Mathematik Lernzettel Funktionen

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Tiefpunkt der höchste bzw. tiefste funkt der Funktion ist handelt sich um globale Extreme und wenn es noch höhere/tiefere funkte gibt, handelt es sich um lokale Extreme. $$ # Wendepunkte Eine Stelle x, bei der der Graph von f von einer Links- in eine Rechtskrümmung, oder umgekehrt, übergeht,nennt man Wendestelle der zugehörige Punkt (W(x)/(x)) nennt sich Wendepunkt Bestimmung von Wendestellen: Notw. Bed: f(x)=0 Lösen der Gleichungen f'(x)=0 nach x auf, um mögliche Wendestellen. zu finden. Hinr. Bed: i) wenn f(x)=0 und f(x)=0 ist, dann ist x, eine Wendestelle ii) Wenn f'(x)=0 und f(x)z0 ist, dann wenden wir das VZW mit f' an. (Hier kann jetzt festgestellt werden, ob sogar ein Sattelpunkt vorliegt) Beispiel: f(x) x³ +2 f'(x)=3x² f'(x)=6 Notw. Ded: f'(x)=0 0=6x X=0 Hinr. Bed: f(x)=0 und f(x)=0 da f'(x)z6 ist,gilt f'"(0)=6 und somit liegt an der Stelle x,-0 eine Wendestelle. Wendepunkt f(0)=2 ->W (0/2) Extremwertaufgaben Funktion: Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen werden dann verwendet, wenn ein Maximum bzw. ein Minimum erreicht werden sollen (z.D: Flächeninhalt) Beispiel (Schafwiese): frage/Aufgabe: Ein Bauer hat 100m Zaun, aus denen er eine neue Eingrenzung seiner Schafwiese bauen. möchte, sein Ziel dabei ist, die Wiese, mit den 100m Zaun, so (rechteckig) einzuzäunen, dass die Schafe möglichst viel Platz haben. Wie lang müssen die Kantenlängen sein, damit die 100m Zaun möglichst viel Platz eingrenzen? Hauptbedingung: maximale Fläche Rechteck Randbedingung: 100m (Zaun) Ziel: möglichst viel Platz/ Maximalerflächeninhalt Funktion: fläche der Wiese [Diese soll möglichst viel Platz haben, daher wird der Hochpunkt benötigt (bei möglichst kleiner Fläche würde der Tiefpunkt benötigt werden)] Extremstelle: Hochpunkt der Funktion Ablauf der Rechnung: 1. Hauptbedingung aufstellen Ziel: Maximale Fläche Fläche: Rechteck (2 Kantenlängen: a&b) Hauptbedingung: A(a,b)=a-b 2. Randbedingung aufstellen Problem: nur 100m Zaun Zaun Umfang U(a,b)=a+b+a+b =2 (a+b) = 100m 3. Randbedingung unformen Es ist egal nach welcher Variable man umformt, meist nimmt man die, nach der es einfacher ist. b= 100-a=200-a 1. Variable in Hauptbedingung einsetzen Aus Schritt 3: b=200-a einsetzen: A-a-(200-a) -200a-a² =-a²+200a 5. Extremstelle Zielfunktion Zielfunktion: A(a)=-a²+200a b a Hochpunkt: Ableitung =0 A'(a)=-2a+200-0 -2a--200 a=100 A(100)=-2 6. Restlichen Variablen auflösen: Aus Schritt 3: b=200-a b=100 rekonstruieren ganzrationaler Funktionen In den naturwissenschaftlichen Disziplinen und auch bei ökonmischen Fragestellungen strebt man, die auftretenden Probleme durch berechnbare Funktionen erfassen Im einfachsten Fall wird eine funktion gesucht, die durch Eigenschaften gekennzeichnet ist. Man spricht hier von einer Rekonstruktionsaufgabe oder von einer Steckbriefaufgabe. Allgemeines Vorgehen zum Lösen von Steckbriefaufgaben: 1. Schritt: Ansatz für die Gleichung von f notieren 2. Schritt: Eigenschaften von f notieren 3. Schritt: Aufstellen eines Gleichungssystems 1. Schritt: Lösung des Gleichungssystems 5. Schritt: Funktionsgleichung notieren und überprüfen Beispiel zum Vorgehen des lösens einer Steckbriefaufgabe: 1. Schritt: f(x)=ax²+bx+c f'(x)=2ax+b 2. Schritt: (1) Nullstelle bei x=1 (2) Extremum bei x=2 (3) P(3 1-1.5) 3. Schritt: (1) 16a+1b+c=0 (II) fa+b=0 (III) Ja+3b+c=-1,5 1. Schritt: a=0,5 b=-2 (c=0 ->f(1)=0 ->f(2)=0 ->1(3)=-1,5 5. Schritt: f(x)=0,5x²-2x