Mathe Lösungsmenge und lineares Gleichungssystem

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X1 + a22 X2 +a23 * X3 * * * a31 X1 Als lineares Gleichungssystem bezeichnet man ein System linearer Gleichungen, die mehrere Unbekannte (,,Variablen") enthalten. + d32 * X2 + 233 * X3 * am1* X1 + am2 * x₂ + am3 + an X3 * Xn = b + ain Xn=b₁ + a2n * Xn=b₂ + a3n * Xn = b3 + an * mn * a, be R Xn = bm Quadratisches Gleichungssystem m=n z.B. 3 Gleichungen und 3 Unbekannte a11* x1 + a12 * x2 + a13 * X3...+ a1n* X = b₁ a21* X1 + a22 * x₂ + a23 * X3..... + a2n * X = ₂ 331 X1 + a32X₂ + 333 X3.... +33n * Xn=b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3......+amn * Xn = bm Unterbestimmtes Gleichungssystem m<n, z.B. 2 Gleichungen und 3 Unbekannte Überbestimmtes Gleichungssystem m>n, z.B. 3 Gleichungen und 2 Unbekannte GFS J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS 3 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 GRUNDLAGEN 3. Lösung eines linearen Gleichungssytems Eine Lösung eines linearen Gleichungssystems erfüllt alle Gleichungen des LGS. Hat das LGS n Xn, dann besteht die Lösung aus n Zahlen, die man als Zahlentupel oder als Variablen X₁, X2, X3 Lösungsvektor angibt. ...... Lösungstupel: (X₁; X₂;X3;....;Xn) Lösungsvektor: GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS (x₁) x2 X3 ... a11* X1 + a12 * x2 + a13 * X3+a1n* Xn = b₁ a21* X1 + a22 * x₂ + a23 * X3..... + a2n * X = ₂ a31 X1 + a32X2 + a33 X3.... + a3n * Xn=b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3...+amn * Xn = bm \Xn Mögliche Unbekannte: X1, X2, X3... a,b,c... x,y,z... 4 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 LÖSUNGSVERFAHREN Zur Lösung eines linearen Gleichungssystems stehen folgende Lösungsverfahren zur Verfügung: Gleichsetzungsverfahren 1 y = 3x + 7 Il y = x + 2 ■ ■ Einsetzungsverfahren ■ Additionsverfahren | 3x + 4y = 8 II x = 2 | 2x + y = 6 II 4x - y = 12 | = ||: 3x + 7 = x + 2 x-Wert in II: y = -2,5 + 2 II in I: | + ||: 6x = 18 x-Wert in I: 2*3+y=6 GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS 3*2 +4y=8 => y = 0,5 => x = -2,5 => y = -0,5 a11* X1 + a12*X2 + a13 * X3 + a1n * Xxn=b₁ a21* X1 + a22 * x₂ + a23 * X3..... + a2nX=D₂ a31 X1 + a32X2 + a33 X3.... + a3n * Xn=b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3......+amn * Xn = bm => x = 3 => y = 0 5 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 GAUSS-VERFAHREN (GAUSS-ALGORITHMUS) ➤ Der Algorithmus von Gauß ist das universelle Verfahren zur Lösung beliebiger linearer Gleichungssysteme Ziel: mit Hilfe von Äquivalenzumformungen: ● X3+a1n* Xn=b₁ X3.... + a2n * Xn = ₂ a11 X1 + a12X₂ + a13 a21 X1 + a22X₂ + a23 a31* X1 + a32 * x₂ + a33 * X3...+ a3n * Xn = b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3......+amn * Xn = bm zwei Gleichungen vertauschen eine Gleichung mit einer Zahl c #0 multiplizieren eine Gleichung durch die Summe (Differenz) eines Vielfachen von ihr (c = 0) und eines Vielfachen einer anderen Gleichung des Systems ersetzten unter der Hauptdiagonalen Nullen erzeugen => äquivalentes Gleichungssystem, aus dem man den Lösungsvektor bzw. das Lösungstupel durch Rückwärtseinsetzen bestimmen kann Grundlegendes Lösungsverfahren: Additionsverfahren GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS 6 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 