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28. Jan. 2026
•
Semia Tokhi
@semiatokhi_pjmf
Dieser Lernzettel fasst wichtige Konzepte der höheren Mathematik für die... Mehr anzeigen
Eine Funktion ordnet jedem Element einer Definitionsmenge (De) genau ein Element einer Wertemenge (We) zu. Die Definitionsmenge umfasst alle x-Werte, denen durch die Funktion ein Funktionswert zugeordnet werden kann.
Funktionen können verschiedene Symmetrieeigenschaften haben. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f = f(x) gilt. Dies tritt auf, wenn alle Exponenten gerade sind . Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f = -f(x) gilt, was bei ungeraden Exponenten der Fall ist .
Das Verhalten im Unendlichen wird durch die höchste Potenz und deren Koeffizienten bestimmt. Bei ganzzahligen Funktionen schaust du dir das Vorzeichen an: Ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv, strebt die Funktion für x → ±∞ gegen +∞.
💡 Tipp: Bei der Darstellung der Definitionsmenge benutze eckige Klammern [a;b], wenn die Randpunkte eingeschlossen sind, und runde Klammern (a;b), wenn sie nicht enthalten sind.
Für die Nullstellenberechnung gibt es verschiedene Methoden wie die abc-Formel, Ausklammern oder die Polynomdivision. Bei biquadratischen Funktionen kannst du mit Hilfe der Substitution die Nullstellen bestimmen und anschließend eine Resubstitution durchführen.
Die Linearfaktordarstellung (LFD) ermöglicht das direkte Ablesen von Nullstellen. Bei f(x) = sind die Nullstellen x₁ = 2 und x₂ = -3. Doppelte Nullstellen werden durch Potenzen angezeigt, wie bei f(x) = ², wo x = -3 eine doppelte Nullstelle ist.
Für die Ableitung einer Funktion nutzt du verschiedene Regeln. Die Potenzregel besagt, dass f'(x) = n·xⁿ⁻¹ für f(x) = xⁿ. Mit der Faktorregel leitest du f(x) = axⁿ zu f'(x) = a·n·xⁿ⁻¹ ab. Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen ist.
Bei der Bestimmung von Extrempunkten benötigst du die notwendige Bedingung f'(x) = 0 und die hinreichende Bedingung. Diese kannst du entweder durch das Vorzeichenwechselkriterium oder durch die zweite Ableitung überprüfen. Bei einem Hochpunkt wechselt f' von + nach -, bei einem Tiefpunkt von - nach +.
🔍 Merkhilfe: Das Monotonieverhalten einer Funktion hängt direkt mit dem Vorzeichen der ersten Ableitung zusammen: Ist f'(x) > 0 im Intervall I, dann ist f(x) streng monoton steigend; ist f'(x) < 0, dann ist f(x) streng monoton fallend.
Um das Monotonieverhalten zu bestimmen, berechnest du die Nullstellen der ersten Ableitung und untersuchst die Vorzeichenwechsel, wie bei f(x) = x² + 1, wo die Funktion für x < 0 streng monoton fällt und für x > 0 streng monoton steigt.
Wendepunkte (WP) erfordern zwei Bedingungen: Die notwendige Bedingung f''(x) = 0 und die hinreichende Bedingung f'''(x) ≠ 0. Am Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion.
Beim Krümmungsverhalten unterscheidet man zwischen Rechtskurven und Linkskurven. Wenn f''(x) > 0 ist, handelt es sich um eine Linkskurve (L); wenn f''(x) < 0 ist, liegt eine Rechtskurve (R) vor.
Sattelpunkte (SP) sind besondere Punkte, an denen eine waagerechte Tangente vorliegt, jedoch kein Extrempunkt. Die Bedingungen sind: f'(x) = 0 (waagerechte Tangente), f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0. Ein Beispiel ist der Ursprung bei f(x) = x³, wo f'(0) = 0, f''(0) = 0 und f'''(0) = 6 ≠ 0 ist.
🧩 Zusammenhang: Beim graphischen Ableiten kannst du direkt erkennen: Hochpunkte werden zu Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von + nach -, Tiefpunkte zu Nullstellen mit Wechsel von - nach +, und Wendepunkte erscheinen als Extrema in der Ableitung!
Diese Konzepte helfen dir, Funktionen vollständig zu analysieren und ihren Verlauf zu verstehen. Mit diesen Werkzeugen kannst du nicht nur Aufgaben lösen, sondern auch ein tieferes Verständnis für das mathematische Verhalten von Funktionen entwickeln.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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Elisha
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Paul T
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Semia Tokhi
@semiatokhi_pjmf
Dieser Lernzettel fasst wichtige Konzepte der höheren Mathematik für die Oberstufe zusammen. Es werden Funktionen, ihre Eigenschaften und analytischen Methoden behandelt, die dir helfen werden, komplexere mathematische Probleme zu lösen.
