Mathe Zentrale Abschlussprüfung NRW - Themen und Lösungen

Prozentrechnung und Lineare Gleichungssysteme

Bei der Prozentrechnung musst du drei Formeln kennen:

• Grundwert: $G = \frac{W \cdot 100}{p}$
• Prozentwert: $W = \frac{G \cdot p}{100}$
• Prozentsatz: $p\% = \frac{W \cdot 100}{G}$

Zum Beispiel: Für 40% von 450€ rechnest du $W = \frac{450 \cdot 40}{100} = 180€$

Beim Lösen von linearen Gleichungssystemen kannst du das Additionsverfahren nutzen, wenn die Variablen verschiedene Vorzeichen haben. Multipliziere die Gleichungen so, dass eine Variable beim Addieren wegfällt. Bei gleichen Vorzeichen verwendest du das Subtraktionsverfahren.

Lineare Funktionen haben die Form y = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Die Nullstelle findest du, indem du y = 0 setzt und nach x auflöst.

💡 Merkhilfe: Bei der Steigung bedeutet ein positiver Wert "nach oben", ein negativer "nach unten". Je größer der Betrag, desto steiler die Gerade!

Zinsrechnung und Quadratische Funktionen

Bei der Zinsrechnung musst du den Zeitraum beachten. Die Formeln lauten:

• Für Tage: $Z = \frac{K \cdot I \cdot P}{100 \cdot 360}$
• Für Monate: $Z = \frac{K \cdot I \cdot P}{100 \cdot 12}$
• Für Jahre: $Z = \frac{K \cdot I \cdot P}{100}$

Dabei ist Z der Zinsbetrag, K das Kapital, I der Zeitraum und P der Prozentsatz.

Quadratische Funktionen erzeugen Parabeln mit der allgemeinen Form f$x$ = ax² + bx + c. Der Faktor a bestimmt die Form der Parabel:

• Bei a > 0 öffnet die Parabel nach oben
• Bei a < 0 öffnet sie nach unten
• Bei |a| > 1 wird die Parabel gestreckt
• Bei |a| < 1 wird sie gestaucht

Eine Verschiebung in y-Richtung erhältst du durch den Wert c. Bei der x-Verschiebung gilt: Plus verschiebt nach links (ins Negative), Minus nach rechts (ins Positive).

💡 Prüfungstipp: In der ZAP Mathe NRW werden häufig Aufgaben zu Funktionsverschiebungen gestellt. Übe, wie sich die Parameter a, b und c auf die Parabelform auswirken!

Wahrscheinlichkeit und Wachstum

Baumdiagramme helfen dir, alle möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments darzustellen. Unterscheide zwischen:

• Ziehen ohne Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich in der zweiten Stufe
• Ziehen mit Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeiten bleiben in allen Stufen gleich

Für die Gesamtwahrscheinlichkeit multiplizierst du die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang der Äste.

Bei Wachstum und Abnahme unterscheidest du zwischen:

• Absolutem Wachstum: Endgröße - Anfangsgröße
• Durchschnittlichem Wachstum: (Endgröße - Anfangsgröße) / Anzahl der Zeitabschnitte
• Wachstumsrate: p% = (Endgröße - Anfangsgröße) / Anfangsgröße

Der Wachstumsfaktor q berechnet sich aus der Wachstumsrate:

• Bei Zunahme: q = 1 + p%
• Bei Abnahme: q = 1 - p%

In der Trigonometrie merkst du dir die Formeln:

• sin = Gegenkathete/Hypotenuse
• cos = Ankathete/Hypotenuse
• tan = Gegenkathete/Ankathete

💡 Übungstipp: In den ZAP Mathe Aufgaben mit Lösungen NRW kommen Aufgaben zur Stochastik häufig vor. Übe besonders das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen!

Strahlensätze

Die Strahlensätze sind wichtig für die Zentrale Abschlussprüfung NRW und helfen dir bei der Berechnung von Streckenverhältnissen:

Der erste Strahlensatz besagt: $\frac{SB'}{SB} = \frac{SA'}{SA}$
Das bedeutet: Die Verhältnisse der Teilstrecken auf beiden Strahlen sind gleich.

Der zweite Strahlensatz sagt: $\frac{A'B'}{AB} = \frac{SA'}{SA}$ und $\frac{A'B'}{AB} = \frac{SB'}{SB}$
Das heißt: Das Verhältnis der Parallelstrecken ist gleich dem Verhältnis der Teilstrecken auf jedem der Strahlen.

Um diese Formeln anzuwenden, musst du zuerst prüfen, ob die Geraden parallel sind. Dann kannst du die Formeln nach der gesuchten Strecke umstellen und berechnen.

Die Strahlensätze funktionieren auch, wenn der Punkt S zwischen den Parallelen liegt. Das ist wichtig für komplexere Aufgaben in den Prüfungsaufgaben Mathe Klasse 10 mit Lösungen NRW.

💡 Klausurtipp: In der Mathe ZP 10 NRW werden die Strahlensätze oft in Verbindung mit geometrischen Figuren geprüft. Achte darauf, welche Strecken parallel sind!