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Semia Tokhi
26.11.2025
Mathe
Kurvendiskussion Lernzettel
1.109
•
26. Nov. 2025
•
Semia Tokhi
@semiatokhi_pjmf
Dieser Lernzettel fasst wichtige Konzepte der höheren Mathematik für die... Mehr anzeigen
Eine Funktion ordnet jedem Element einer Definitionsmenge (De) genau ein Element einer Wertemenge (We) zu. Die Definitionsmenge umfasst alle x-Werte, denen durch die Funktion ein Funktionswert zugeordnet werden kann.
Funktionen können verschiedene Symmetrieeigenschaften haben. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f = f(x) gilt. Dies tritt auf, wenn alle Exponenten gerade sind . Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f = -f(x) gilt, was bei ungeraden Exponenten der Fall ist .
Das Verhalten im Unendlichen wird durch die höchste Potenz und deren Koeffizienten bestimmt. Bei ganzzahligen Funktionen schaust du dir das Vorzeichen an: Ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv, strebt die Funktion für x → ±∞ gegen +∞.
💡 Tipp: Bei der Darstellung der Definitionsmenge benutze eckige Klammern , wenn die Randpunkte eingeschlossen sind, und runde Klammern (a;b), wenn sie nicht enthalten sind.
Für die Nullstellenberechnung gibt es verschiedene Methoden wie die abc-Formel, Ausklammern oder die Polynomdivision. Bei biquadratischen Funktionen kannst du mit Hilfe der Substitution die Nullstellen bestimmen und anschließend eine Resubstitution durchführen.
Die Linearfaktordarstellung (LFD) ermöglicht das direkte Ablesen von Nullstellen. Bei f(x) = sind die Nullstellen x₁ = 2 und x₂ = -3. Doppelte Nullstellen werden durch Potenzen angezeigt, wie bei f(x) = ², wo x = -3 eine doppelte Nullstelle ist.
Für die Ableitung einer Funktion nutzt du verschiedene Regeln. Die Potenzregel besagt, dass f'(x) = n·xⁿ⁻¹ für f(x) = xⁿ. Mit der Faktorregel leitest du f(x) = axⁿ zu f'(x) = a·n·xⁿ⁻¹ ab. Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen ist.
Bei der Bestimmung von Extrempunkten benötigst du die notwendige Bedingung f'(x) = 0 und die hinreichende Bedingung. Diese kannst du entweder durch das Vorzeichenwechselkriterium oder durch die zweite Ableitung überprüfen. Bei einem Hochpunkt wechselt f' von + nach -, bei einem Tiefpunkt von - nach +.
🔍 Merkhilfe: Das Monotonieverhalten einer Funktion hängt direkt mit dem Vorzeichen der ersten Ableitung zusammen: Ist f'(x) > 0 im Intervall I, dann ist f(x) streng monoton steigend; ist f'(x) < 0, dann ist f(x) streng monoton fallend.
Um das Monotonieverhalten zu bestimmen, berechnest du die Nullstellen der ersten Ableitung und untersuchst die Vorzeichenwechsel, wie bei f(x) = x² + 1, wo die Funktion für x < 0 streng monoton fällt und für x > 0 streng monoton steigt.
Wendepunkte (WP) erfordern zwei Bedingungen: Die notwendige Bedingung f''(x) = 0 und die hinreichende Bedingung f'''(x) ≠ 0. Am Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion.
Beim Krümmungsverhalten unterscheidet man zwischen Rechtskurven und Linkskurven. Wenn f''(x) > 0 ist, handelt es sich um eine Linkskurve (L); wenn f''(x) < 0 ist, liegt eine Rechtskurve (R) vor.
Sattelpunkte (SP) sind besondere Punkte, an denen eine waagerechte Tangente vorliegt, jedoch kein Extrempunkt. Die Bedingungen sind: f'(x) = 0 (waagerechte Tangente), f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0. Ein Beispiel ist der Ursprung bei f(x) = x³, wo f'(0) = 0, f''(0) = 0 und f'''(0) = 6 ≠ 0 ist.
🧩 Zusammenhang: Beim graphischen Ableiten kannst du direkt erkennen: Hochpunkte werden zu Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von + nach -, Tiefpunkte zu Nullstellen mit Wechsel von - nach +, und Wendepunkte erscheinen als Extrema in der Ableitung!
Diese Konzepte helfen dir, Funktionen vollständig zu analysieren und ihren Verlauf zu verstehen. Mit diesen Werkzeugen kannst du nicht nur Aufgaben lösen, sondern auch ein tieferes Verständnis für das mathematische Verhalten von Funktionen entwickeln.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Semia Tokhi
@semiatokhi_pjmf
Dieser Lernzettel fasst wichtige Konzepte der höheren Mathematik für die Oberstufe zusammen. Es werden Funktionen, ihre Eigenschaften und analytischen Methoden behandelt, die dir helfen werden, komplexere mathematische Probleme zu lösen.