GAUSS-VERFAHREN (GAUSS-ALGORITHMUS) || X₁ - X₂ + x3 = 0 II -2x₁ + x₂ - 6x3 = 0 ||| X1 2x3 = 7 Vorgehensweise (n = 3, m = 3): Gleichung I abschreiben: X₁-Koeffizient der Gleichung II auf den Wert 0 bringen: X₁-Koeffizient der Gleichung III auf den Wert O bringen: Gleichung I abschreiben: Gleichung (2*1 + II) abschreiben: 2*1 + II X₂-Koeffizient der Gleichung (I-III) auf den Wert 0 bringen: (2*1 + 11) − (I-III) Aus der Gleichung (2*1 + ||) − (1 − III) x3 ermitteln: X3-Wert in Gleichung (2*1 + 11) einsetzen und X₂ ermitteln: X₂- und X₂-Wert in Gleichung | einsetzen und x₁ ermitteln: X1 X₂ + x3 = 0 4x3 = 0 3x3 = -7 2*1 + 110x₁ - x₂ - I-III Ox₁-x₂ + X₁ X₂ + x3 = 0 0x₁ - x₂ 4x3 = 0 Ox₁- Ox₂ - 7x3= 7 GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS a11* X1 + a12 * x2 + a13 * X3...+ a1n * Xn = b₁ a21 X1 + a22X₂ + a23 X3.... + a2nX=D₂ a31 X1 + a32X2 + 233 * X3.... +33n * Xn=b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3......+amn * Xn = bm Probe: 5-4+ (-1) = 0 ✓ -2*5 +4-6*(-1) = 6 ✓ 5-2*(-1)=7✓ Additionsverfahren I und II Additionsverfahren I und III Additionsverfahren (2*1 + 11) und (1-11) - 7x3 = 7 => x3 = -1 -X₂ - 4*(-1) = 0 => X₂ = 4 X₁ - 4+ (-1) = 0 => X₁ = 5 Lösungsmenge L = {(5;4;-1)} 7 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 MATRIXSCHREIBWEISE Da zum Lösen eines LGS meist mehrere Schritte durchgeführt werden müssen, kann man zur Vereinfachung mit Hilfe der Matrixschreibweise die Unbekannten X₁, X₂, X3 weglassen: 1 II': 2*1 + II ||| ': | - ||| 1 ||' ||- |||' X₁ X₂ + x3 = 0 -2x₁ + x₂ - 6x3 = X1 0 - 2x3 = 7 X₁ X₂ + - x3 = 0 - X₂ - 4x3 = 0 -X₂ + 3x3 = -7 X1 X2 + x3 X2 0 4x3 = 0 - 7x3 = 7 X₁ X3 r.S. 1 -1 1| 0 1 -6 0-2 7 -2 1 X₁ X₁ X₂ 1 X3 r.S. -1 1 0 0 -1 -4 0 0 -1 3 -7 X₁ X₂ X3 r.S. 1 -1 1 0 -1 -4 00-7 0 0 => X₁ = 5 => X₂ = 4 => x3 = -1 a11* X1 + a12X2 + a13 * X3+a1n * Xn = b₁ a21* X1 + a22 * x₂ + a23 * X3..... + a2nX=D₂ a31 X1 + a32X2 + a33 X3.... +33n * Xn=b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3......+amn * Xn = bm GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS L = {(5;4;-1)} 8 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM MÖGLICHE LÖSUNGSMENGEN eine eindeutige Lösung → keine Lösung ⇒ unendlich viele Lösungen 25.03.2019 Das LGS hat genau eine Lösung ⇒z.B. 3 sich schneidende Geraden ⇒ L = {(1;2)} -1 Das LGS hat keine Lösung ⇒z.B. 3 paralle Geraden ⇒ L = {( )} -5 -3 6- 5- 3- -2- -1 -2 10 3 4 5 6 GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS Das LGS hat unendlich viele Lösungen ➡z.B. 3 identische Geraden ⇒> L= = {(=;t)} -5 -4 -3 -2 -1 5- 9 tεR 1 a11* X1 + a12X2 + a13 * X3+a1n * Xn=b₁ a21* X1 + a22 * x2 + a23* X3..... + a2n * Xn=b₂ a31* X1 + a32 * x₂ + a33 * X3......+ a3n * Xn = b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3......+amn * Xn=bm 4 9 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 LÖSUNGSMENGEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 1. Fall: Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung (siehe auch Beispiel ,,Vorgehensweise") Beispiel: 2x₁ + 4X₂ X3 = 1 5X₁ X1 X₂ + 2x3 = 9 X₂ X3 = 4 || ||| II': 2*1-11 III': 5*1-III II' III'': 2*11'-3*III´ X1 2x₁ + 4X₂ 5x₁ - X1- X1- X₂ - X3 = X3 = x₂ + 2x3 = X3 = X2 -6x₂ - X3 = -4x₂ - 7x3 = 4 19 9 4 7 11 X2 - X3 = 4 -6x₂ - X3 = 7 19x3 = -19 ,,schönste" Gleichung = Gleichung I L = {(2;-1;-1)} => X₁- (-1)-(-1) = 4 => x₁ = 2 => -6x₂ - (-1) = 7 => X₂ = -1 => X3 = -1 GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS a11* X1 + a12X₂ + a13*X3+a1n * Xn = b₁ a21 X1 + a22X2 + a23 X3.... + a2n* X = ₂ a31 X1 + a32X2 + 233 * X3.... +33n * Xn=b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3......