TMS- Quantitative und formale Probleme

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eine Formel und vereinfachen Sie diese so weit wie möglich. Grundwert Prozentsatz = Prozentwert • Runden und vereinfachen Sie Ihre Werte, wenn die Ergebnisse weite/gleichmäßige Abstände zueinander haben. • Bringen Sie Ihre Prozentzahlen in eine Darstellung, die für die Be- rechnung von Vorteil ist. Gleichen Sie an dieser Stelle die Einheiten an. • Setzen Sie zuletzt Ihre Werte ein und führen Sie die Berechnung durch. • Nutzen Sie hierzu insbesondere die Möglichkeiten der Primfak- torenzerlegung. z. B. Grundwert 12% Grundwert. 12 100 Grundwert-2-2-3 100 1% → 1.10² Prozentrechnen Grundwart Prozentsatz Prozentwort unveränderte wart einer Aufgabe Prozentzahl 100% 80% Prozentzablen auswendig! 75% 66% 50% 40% 33% 25% 20% → 15% 12,5% 0% 1 0,8 Dezimalzahl Zehnerpotenz 0,75 0,66 0,5 0,4 0,33 0,25 0,2 100 0,15 0,125 → 0,01 0 Analyse der möglichen Fehler: → werte nicht unverändert aus Angabe übernehmen → Lösung selber finden, nicht nur entscheiden welche die richtige ist → FOKUS auf Kopfrechnen prozentuale Anteil, um den erhöht oder vermindert werden soll. 10.10-1 23.10-1 3-52-10-2 66-10-2 5-10-1 22.10-1 33-10-2 52.10-2 2.10-1 3-5-10-2 12,5-10-2 0-10-2 100 100 Bruch 4 23 oder 10 wi- UIN N/A WiN A/W oder 1 8 oder 1 5 4 1 oder 2 4 oder 52.3 100 oder 22 10 2 10 (x=0) Nur geeignet für private Nutzung. Ein Weiterverkauf ist verboten. Beispielaufgabe Prozentrechnen: Ein geübter Dachdecker braucht zum Abdecken eines Hausdaches zwei Arbeitstage zu jeweils sieben Stunden. Da der Auftraggeber sich einen schnellen Abschluss der Arbeiten wünscht, nimmt der Dachdecker seinen Gesellen mit. Die Arbeitsleistung des Meisters fällt um 20%, da er seinen Gesellen einweisen muss, und die Leistung des Gesellen beträgt 60% der eigentlichen Leistung seines Meisters. Wie viele Stunden brauchen die zwei Arbeiter gemeinsam? a 7 Stunden b 8 Stunden c 9 Stunden X10 Stunden e 12 Stunden Grundwert: 7 Std. gemindert Prozentsatz 20% Grundwert: 7 std. #gesteiger+ " Prozentsatz: 60% Arbeitsleistung gesamt: GW⋅ 80%+ GW 60% = GW.140% → Grundleistung → Grundleistung · 114 zeit.. A 1,4 -> Bearbeitungsschritte: zeit 114 - 14 std. 114 → 10 Std. zwischen Leistung I zeit besteht eine indirciate proportionalität Je größer die Leistung, destes geringer die zeit Leistung steigt auf 140% (Palctor 114) Leistung. 114 zeit sinkt auf den kehrwart Zeit. 114 Prozentwort: 80% Prozentwort: 60% 11,4 Nur geeignet für private Nutzung. Ein Weiterverkauf ist verboten. Mischungsaufgaben: → sehr hohe Trainierbarkeit häufig Lösen durch Annäherung und überlegen Bearbeitungsstrategie Markieren in der Angabe Frage davor lesen, Werte danach markieren → Mischungskreuz erstellen X, Y und Z zuweisen, Skizze erstellen Arbeiten Sie mit Lösungen Falsche/unlogische Lösungen streichen, sich an Eins-zu-eins-Mischung orientieren Finden Sie einen Lösungsweg Maximal 3 Schritte