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Eine Funktion ordnet jedem Element einer Definitionsmenge (De) genau ein Element einer Wertemenge (We) zu. Die Definitionsmenge umfasst alle x-Werte, denen durch die Funktion ein Funktionswert zugeordnet werden kann.
Funktionen können verschiedene Symmetrieeigenschaften haben. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f = f(x) gilt. Dies tritt auf, wenn alle Exponenten gerade sind . Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f = -f(x) gilt, was bei ungeraden Exponenten der Fall ist .
Das Verhalten im Unendlichen wird durch die höchste Potenz und deren Koeffizienten bestimmt. Bei ganzzahligen Funktionen schaust du dir das Vorzeichen an: Ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv, strebt die Funktion für x → ±∞ gegen +∞.
💡 Tipp: Bei der Darstellung der Definitionsmenge benutze eckige Klammern , wenn die Randpunkte eingeschlossen sind, und runde Klammern (a;b), wenn sie nicht enthalten sind.
Für die Nullstellenberechnung gibt es verschiedene Methoden wie die abc-Formel, Ausklammern oder die Polynomdivision. Bei biquadratischen Funktionen kannst du mit Hilfe der Substitution die Nullstellen bestimmen und anschließend eine Resubstitution durchführen.
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Die Linearfaktordarstellung (LFD) ermöglicht das direkte Ablesen von Nullstellen. Bei f(x) = sind die Nullstellen x₁ = 2 und x₂ = -3. Doppelte Nullstellen werden durch Potenzen angezeigt, wie bei f(x) = ², wo x = -3 eine doppelte Nullstelle ist.
Für die Ableitung einer Funktion nutzt du verschiedene Regeln. Die Potenzregel besagt, dass f'(x) = n·xⁿ⁻¹ für f(x) = xⁿ. Mit der Faktorregel leitest du f(x) = axⁿ zu f'(x) = a·n·xⁿ⁻¹ ab. Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen ist.
Bei der Bestimmung von Extrempunkten benötigst du die notwendige Bedingung f'(x) = 0 und die hinreichende Bedingung. Diese kannst du entweder durch das Vorzeichenwechselkriterium oder durch die zweite Ableitung überprüfen. Bei einem Hochpunkt wechselt f' von + nach -, bei einem Tiefpunkt von - nach +.
🔍 Merkhilfe: Das Monotonieverhalten einer Funktion hängt direkt mit dem Vorzeichen der ersten Ableitung zusammen: Ist f'(x) > 0 im Intervall I, dann ist f(x) streng monoton steigend; ist f'(x) < 0, dann ist f(x) streng monoton fallend.
Um das Monotonieverhalten zu bestimmen, berechnest du die Nullstellen der ersten Ableitung und untersuchst die Vorzeichenwechsel, wie bei f(x) = x² + 1, wo die Funktion für x < 0 streng monoton fällt und für x > 0 streng monoton steigt.
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Wendepunkte (WP) erfordern zwei Bedingungen: Die notwendige Bedingung f''(x) = 0 und die hinreichende Bedingung f'''(x) ≠ 0. Am Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion.
Beim Krümmungsverhalten unterscheidet man zwischen Rechtskurven und Linkskurven. Wenn f''(x) > 0 ist, handelt es sich um eine Linkskurve (L); wenn f''(x) < 0 ist, liegt eine Rechtskurve (R) vor.
Sattelpunkte (SP) sind besondere Punkte, an denen eine waagerechte Tangente vorliegt, jedoch kein Extrempunkt. Die Bedingungen sind: f'(x) = 0 (waagerechte Tangente), f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0. Ein Beispiel ist der Ursprung bei f(x) = x³, wo f'(0) = 0, f''(0) = 0 und f'''(0) = 6 ≠ 0 ist.
🧩 Zusammenhang: Beim graphischen Ableiten kannst du direkt erkennen: Hochpunkte werden zu Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von + nach -, Tiefpunkte zu Nullstellen mit Wechsel von - nach +, und Wendepunkte erscheinen als Extrema in der Ableitung!
Diese Konzepte helfen dir, Funktionen vollständig zu analysieren und ihren Verlauf zu verstehen. Mit diesen Werkzeugen kannst du nicht nur Aufgaben lösen, sondern auch ein tieferes Verständnis für das mathematische Verhalten von Funktionen entwickeln.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Lena M
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Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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