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Lineare gleichungssysteme

Einsetzungsverfahren

6.832

•

18. Nov. 2020

•

3 Seiten

Gauß-Verfahren einfach erklärt: Beispiele und Übungen für dich

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Ipadabitur

@ipadabitur

Das Gauß-Verfahrenist eine effektive Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme.... Mehr anzeigen

Mathelernzettel Q2 BAUR Lineare Gleichungssysteme Lösungen von linearen Gleichungssysteme mit dem TR ermitteln: Gauß- Algornytmus (Matrix -

Überbestimmte und unterbestimmte Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme können in verschiedenen Formen auftreten, darunter überbestimmte und unterbestimmte Systeme.

Definition:

  • Unterbestimmte Systeme haben weniger Gleichungen als Variablen.
  • Überbestimmte Systeme haben mehr Gleichungen als Variablen.

Bei unterbestimmten Systemen kann es unendlich viele Lösungen geben. In diesem Fall wird die Lösungsmenge durch Parametrisierung bestimmt.

Beispiel: Für das System 2x + y - 4z = 1 wird die Lösungsmenge {1+C,−1+2C,C1+C, -1+2C, C | C ∈ ℝ} hergeleitet.

Highlight: Eine Nullzeile in der umgeformten Matrix deutet auf unendlich viele Lösungen hin.

Der Gauß-Algorithmus kann auch bei über- und unterbestimmten Systemen angewendet werden, erfordert aber besondere Aufmerksamkeit bei der Interpretation der Ergebnisse.

Mathelernzettel Q2 BAUR Lineare Gleichungssysteme Lösungen von linearen Gleichungssysteme mit dem TR ermitteln: Gauß- Algornytmus (Matrix -

Strategie für Anwendungsaufgaben mit linearen Gleichungssystemen

Für Anwendungsaufgaben mit linearen Gleichungssystemen wird eine vierstufige Strategie empfohlen:

  1. Zielsetzung identifizieren: Bestimmen, was genau berechnet werden soll.
  2. Variablen definieren: Festlegen und notieren, wofür die Variablen stehen.

Highlight: Aussagekräftige Variablennamen wie e für Eier und m für Mehl sind hilfreich.

  1. Informationen in Gleichungen übersetzen: Jede gegebene Information in eine mathematische Gleichung fassen.

Vocabulary: Normalform - Die Standarddarstellung eines linearen Gleichungssystems, bei der alle Terme auf einer Seite und die Konstante auf der anderen Seite stehen.

  1. LGS aufstellen und lösen: Das Gleichungssystem in Normalform bringen und gegebenenfalls lösen.

Highlight: Auch wenn nur das Aufstellen des LGS verlangt wird, ist die Normalform erforderlich.

Diese Strategie hilft, komplexe Anwendungsaufgaben strukturiert anzugehen und lineare Gleichungssysteme effektiv zu nutzen.

Mathelernzettel Q2 BAUR Lineare Gleichungssysteme Lösungen von linearen Gleichungssysteme mit dem TR ermitteln: Gauß- Algornytmus (Matrix -

Gauß-Algorithmus für lineare Gleichungssysteme

Der Gauß-Algorithmus ist eine systematische Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Er verwendet die Matrix-Schreibweise und das Additionsverfahren, um die Lösungsmenge schrittweise zu ermitteln.

Definition: Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme durch schrittweise Umformung der Koeffizientenmatrix.

Der Prozess umfasst folgende Schritte:

  1. Gleichungen in Matrix-Schreibweise überführen
  2. Zeilen durch Addition kombinieren
  3. Resultierende Gleichungen von unten nach oben lösen
  4. Lösungsmenge angeben

Beispiel: Für das System 3x + 3y + 2z = 5, 2x + 4y + 3z = 4, -5x + 2y + 4z = -9 wird die Lösung x = 1, y = 2, z = -2 schrittweise hergeleitet.

Highlight: Die Matrix-Schreibweise ermöglicht eine übersichtliche Darstellung und effiziente Bearbeitung des Gleichungssystems.



Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Das Gauß-Verfahrenist eine effektive Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Es ermöglicht die systematische Umformung von Gleichungssystemen in Stufenform, um Variablen schrittweise zu eliminieren und die Lösungsmenge zu bestimmen. Der Prozess umfasst die Umwandlung in Matrixform, Zeilenoperationen und die Rückwärtssubstitution.... Mehr anzeigen

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Überbestimmte und unterbestimmte Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme können in verschiedenen Formen auftreten, darunter überbestimmte und unterbestimmte Systeme.

Definition:

  • Unterbestimmte Systeme haben weniger Gleichungen als Variablen.
  • Überbestimmte Systeme haben mehr Gleichungen als Variablen.

Bei unterbestimmten Systemen kann es unendlich viele Lösungen geben. In diesem Fall wird die Lösungsmenge durch Parametrisierung bestimmt.

Beispiel: Für das System 2x + y - 4z = 1 wird die Lösungsmenge {1+C,−1+2C,C1+C, -1+2C, C | C ∈ ℝ} hergeleitet.

Highlight: Eine Nullzeile in der umgeformten Matrix deutet auf unendlich viele Lösungen hin.

Der Gauß-Algorithmus kann auch bei über- und unterbestimmten Systemen angewendet werden, erfordert aber besondere Aufmerksamkeit bei der Interpretation der Ergebnisse.

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Strategie für Anwendungsaufgaben mit linearen Gleichungssystemen

Für Anwendungsaufgaben mit linearen Gleichungssystemen wird eine vierstufige Strategie empfohlen:

  1. Zielsetzung identifizieren: Bestimmen, was genau berechnet werden soll.
  2. Variablen definieren: Festlegen und notieren, wofür die Variablen stehen.

Highlight: Aussagekräftige Variablennamen wie e für Eier und m für Mehl sind hilfreich.

  1. Informationen in Gleichungen übersetzen: Jede gegebene Information in eine mathematische Gleichung fassen.

Vocabulary: Normalform - Die Standarddarstellung eines linearen Gleichungssystems, bei der alle Terme auf einer Seite und die Konstante auf der anderen Seite stehen.

  1. LGS aufstellen und lösen: Das Gleichungssystem in Normalform bringen und gegebenenfalls lösen.

Highlight: Auch wenn nur das Aufstellen des LGS verlangt wird, ist die Normalform erforderlich.

Diese Strategie hilft, komplexe Anwendungsaufgaben strukturiert anzugehen und lineare Gleichungssysteme effektiv zu nutzen.

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Gauß-Algorithmus für lineare Gleichungssysteme

Der Gauß-Algorithmus ist eine systematische Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Er verwendet die Matrix-Schreibweise und das Additionsverfahren, um die Lösungsmenge schrittweise zu ermitteln.

Definition: Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme durch schrittweise Umformung der Koeffizientenmatrix.

Der Prozess umfasst folgende Schritte:

  1. Gleichungen in Matrix-Schreibweise überführen
  2. Zeilen durch Addition kombinieren
  3. Resultierende Gleichungen von unten nach oben lösen
  4. Lösungsmenge angeben

Beispiel: Für das System 3x + 3y + 2z = 5, 2x + 4y + 3z = 4, -5x + 2y + 4z = -9 wird die Lösung x = 1, y = 2, z = -2 schrittweise hergeleitet.

Highlight: Die Matrix-Schreibweise ermöglicht eine übersichtliche Darstellung und effiziente Bearbeitung des Gleichungssystems.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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