Berechnung der Aufgabe • Berechnen Sie die Anteile der Flüssigkeiten über das Mischungs- kreuz. Anteil (Flüssigkeit 1) =|Z-Y| Anteil (Flüssigkeit 2) =|X-Z) • Alternativ erstellen Sie eine eigene Formel für die Berechnung der Aufgabe. Vereinfachen und arbeiten Sie mit dieser und setzen Sie die Werte aus der Angabe erst im letzten Schritt ein. • Achten Sie darauf, dass alle verwendeten Einheiten berücksichtigt wurden. Passen Sie diese vor der Berechnung gegebenenfalls an. • Konnten Sie schon Lösungsmöglichkeiten ausschließen, so ist es oft schneller, eine der Möglichkeiten direkt zu überprüfen, um eine Lösung zu generieren. 2 mögliche Fälle: • Die Konzentrationen der Startflüssigkeiten sind bekannt, ebenso die der Zielflüssigkeit. Gesucht ist das Mischverhältnis der Flüssigkeiten. • Die Konzentrationen einer Startflüssigkeit sowie der Zielflüssigkeit sind bekannt. Gesucht ist die Konzentration der zweiten Startflüssigkeit. Mischuerhältnis: verhältnis der beiden volumen der Flüssigkeiten zueinander Mischungsbrcuz Konzentration (Flüssigkeit 1) X% Konzentration (Flüssigkeit 2) Y% Konzentration (Zielflüssigkeit) Z% mathematische zusammenhänge Anteil (Flüssigkeit 1) = Konzentration (Zielflüssigkeit)-Konzentration (Flüssigkeit 2) Mischverhältnis (Zielflüssigkeit) = Analyse der möglichen Fehler: erst orientieran, dann rechnen → Einteilen van Ressourcen + strategisches vorgehen Einheiten umrechnen Anteil (Flüssigkeit 2) = Konzentration (Flüssigkeit 1)-Konzentration (Zielflüssigkeit) Anteil Flüssigkeit 1 |Z-YI Volumenanteil (Flüssigkeit 1) = Anteil (Flüssigkeit 1) Anteil (Flüssigkeit 1) + Anteil (Flüssigkeit 2) Anteil Flüssigkeit 2 |X-Z| Volumenanteil (Flüssigkeit 2)= Anteil (Flüssigkeit 2) Anteil (Flüssigkeit 1) + Anteil (Flüssigkeit 2) Anteil (Flüssigkeit 1) Anteil (Flüssigkeit 2) Gesamtflüssigkeit Gesamtflüssigkeit Nur geeignet für private Nutzung. Ein Weiterverkauf ist verboten. 2 varechiedene Lösungswege Für einen Laborversuch sollen zwei Liter einer 14 % NaCl-Lösung angesetzt wer- den. Doch auf Lager findet sich nur noch ein Behälter mit 1,2 Litern einer 35% NaCl-Lösung. Um die gewünschte Lösung zu erhalten, wird die gefundene NaCl- Lösung mit destilliertem Wasser verdünnt. Welche Menge an destilliertem Wasser wird benötigt? a 800 ml b 900 ml c 1000 ml d 1100 ml X1200 ml Mischverhältnis: 14 Teile vad 21 Teile dest. H₂O gesucht: Volumen H₂0: →volumenanteil Flüssigkeit 2 21 3 2000 ml = 21 + 14 2+3 • 2000 ml = V(H₂0) > geringere c V (Mischung) Überprüfung D (1100.0%) + (900-35%) 2000 ml = Bearbeitungsschritte: 6/W Mischungsbrcuz Konzentration Naci Lager (Flüssigkeit 1) 35% 2 Teile vad 33 Konzentration (Flüssigkeit 2) 06 Teile dest. H₂O · 2000 = 14% 15,8% > 14% → Lösung E muss samit die Richtige sein 6003 5 : Konzentration (Zielflüssigkeit) 14% destilliertes Wasser 2. Möglichkeit durch Annäherung Mischt man zwei Flüssigkeit mit unterschiedlicher Konzentration, so kann die der