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Mathematik Lernzettel Funktionen

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 Thema 1-Grundlagen
Funktionsuntersuchung
-y-achsenabschnitt:
-> Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=X=2x²+1_‚S,(0/1)
Symmetrie:
-> Achsensymm

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Jolina

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11/12/10

Lernzettel

Lernzettel mit den Themen: •Funktionsuntersuchung -Symmetrie -Transformation -Nullstellen -Krümmungsverhalten -Tangenten -Ableitungen -Wendepunkte/Sattelpunkte •Extremwertaufgaben •rekonstruktion ganzrationaler Funktionen

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Thema 1-Grundlagen Funktionsuntersuchung -y-achsenabschnitt: -> Schnittpunkt mit der y-Achse f(x)=X=2x²+1_‚S,(0/1) Symmetrie: -> Achsensymmetrie: Nur bei geraden Exponenten Formel: f(x)=f(-x) -> funktsymmetrie: Nur bei ungeraden Exponenten Formel: f(x)=-f(-x) Transformation: 1. Streckung entlang der y-Achse bei 0<a<1 gestaucht bei a1 gestreckt bei a<0 gespiegelt (an x-Achse) 2. Streckung entlang der x-Achse -> Faktor bei 0<b<1 gestreckt bei b<1 gestaucht bei b<0 Spiegelung (an y-Achse) 3. Verschiebung nach rechts/links 1. Verschiebung nach oben/unten Kluser 2 F U n k + i achsensymmetrisch zur y-achse gerade Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung ungerade Exponenten 0 n e n Nullstellen -> pq-formel: Beispiel: f(x)=x-1x+3 0=√(-3 0= 2 +√1-3 0= 2 + 1 X=1 V X=3 -> Ausklammern: die einzelnen Glieder werden durch den gemeinsamen faktor dividiert, der gemeinsame faktor wird vor die Klammer geschrieben Beispiel: 3x²+3 2y ->3 (x²+2y) -> Substitution: in einem Term werden Teile durch einen neuen Term ersetzt Beispiel: x¹-3x²+2=0 -> x² wird durch z ersetzt ↓ daher: 2²-32+2=0 da x¹=(x²)² ist wird X¹ zu z² krümmungsverhalten: f(x)<0-> rechtsgekrümmt f'(x)>0-> Linksgekrümmt -> f(x)=X³-X² f'(x)=3x²-2x f'(x)=6x-2 x=3 meist zwei verschiedene Krümmungen; Ansatz: -> 6x-2<0 -> nach x auflösen 6x-2=0 1+2 6x=2 1:6 -> für x< -> gleiches mit >0 machen Tangente an Punkt bestimmen: ->Tangente Steigung an einem Punkt 1. Funktion ist gegeben;setzte x ein 2. y=mx+n 3. funktion ableiten Beispiel: 1. x einsetzen -> m;Steigung der Tangente 5. m&x einsetzen und nach n auflösen Sattelpunkte: -> f(x)=x² f(2)=3x²-2 f(2)=10 1-10-2+n 1-20 -16=n f(x)=x³-2x für x=2 f(2)=2³-2x f(2)=8-1 f(2)=1 Sattelpunkt f'(x)=2y f'(x)=2>0 r. त S (2/1) Wenn beim VZW- Kriterium die Vorzeichen gleich bleiben (vor dem Punkt - und danach auch -) Handelt es sich um einen Sattelpunkt. y=10x-16 Ableitungsfunktion: X²(Potenz-X) (Potenz-1) Beispiel: 1(x)=x+3x²-2 f'(x)=6x³+6 f"(x)=30x¹+6 f(x)=120x³ Schnittpunkte mit der y-Achse: X wird gleich null gesetzt Beispiel: X=0 y=3x+2 y=3.0+2 y=2y P(0/2) Notwendige Bedingung: f(x)=0 VZW-Kriterium: 3 Ableitungen f (x) vor und nach der Nullstellte berechnen Erst+und dann -} HP Erst-und dann +}TP 1- Koordinate berechnen: X-Werte aus der Notwendige...