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Eine Funktion ordnet jedem Element einer Definitionsmenge (De) genau ein Element einer Wertemenge (We) zu. Die Definitionsmenge umfasst alle x-Werte, denen durch die Funktion ein Funktionswert zugeordnet werden kann.
Funktionen können verschiedene Symmetrieeigenschaften haben. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f = f(x) gilt. Dies tritt auf, wenn alle Exponenten gerade sind . Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f = -f(x) gilt, was bei ungeraden Exponenten der Fall ist .
Das Verhalten im Unendlichen wird durch die höchste Potenz und deren Koeffizienten bestimmt. Bei ganzzahligen Funktionen schaust du dir das Vorzeichen an: Ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv, strebt die Funktion für x → ±∞ gegen +∞.
💡 Tipp: Bei der Darstellung der Definitionsmenge benutze eckige Klammern [a;b], wenn die Randpunkte eingeschlossen sind, und runde Klammern (a;b), wenn sie nicht enthalten sind.
Für die Nullstellenberechnung gibt es verschiedene Methoden wie die abc-Formel, Ausklammern oder die Polynomdivision. Bei biquadratischen Funktionen kannst du mit Hilfe der Substitution die Nullstellen bestimmen und anschließend eine Resubstitution durchführen.
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Die Linearfaktordarstellung (LFD) ermöglicht das direkte Ablesen von Nullstellen. Bei f(x) = sind die Nullstellen x₁ = 2 und x₂ = -3. Doppelte Nullstellen werden durch Potenzen angezeigt, wie bei f(x) = ², wo x = -3 eine doppelte Nullstelle ist.
Für die Ableitung einer Funktion nutzt du verschiedene Regeln. Die Potenzregel besagt, dass f'(x) = n·xⁿ⁻¹ für f(x) = xⁿ. Mit der Faktorregel leitest du f(x) = axⁿ zu f'(x) = a·n·xⁿ⁻¹ ab. Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen ist.
Bei der Bestimmung von Extrempunkten benötigst du die notwendige Bedingung f'(x) = 0 und die hinreichende Bedingung. Diese kannst du entweder durch das Vorzeichenwechselkriterium oder durch die zweite Ableitung überprüfen. Bei einem Hochpunkt wechselt f' von + nach -, bei einem Tiefpunkt von - nach +.
🔍 Merkhilfe: Das Monotonieverhalten einer Funktion hängt direkt mit dem Vorzeichen der ersten Ableitung zusammen: Ist f'(x) > 0 im Intervall I, dann ist f(x) streng monoton steigend; ist f'(x) < 0, dann ist f(x) streng monoton fallend.
Um das Monotonieverhalten zu bestimmen, berechnest du die Nullstellen der ersten Ableitung und untersuchst die Vorzeichenwechsel, wie bei f(x) = x² + 1, wo die Funktion für x < 0 streng monoton fällt und für x > 0 streng monoton steigt.
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Wendepunkte (WP) erfordern zwei Bedingungen: Die notwendige Bedingung f''(x) = 0 und die hinreichende Bedingung f'''(x) ≠ 0. Am Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion.
Beim Krümmungsverhalten unterscheidet man zwischen Rechtskurven und Linkskurven. Wenn f''(x) > 0 ist, handelt es sich um eine Linkskurve (L); wenn f''(x) < 0 ist, liegt eine Rechtskurve (R) vor.
Sattelpunkte (SP) sind besondere Punkte, an denen eine waagerechte Tangente vorliegt, jedoch kein Extrempunkt. Die Bedingungen sind: f'(x) = 0 (waagerechte Tangente), f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0. Ein Beispiel ist der Ursprung bei f(x) = x³, wo f'(0) = 0, f''(0) = 0 und f'''(0) = 6 ≠ 0 ist.
🧩 Zusammenhang: Beim graphischen Ableiten kannst du direkt erkennen: Hochpunkte werden zu Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von + nach -, Tiefpunkte zu Nullstellen mit Wechsel von - nach +, und Wendepunkte erscheinen als Extrema in der Ableitung!
Diese Konzepte helfen dir, Funktionen vollständig zu analysieren und ihren Verlauf zu verstehen. Mit diesen Werkzeugen kannst du nicht nur Aufgaben lösen, sondern auch ein tieferes Verständnis für das mathematische Verhalten von Funktionen entwickeln.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Anna
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David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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