Zielmischung nur zwischen den verwendeten Konzentrationen liegen. probieran: 1:1 Mischung: 17,5% • Lösung A,B,C ausschließen Anteil Flüssigkeit 1 114-01-14 → Mischuerhältnis 2/3 12000 1200ml 10 Anteil Flüssigkeit 2 135-141-21 der 35% NOCI und dest. Wasser Nur geeignet für private Nutzung. Ein Weiterverkauf ist verboten. Funktionen: → Unterstufen- Niveau → keine kurbandisskusion / Integrate Bearbeitungsstrategie: konstant Markieren in der Angabe Frage davor lesen, Werte danach markieren Funktion ersten Grades Steigung hat festen Wert, Y-Achsenabschnitt gegeben (1.) lineare Funktionen f(x) = =mx+n d 880 Megabyte e 960 Megabyte Art der Steigung variabel Funktion zweiten Grades Steigung ist prozentual zum Grundwert, Grundwert ändert sich im Laufe der Zeit Y-Achsenabschnitt -Steigung Beisplelaufgabe: Das Antivirenprogramm der Firma Microhard kann pro Sekunde 1250 Dateien auf ungewünschte Datenstrukturen überprüfen. Zusätzlich bietet es die Funktion an, die Festplatte vor der Überprüfung zu analysieren. Dieser Vorgang dauert 2 Minu- ten und ermöglicht es dem Programm, danach doppelt so schnell zu arbeiten. Vorausgesetzt 1000 Dateien haben eine Größe von 2,4 Megabyte, wie voll muss eine Festplatte sein, dass man sich durch die Zusatzfunktion des Programms Zeit spart? a 640 Megabyte X720 Megabyte c 800 Megabyte gleichsetzen, ab wann es sich lohnt 1250x+ 150 000 = 2500× 150 000 1250x X = 150 000 1250 Nur geeignet für private Nutzung. Ein Weiterverkauf ist verboten. 15 000 12.5 Dateinanzahl: x= 120 einsetzen Dateinanzahl normal 1250x + 120 (sek.)· 1250 = 1250x + 150 000 Dateinanzahl zusatz: 2500 x = 15000 125 = 120 125 06 1250 120+ 150 000 = 300 COG Finden Sie einen Lösungsweg Maximal 3 Schritte Dateigröße Rechnung der Aufgabe f(x)=mx+t Bei mehreren Gleichungen muss oft- mals gleichgesetzt werden. • Arbeiten Sie mit den Differenzen zwischen den Y-Achsenabschnitten der Funktionen. Skizzen sind gut zur Orientierung. Beispiele hierfür sind: • Handykosten pro Minute + fester monatlicher Grundbetrag • Kalorienverbrauch pro Trainingseinheit + Grundumsatz des Körpers • Provision pro Vertragsabschluss + festes Einkommen aus zweitem Beruf • Wertzunahme pro eingenommenem Medikament + Grundwert des Körpers Prozess nachvollziehen Verdopplungen/Halbierungen direkt nein nachzählen und Lösung ableiten ja 2 MID später a=0,5 oder 2 t gesucht Rechnung der Aufgabe f(x)=Grundwert at Berechnen Sie einen Ersatzwert für at und setzen Sie diesen in die Gleichung ein. Rechenregeln der Potenzen hier be- sonders beachten. Skizzen erfüllen keinen Sinn. Hat das Programm mit der Zusatzfunktionen genauso viele Dateien überprüft, wie sonst in 4 Minuten überprüft hätte. 