+amn * Xn = bm A Probe: 2*2 + 4*(-1) - (-1) = 1 ✓ 5*2- (-1) + 2*(-1) = 9✓ 2- (-1)-(-1) = 4 ✓ 10 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 LÖSUNGSMENGEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 2. Fall: Das Gleichungssystem hat keine Lösung Beispiel: 2x₁ 3X₂ X3 = X₁ + 2x₂ + 3x3 = 3x₁8x₂5x3 = II': 2*1 - 11 III': 3*1- III ||' 2*11'- III' X₁ + 2x₂ + 3x3 = 2x₁ - 3X₂ X3 = 3x₁ - 8x2 - 5x3 = X₁ + 2x₂ + 3x3 = 7x₂ + 7x3 = 14x₂ +14x3 = 4 X₁ + 2x₂ + 3x3 = 7x2 + 7x3 = 1 5 1 4 5 1 -2 -2 1 -2 0 = -2 ,,schönste" Gleichung = Gleichung I 4 GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS a11 X1 + a12X₂ + a13* X3+a1n* Xn=b₁ a21 X1 + a22X₂ + a23 X3.... + a2n* X = ₂ a31 X1 + a32X2 + a33 X3.... +33n * Xn=b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3......+amn * Xn = bm L = {( )} 11 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 LÖSUNGSMENGEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 3. Fall: Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen Beispiel: X₁ + 2x₂ 3x3 = 6 2x₁ X₂ + 4x3 = 2 4x₁3x₂2x3 = 14 | || II': 2*1- II III': 4*1- III 1 ||' ||' - |||' 6 10 5x₂10x3 = 5x₂ 10x3 10 X₁ + 2x₂ 3x3 = X1 + 2x₂ 5x₂ = 3x3 = 6 10x3 10 0 = 0 = a11 X1 + a12X₂ + a13* X3+a1n * Xn=b₁ a21 X1 + a22X2 + a23 X3..... + a2n* X = ₂ a31 X1 + a32X2 + 233 * X3.... +33n * Xn=b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3......+amn * Xn = bm GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS Probe: (2-2t) + 2* (2 + 2t) - 3*t = 6 2* (2-2t) - (2 + 2t) + 4*t = 2 ✓ 4* (2 − 2t) + 3* (2 + 2t) - 2*t = 14 ✓ => X₁ + 2* (2 + 2*t) - 3*t = 6 => X₁ = 2 - t => 5X, - 10*t = 10 =>X,= 2 +2*t X3 = t L = {(2-t;2+2t;t)} tER 12 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 ANWENDUNGSBEREICHE Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems aus dem Sachkontext: Ein Blumenstrauß aus 4 Rosen, 5 Gerbera und 3 Schmuckblättern kostet 20 Euro. Für einen Strauß mit 6 Rosen, 3 Gerbera und 4 Schmuckblättern zahlt man 18,50 Euro. Ein Strauß aus 5 Rosen, 4 Gerbera und 2 Schmuckblättern ist auch mit 18,50 Euro ausgepreist. Vorgehensweise: 1. Festlegen der Variablen: 2. Aufstellen der Gleichungen: r = Anzahl Rosen g=Anzahl Gerbera s = Anzahl Schmuckblätter || ||| 4r + 5g + 3s = 20,0 6r+ 3g + 4s = 18,5 5r + 4g + 2s = 18,5 GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS a11* X1 + a12*X2 + a13 * X3 + a1n * Xn = b₁ a21* X1 + a22 * x₂ + a23 * X3..... + a2nX=₂ a31* X1 + a32 * x₂ + a33 * X3...+ a3n * Xn = D3 am1* X1 + am2 * x2 + am3 * X3...... + amn * Xn=bm 3. In Stufenform bringen 4. Lösung bestimmen 5. Antwort formulieren 13 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 ANWENDUNGSBEREICHE Schnitt von 3 Ebenen in der Analytischen Geometrie (Ausblick): Koordinatenform einer Ebene im Raum: ax₁ + bx₂ + cx3 = d => Schnitt von 3 Ebenen im Raum: X₁ + 2x₂ 3x3 = 6 2X₁ X₂ + 4x3 = 2 4x₁3x₂2x3 = 14 - => Mögliche Lösungsmengen 3 Ebenen schneiden sich in einem Punkt, z.B. Koordinatenebenen in 0(0|0|0) 3 Ebenen sind echt parallel => L = {( )} ► 3 Ebenen schneiden sich in einer Geraden => Schnittgerade g: x = 0 + 3 Ebenen sind identisch => Schnittebene E: X₁ + 2x₂ - 3x3 = 6 ➤ Von 3 Ebenen schneiden sich nur jeweils 2 in einer Geraden => L = {( )} GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS -1 1 a11* X1 + a12X2 + a13 * X3+a1n * Xn=b₁ a21* X1 + a22 * x₂ + a23* X3..... + a2nX=D₂ a31* X1 + a32 * x₂ + a33 * X3+a3n * Xn = b3 am1* X1 + am2 * x2 + am3 * X3...