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Mathe Lösungsmenge und lineares Gleichungssystem
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Julian Kurz
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Eine GFS in Mathe aus der Kursstufe mit 13 Punkten
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LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM GFS 25.03.2019 a11* X₁ + a12 * x₂ + a13 * X3 a21 X₁ + a22 * x₂ + a23 * X3 X1 X3 * a31* X₁ + a32 * x₂ + a33 ****** ****** LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM am1* X₁ + am2 * x2 + am3 * X3 + a₁n * Xn = b₁ + a₂n X₁ = b₂ + a3n * Xn = b3 ………… + amn X = b. mm ...... + a₁n * Xn = b₁ GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS a11 X₁ + a12 * x2 + a13 * X3 a21* X₁ + a22 * x₂ + a23 * X3 а31* X1 + a32 * X2 + a33 * X3 am2 * x₂ + am3 * X3 am1* X1 + + a2n * Xn =b₂ + a3n * Xn = b3 ...... +amn * Xn=bm 1 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 INHALT ● Grundlagen Lösungsverfahren Gauß-Verfahren Matrixschreibweise Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme Anwendungsbereiche Übungsaufgaben Quellen GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS ...... + a₁n * Xn = b₁ a11 X₁ + a12 * x2 + a13 * X3 a21* X₁ + a22 * x₂ + a23 * X3 а31* X1 + a32 * X2 + a33 * X3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3 ...... +amn * Xn=bm + a2n * Xn =b₂ + a3n * Xn = b3 2 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 GRUNDLAGEN Lineare Gleichung Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung ersten Grades, d.h. die Variable x kommt in keiner höheren als...
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der ersten Potenz vor. a₁* X₁ + a₂ * X₂ + A3 * X3 · 2. Lineares Gleichungssystem (LGS): + an * Xn = b a11* X₁ + a12 * x2 + a13 * X3 * * a21 + a22 * x₂ + a23 X₁ X3 d31* X1 + d32 * X2 + а33 * Хз am1* X₁ + Əm2 * X2 + Əm3 * X3 Als lineares Gleichungssystem bezeichnet man ein System linearer Gleichungen, die mehrere Unbekannte (,,Variablen“) enthalten. + a₁n * Xn = b₁ * + a2n + a3n * Xn =b₂ = a, b ER Xn = b3 + amn * Xn = bm Quadratisches Gleichungssystem m=n z. B. 3 Gleichungen und 3 Unbekannte ...... + a₁n * Xn = b₁ a11 X₁ + a12 * x2 + a13 * X3 a21* X₁ + a22 * x₂ + a23 * X3 а31* X1 + a32 * X2 + a33 * X3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3 ...... +amn * Xn=bm Unterbestimmtes Gleichungssystem m<n, z.B. 2 Gleichungen und 3 Unbekannte Überbestimmtes Gleichungssystem m>n, z. B. 3 Gleichungen und 2 Unbekannte GFS J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS + a2n * Xn =b₂ + a3n * Xn = b3 3 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 GRUNDLAGEN 3. Lösung eines linearen Gleichungssytems Lösungstupel: (X₁; X₂;X3;.....;Xn) Eine Lösung eines linearen Gleichungssystems erfüllt alle Gleichungen des LGS. Hat das LGS n Variablen X₁, X₂, X3 ...... Xn, dann besteht die Lösung aus n Zahlen, die man als Zahlentupel oder als Lösungsvektor angibt. Lösungsvektor: GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS (x₁) X2 X3 a11 X₁ + a12 * x2 + a13 * X3 a21* X₁ + a22 * x₂ + a23 * X3 а31* X1 + a32 * X2 + a33 * X3 \Xn ...... + a₁n * Xn = b₁ Mögliche Unbekannte: X₁, X₂, X3... a,b,c... x,y,z... + a2n * Xn =b₂ + a3n * Xn = b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3 ...... .+amn * Xn=bm LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 LÖSUNGSVERFAHREN Zur Lösung eines linearen Gleichungssystems stehen folgende Lösungsverfahren zur Verfügung: Gleichsetzungsverfahren I y = 3x + 7 Il y = x + 2 ■ Einsetzungsverfahren Additionsverfahren I 3x + 4y = 8 || X = 2 | 2x + y = 6 II 4x - y = 12 | = ||: 3x + 7 = x + 2 x-Wert in II: y=-2,5 + 2 II in I: 3*2 + 4y = 8 GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS => x = -2,5 => y = -0,5 => y = 0,5 | + ||: 6x = 18 => x = 3 x-Wert in I: 2*3 + y = 6 => y = 0 ...... + a₁n * Xn = b₁ a11 X₁ + a12 * x2 + a13 * X3 a21* X₁ + a22 * x₂ + a23 * X3 а31* X1 + a32 * X2 + a33 * X3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3 ...... +amn * Xn=bm + a2n * Xn =b₂ + a3n * Xn = b3 5
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