300 000 1000 = 3.100.214 3 240-720 Megabyte 24 Megabyte = 300-214 (2)quadratische Funktionen f(x)= ax²+bx+c → häufig expanentielle wachstumsfuntationen und zerfälle exponentielles wachstum: zielwort= Grundwort beispielhafte verwonding: • Vermehrungsrate einer Bakterienkultur im Labor (+100% pro Zeiteinheit ⇒ 2¹) • Wertminderung eines Gegenstandes im Gebrauch (-30% pro Jahr ⇒> 0,7¹) . Minderung des Bierschaumes nach dem Einschenken -Y-Achsenalbschnitt Steigung (-50% pro Minute 0,5¹) • Wertsteigerung eines alten Weines (+13% im Jahr → 1,13¹) Beispielaufgabe: Um die Wirksamkeit eines Wirkstoffes überprüfen zu können, wurde einer er- krankten Person 10 ml Blut abgenommen und auf acht Teströhrchen verteilt. Auf 1,25 ml des Blutes konnten zu Beginn der Testreihe eine Gesamtanzahl von 6,25 103 Erreger festgestellt werden. Nach Zugabe des Wirkstoffes kann beobach- tet werden, dass die Gesamtanzahl der Erreger alle 40 Minuten um je die Hälfte sinkt. a ab 40 Minuten. bab 80 Minuten Nach wie vielen Minuten befinden sich nur mehr 6,25.102 Bakterien in einem Teströhrchen? c ab 120 Minuten ab 160 Minuten e ab 200 Minuten Annäherungsansatz: c 900 kg d 1000 kg e 1 100 kg a= 2 -> →verdopplung a = 9,5 → Halbiercing zielwart der Enrageranzahl 6,25 100 sind 10% von 6,25. 1000 Änderung der /zeit um OS Erroger 100% 50% 25% 12,5→ 6,25% 3,125% Tomin omin 3 40min Comin Beispielausgabe 2 Ein 2 Tonnen schwerer Eisblock verliert aufgrund des sich langsam ändernden Klimas jährlich 30% seiner Masse. Es ist auch nicht absehbar, dass sich dieser Trend ändern wird. Wie hoch ist nach drei Jahren noch sein Gewicht? 700 kg 800 kg Frage (abgeändert) Nach wie viel min unter 100% der Erroger? 4 Sprünge - hier ist ehe Berechnung notwendig! prozentuale veränderung Zeiteinheiten -Prozentsatz - 4.40 min = 160 min diese Annäherungs- Strategie bei Aufgaben, bei denen a-ganze zahi oder as und t gesucht wird. f(x) = 2000 kg 0,7³ = 2000 0,₁7 0,7 0₁7 = = 2000 017 05 = 2000 0,35 = 2.1000 0,35 2.350 700 bg = Nur geeignet für private Nutzung. Ein Weiterverkauf ist verboten. Proportionalität: → lösbar nach einem festen system (1.) Direkale Proportionalität Einheit A= Einheit B banst. ader Einheit A Einheit = konst ←es herrscht Quotientengleichheit → linearen zusammenhang → A erhöht/reduziert → B erhöht/reduziert → immer Multiplikation mit einem Faktor (2) indirelde Proportionalität Einheit A = konst. oder. Einheit A Einheit B = bonst Produktgleichheit Einheit B → wird Einheit A erhöht / reduziert → Einheit B umgekehrt proportional verändert Multiplication: bonstanter wert Faktor A Einheit A. Faktor B- Einheit B = konst. wenn Einheit A· Einheit B- konst Dann Faktor A Faktor B=1 → •Bei den Aufgaben in gleicher Reihenfolge wie im Aufgabentext anwenden - • deswegen bönnen wir den 2. Faller immer als kenrwart des 1. bestimmen Faktor A. ㅅ Faktor B •veränderung durch einen Faldor: Erhöhung um 50% & Multiplication mit 115 Reduzierung um 45% ↑ Multiplikation mit 955 Nur geeignet für private Nutzung. Ein Weiterverkauf ist verboten. Bearbeitungsstrategie im Überblick. A steigt, B steigt Markieren in der Angabe Fragen davor lesen, Werte danach markieren Direkte Proportionalität Einheit A