+amn * Xn = bm 14 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 Übungsaufgaben Aufgabe 1: (Abiturprüfung 2011) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: -5x₁ +x2 5x₁ -3x₂ X₁ Aufgabe 3: (Abiturprüfung 2005) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem -3x3 -X3 +X3 X₁ +4x2 + x3 = 10 X₁ + 2x2 + x3 = 8 X₁ + X2 X3 = 3 = = = 7 -11 -1 LÖSUNG: LÖSUNG: Aufgabe 3: X₁ + 4x₂ + x3 = 10 | (-1) X₁ + 2x₂ + x3 = 8 X₁ + X₂ X3 = 3 1. 2. 3. Setze x3 = t mit te R. Aus der 2.Zeile folgt: -2x₂ - 4t=-4⇒ x₂ = -2t+2 Aus der 1.Zeile folgt: -5x, +(-2t+2)-3t=7⇒-5x₁ = 5t+5⇒ x₁ = -t-1 a11* X1 + a12X2 + a13*X3+a1n * Xn = b₁ a21 X1 + a22X₂ + a23 X3.... + a2nX=b₂ a31* X1 + a32X2 + 233 * X3.... + a3n * Xn=b3 am1* X1 + am2 * x2 + am3 * X3 + amn * Xn=bm GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS Schönste Gleichung nach oben In Stufenform bringen Lösung bestimmen X₁ + 4x₂ + x3 = 10 -2x2 = -2 - 3x₂ - 2x3 = -7 Aus der 2. Zeile erhält man x₂ = 1. Aus der 3. Zeile ergibt sich dann x3 = 2 und das ganze in die 1.Zeile eingesetzt ergibt x₁ = 4, also L = {(4/1/2)} 15 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM 25.03.2019 Übungsaufgaben Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems aus dem Sachkontext: Für Düngerversuche sollen aus drei Düngersorten, die jeweils unterschiedliche Mengen an Kalium, Stickstoff und Phosphor enthalten, eine neue Mischung hergestellt werden. Wie viel Kilogramm von A, B und C muss 1kg der Mischung enthalten, wenn sie zu 40% Kalium, 35% Stickstoff und 25% Phosphor enthalten soll? Vorgehensweise: 1. Festlegen der Variablen: 2. Aufstellen der Gleichungen: X₁= Menge von A in kg X₂= Menge von B in kg X3= Menge von C in kg 1 0,4 X1₁ + 0,3 x₂ + 0,5 x₁ + 0,2 X₂ + 0,1 x₁ + 0,5 x₂+ Kalium 40% Stickstoff 50% Phosphor 10% 0,5 x3 = 0,4 0,3 x3 = 0,35 0,2 X3 = 0,25 A GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS B 30% 20% 50% a11* X1 + a12 * x2 + a13 * X3...+ a1n * X₁ = b₁ a21* X1 + a22 * x₂ + a23 * X3..... + a2n * X = ₂ 331 X1 + a32X₂ + 333 X3.... +33n * Xn=b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3......+amn * Xn = bm 3. In Stufenform bringen 4. Lösung bestimmen 5. Antwort formulieren C 50% 30% 20% LÖSUNG: L= {(0,4; 0,3; 0,3)} 16 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM QUELLEN Buchquellen: 25.03.2019 ● ● Lambacher Schweizer Kursstufe Lambacher Schweizer Berufliches Gymnasium BA-Wü Internetquellen: http://www.matheabi-bw.de/index.php/analysis-mit-gtr/ti-83- plus9/lineare-gleichungssysteme16/384-lgs-mit-unendlich-vielen- loesungen https://de.bettermarks.com/mathe/loesen-linearer- gleichungssysteme-mit-drei-variablen/#LGuUELGSdV.2 https://www.mathebibel.de/lineare- gleichungssysteme file:///C:/Users/Anna/Downloads/Trainin g Lineare Gleichungssysteme Pflichtteil aufgaben.pdf https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches Eliminatio nsverfahren https://www.mathe- a11* X1 + a12X2 + a13 * X3+a1n * Xn = b₁ a21* X1 + a22 * x₂ + a23 * X3..... + a2nX=D₂ a31 X1 + a32X2 + a33 X3.... + a3n * Xn=b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3...