist).
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Wenn a > 0 ist, gehen die Werte von negativ zu positiv über. Bei a < 0 läuft es umgekehrt. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Das bedeutet, der Graph sieht aus wie eine "liegende S-Kurve", die durch den Nullpunkt geht.
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Klausur-Tipp: Prüf immer beide Symmetrien - manchmal ist keine davon erfüllt!
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Die Ableitungsfunktion f'(x) gibt dir zu jeder Stelle x die Steigung der ursprünglichen Funktion an. Das ist mega praktisch für Kurvendiskussionen!
Wenn eine Funktion überall ableitbar ist, dann ordnet die Ableitungsfunktion jedem x-Wert die entsprechende Steigung zu. Du kannst damit sofort sagen, ob der Graph steigt oder fällt.
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Wichtig: Ableitung = Steigung der Ausgangsfunktion - das ist die Grundidee!
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Das Vorzeichen der Ableitung hängt von der Steigung ab: Positive Steigung bedeutet positive Funktionswerte der Ableitung, negative Steigung bedeutet negative Werte.
Steigt der Graph steil an, sind die y-Werte der Ableitung groß. Fällt er steil ab, sind sie stark negativ.
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Die Faktorregel bedeutet: Konstante Faktoren bleiben einfach stehen. Bei der Summenregel leitest du jeden Summanden einzeln ab.
Beispiele: f(x) = x³ wird zu f'(x) = 3x², und f(x) = 5x⁴ + 2x² wird zu f'(x) = 20x³ + 4x.
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Transformationen verändern Graphen systematisch - total praktisch, um neue Funktionen aus bekannten zu erstellen. Bei Spiegelungen drehst du den Graph um: y = -f(x) spiegelt an der x-Achse, y = f an der y-Achse.
Vertikale Verschiebungen sind super einfach: y = f(x) + c schiebt um c Einheiten nach oben, y = f(x) - c nach unten.
Das kannst du dir leicht merken, weil du ja einfach eine Zahl dazuzählst oder abziehst.
Merkhilfe: Plus bedeutet nach oben, Minus nach unten - logisch, oder?
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Horizontale Verschiebungen sind etwas trickier: y = f verschiebt um c Einheiten nach rechts, y = f nach links. Das ist genau umgekehrt, wie man denken würde!
Bei vertikalen Streckungen verändert der Faktor a die Höhe: a > 1 streckt den Graph in y-Richtung, 0 < a < 1 staucht ihn zusammen.
Diese Transformationen kannst du auch kombinieren - dann wendest du sie nacheinander an.
Achtung: Horizontale Verschiebungen funktionieren "rückwärts" - f geht nach rechts!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Umfassende Zusammenfassung aller relevanten Themen für das mündliche Abitur, einschließlich Kurvendiskussion, Ableitungen, Vektorrechnung, Integrationsregeln, stochastische Probleme und mehr. Ideal für die gezielte Prüfungsvorbereitung.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Kurvendiskussion, einschließlich Symmetrie, Nullstellenberechnung und Verhalten im Unendlichen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Extrempunkte (EP), Sattelpunkte (SP), Wendepunkte (WP) und die Berechnung von Nullstellen mit der ABC-Formel. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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