konstant Einheit B Zusammenhang aufstellen Mehrere Zusammenhänge siehe Bop-Aufgabe Gesamtgleichung aufstellen Teilgleichungen aufstellen Finden Sie einen Lösungsweg Maximal 3 Schritte A steigt, B fällt Indirekte Proportionalität Einheit A Einheit B = konstant Berechnung der Aufgabe • Faktor für Einheit B ist identisch mit dem Faktor für Einheit A. • Potenzen der Faktoren berück- sichtigen. Finden Sie einen Lösungsweg Maximal 3 Schritte Potenzen der Einheiten bestimmen Potenzen der Faktoren vergleichen Gesamtgleichung zusammenfassen Umstellen für die Lösung Berechnung der Aufgabe • Faktor für Einheit B entspricht dem Kehrwert des Faktors für Einheit B. Siehe Beispielaufgabe • Potenzen der Faktoren berück- sichtigen. Nur geeignet für private Nutzung. Ein Weiterverkauf ist verboten. TIPPS TRIEKS : (1.) Kopfrechnen fördert die Fähigkeiten in diesem UT → keine Hilfsmittel erlaubt! (2) Zwischenschritte sind sehr zeitraubend und anne vutzen (3.) Nicht Ergelanis berrechnen, sondern eine der Auswahlmöglichkeiten bestätigen (4) Runden, Überschlagen, Amanerung sind vorgeserien (5.) keine Werte aus Aufgabenstellungen ab- Schreiben (6.) Locker an die Rätselsammlung rangehen (7.) Bei einer Möglichkeit eine zusätzliche variable, welche in beiner der anderan Möglichkeiten auftaucht Indikator falsche Aussage (8.) Vervierfachen 2.4 nicht vervierfache € 4 € nicht 1€ (9.) intelligentes kopfrechnen Bsp.: 120/120 20 = 1200 = 75 10 ist eine einfache Malrechnung 2er Potenz erleichtert schritturises teilen hier 600-300-150-75 Exkurs: Mitternachtsformel: Nur geeignet für private Nutzung. Ein Weiterverkauf ist verboten. Mehrere zusammenhänge Bearbeitungsschritte Ein mathematisches Gesetz mit vier Variablen weist folgende Zusammenhänge auf: I Verdoppelt man o, so verdoppelt sich auch e. II Halbiert man s, so schrumpft b auf ein Achtel seines ursprünglichen Wertes. III Verdoppelt man o, so schrumpft b auf ein Viertel seines ursprünglichen Wertes. Wie lautet das dazu passende Gesetz? a o2.e3.s=b2 Xo².b=e².s3 co-s².b=e d o.s².b=e e o2.s3.b-e2.o Bedingung 1: 1: 20=2e : Bedingung 2 = Bedingung 320 =-=4₁/18 - b +II- indirekte Proportionalität Formel aufstellen: I o=e I+II = umstellen: 1 0² = 1 e² .b : -2^ zu 2¹. 2-1 beim 2. Faktor die Einheit mit der kleinsten Änderung den größten Exponenten → s s³.e²=0².b zu (11/1=23³) - 2 zu 4=2^242² o-e erfüllt 4/= b erfüllt = .b s3=b erfüllt 1 e² I dircide Prop. gleiche Exp. I dircle Prop. unterschiedliche Exp. I indircide Prop. unterschiedliche Exp. unterschied-O • Unterschied--2- -unterschied - 1- Exponent (0) = Exp.(e) .