+amn * Xn = bm aufgaben.com/aufgaben/abitur/bw- allgemein-bildende-gymnasien-ab- 2019.html GFS/J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS 17 25.03.2019 LÖSUNGSMENGEN UND LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM Grundlagen: LGS = mehrere lineare Gleichungen die mehrere Variablen enthalten. a11* X₁ + a12 * x₂ + a13 * X3 + a1n * Xn = b₁ a21 X₁ + a22 X2 + a23 * X3 а31* X1 + а32 * X2 + a33 * X3 + a2n * Xn = b₂ Xn = * + a3n b3 +amn * Xn=bm ● ****** am1* X1 + am2 * x₂ + am3 X3 ****** Quadratisches Gleichungssystem m=n z.B. 3 Gleichungen und 3 Unbekannte Unterbestimmtes Gleichungssystem m<n, z.B. 2 Gleichungen und 3 Unbekannte Überbestimmtes Gleichungssystem m>n, z.B. 3 Gleichungen und 2 Unbekannte Anwendungsbereiche von LGS: GFS HANDOUT / J1 - LÖSUNGSMENGEN UND LGS Technik; Natur- und Wirtschaftswissenschaft Analysis Vektorgeometrie Lösungsverfahren: Einsetzungsverfahren Schritt 1 => bei beliebiger Gleichung nach einer Variablen umstellen Schritt 2 => Umgestellte Gleichung in unbenutzte Gleichung einsetzten Schritt 3 => Errechnete Variable in unbenutzte Gleichung einsetzten Additionsverfahren Schritt 1 => Konzentration auf x oder y Schritt 2 => Bei der gewählten Variablen unterschiedliche Vorzeichen aber gleiche Zahl vor der Variablen => auflösen Schritt 3 => Errechneter Wert in eine der Ausgangsgleichungen einsetzten um 2. Variable zu erhalten Gleichsetzungsverfahren Schritt 1 => Beide Gleichungen nach der selben Variable umstellen Schritt 2 => Gleichsetzen Schritt 3 => Errechnete Variable in eine der umgestellten Gleichungen einsetzen Quellen: Internet: https://www.mathebibel.de/lineare- gleichungssysteme https://www.mathe- aufgaben.com/aufgaben/abitur/bw-allgemein- bildende-gymnasien-ab-2019.html Buch: Lambacher Schweizer Kursstufe a11* X1 + a12 * x2 + a13 * X3...+ a1n * Xn = b₁ a21* X1 + a22* x₂ + a23* X3.... + a2n * Xn=b₂ a31* X1 + a32X2 + 233 * X3.... + a3n * Xn=b3 am1* X1 + am2 * x₂ + am3 * X3......+amn * Xn = bm Gauß-Verfahren: Mithilfe von Äquivalentumformungen wird das lineare Gleichungssystem auf eine Stufenform gebracht. Besteht das LGS dann in Stufenform können nach und nach die vorkommenden Variablen durch Rückwärtseinsetzen aufgelöst werden und man erhält eine Lösungsmenge des LGS. I. 3.x + 3y - 1.z = 5 II. 4x + 5y + 1 z = -1 III. 2-5x + 7 z = 9 Mögliche Lösungsmengen von LGS: eine eindeutige Lösung: Man erhält für jede Variable genau einen Wert damit die Gleichung erfüllt ist, z.B.: x = 3, y = 1, z= 4 => Lösungsmenge L = {(3;1;4)} ● keine Lösung: Während des Lösens Tritt ein Widerspruch auf, z.B.: 2 = 4 => Lösungsmenge L = {()} unendlich viele Lösungen: Kommt es beim Lösen der Gleichung dazu, dass eine Gleichung 0-0 ergibt, und man somit mehr Variablen als Gleichung erhält, kann man eine beliebige Variable durch den Parameter t ersetzen. Man löst nun nach den weitern Variablen auf und erhält als Lösung immer eine Gleichung in Abhängigkeit des Parameters t. Für t kann dann jede Zahl ER eingesetzt werden um die Gleichung zu lösen. Somit hat ein solches LGS unendlich viele Lösungen., Z.B.: => Lösungsmenge L = {(t+1;2-t;t)} t&R