(s) = Exp. (b) +2 Exp. · Exp. (1) = Exp. (b) + →T-O = e I = b I → nach und nach zusammensetzen, dabei müssen die Bedingungen jeweils erfüllt worden b b den ladeinster Exponenten Bearbeitungsschritte: (1.) mathematische zusammenhänge über Einheiten und Exponenten ableiten Halbiert man b, so schrumpft s auf ein Achtet diradle Proportionalität b-sb-s 2 zu 2³→ Unterschied: 2 - Exp (b) = Exp(s) +2 Verdoppelt man o, so schrumpft b auf ein Viertel indirccte Proportionalität 20= •20=42zu 2² → unterschied: 1 → Exp. (4) +1. Exp. (b) (Tu,da b bercits existiert) (a.) um diesen unterschied muss sich die Einheit selber verändern → Aquivalenz herscht (3.) Die Einheit mit der kleineren Änderung den größeren Exponenten Bedingungsb Bedingung II (²=b+0 kleiner (4.) Bedingungen in einer cesami formel zusammenfassen → proportionalitäten beachten Nur geeignet für private Nutzung. Ein Weiterverkauf ist verboten. 32 Bei einem physikalischen Gesetz mit den Variablen i, s, d und n ergeben sich folgende Zusammenhänge: Verdoppelt man i, so wird auch s verdoppelt. ● • Halbiert man d, so wird n um das Vierfache größer. • Wird s um das Vierfache größer, so wird d verdoppelt. ਮਹਰਗਾਹ inb Wenn wir die genannten Zusammenhänge miteinander in Verbindung setzen, welche der folgenden Beziehungen ist dann korrekt? a d-i²=s².n b d².i=s.n c d².j2s² -le b n d 22 p Xd².i=S e n Lösungsweg (max. 3 Schritte/20 Sekunden): 21=2s 212421 → O ->> E(i)=E(s) i=s d 1 1:2 = → 2² 24 2² → +1 → E (d) + 1 = € (₁) α² = A 2n 48= 2d = 22u 4 = 21242²³ = E(s) = E(α) + 1 s=d² 1 2 H 1 40 Berechnung der Aufgabe (max. 120 Sekunden): Formel ausammensetzen: IS I+Id=S i.d²-s Beispiele: Die Variablen b und z bilden folgende Wertepaare: 0,44 0,25 0,16 0,11 3 4 5 falsch, weil S-d² falsch, weil_²= falsch, weil S-d² falsch, weil Si falsch, weil richtig a b ist direkt proportional zu z b b ist direkt proportional zu z² c b2 ist direkt proportional zu z Wie ist die korrekte Beziehung der Variablen b und z zueinander, wenn man die Werte der Tabelle betrachtet? d bist indirekt proportional zu z bist indirekt proportional zu z² Aussage die überprüfen: d. z.b konst. e = z² b= konst. 1·2=2 22 1-4 siehe überprüfte Formel. 6 ← linearar Anstieg , aber b sinct 0₁44-3=1132 4²-0₁25=4 21,32 4= 4 d größten Exp, beinste veränderung → d bann ausgeschlossen worden → e ist richtig Nur geeignet für private Nutzung. Ein Weiterverkauf ist verboten. indircide Proportionalität : Buch S. 114 Stark Um einen Spülvorgang abzuschließen, braucht eine Spülmaschine insgesamt zwei Stunden. Durch einen weiteren Wasserzufluss, der zusätzlich aktiviert werden kann, steigt die Leistung der Maschine um 60%. Wie lange braucht die Spülmaschine bei Verwendung der Zusatzfunktion? a 65 Minuten b 70 Minuten X75 Minuten d 80 Minuten e 85 Minuten zeit & Leistung ↑ Leistung 100% = 120 min Leistung + 160% Mzusatzleistung = M Leistung 160% = MLeist.. zeit Mzusatzleistung: 120 Min. 100 = 120 160 → kenrust 160 = 120. 10 Bearbeitungsschritte: (1)indirade Proportionalität (2.) neve Gesamtleistung bestimmen neue Gesamtleistung = x%· Leistung normal = Leistung normal 1200 75 Minuten (3.) Kehrwart com Falder ($) um welchen sich die Leistung der Spülmaschiene verändert neue Zeit = A · Zeit normal Nur geeignet für private Nutzung. Ein Weiterverkauf ist verboten.