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Bedingung in die f(x) funktion einsetzen. lokal& global: Wenn der Hoch bzw Tiefpunkt der höchste bzw tiefste Punkt der Funktion ist handelt sich um globale Extreme und wenn es noch höhere/tiefere funkte gibt, handelt es sich um Lokale Extreme. Å → Wendepunkte Eine Stelle x, bei der der Graph von f von einer Links- in eine Rechtskrümmung, oder umgekehrt, übergeht,nennt man Wendestelle der zugehörige Funkt (W(x)/(x)) nennt sich Wendepunkt Bestimmung von Wendestellen: Notw. Bed: f'(x)=0| Lösen der Gleichungen f''(x)=0 nach x auf, um mögliche Wendestellen. zu finden. Hinr. Bed: i) wenn f '(x)=0 und f''(x)=0 ist, dann ist x eine Wendestelle ii) Wenn f''(x)=0 und f``'(x)=0 ist, dann wenden wir das VZW mit f' an. (Hier kann jetzt festgestellt werden, ob sogar ein Sattelpunkt vorliegt) Beispiel: f(x) X³ +2 f'(x)=3x² 1₁'(x)=0 Notw. Bed: f'(x)=0 0=6x X=0 Hinr. Bed: f(x)=0 und f(x)=0 da f''(x)zo ist,gilt f'(0)=6 und somit liegt an der Stelle x₁-0 eine Wendestelle. Wendepunkt f(0)=2 ->W(0/2) Extremwertaufgaben Funktion: Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen werden dann verwendet, wenn ein Maximum bzw. ein Minimum erreicht werden sollen (z.B: Flächeninhalt) Beispiel (Schafwiese): Frage/Aufgabe: Ein Bauer hat 100m Zaun, aus denen er eine neue Eingrenzung seiner Schafwiese bauen möchte, sein Ziel dabei ist, die Wiese, mit den 100m Zaun, so (rechteckig) einzuzäunen, dass die Schafe möglichst viel Platz haben. Wie lang müssen die Kantenlängen sein, damit die 100m Zaun möglichst viel Platz eingrenzen? Hauptbedingung: maximale Fläche Rechteck Randbedingung: 100m (Zaun) Ziel: möglichst viel Platz/ Maximalerflächeninhalt Funktion: Fläche der Wiese [Diese soll möglichst viel Platz haben, daher wird der Hochpunkt benötigt (bei möglichst kleiner Fläche würde der Tiefpunkt benötigt werden)] Extremstelle: Hochpunkt der Funktion Ablauf der Rechnung: 1. Hauptbedingung aufstellen Ziel: Maximale Fläche Fläche: Rechteck (2 Kantenlängen: a&b) Hauptbedingung: A(a,b)=a.b 2. Randbedingung aufstellen Problem: nur 100m Zaun Zaun Umfang U(a,b)=a+b+a+b =2(a+b) =100m 3. Randbedingung unformen Es ist egal nach welcher Variable man umformt, meist nimmt man die, nach der es einfacher ist. b= 100-a-200-a 1. Variable in Hauptbedingung einsetzen Aus Schritt 3: b=200-a einsetzen: A=a (200-a) -200a-a² =-a²+200a 5. Extremstelle Zielfunktion Zielfunktion: A(a)=-a²+200a b a Hochpunkt: Ableitung =0 A'(a)=-2a+200-0 -2a--200 a=100 A(100)=-2 6. Restlichen Variablen auflösen: Aus Schritt 3: b=200-a b=100 rekonstruieren ganzrationaler Funktionen In den naturwissenschaftlichen Disziplinen und auch bei ökonmischen Fragestellungen strebt man, die auftretenden Probleme durch berechnbare Funktionen erfassen Im einfachsten Fall wird eine funktion gesucht, die durch Eigenschaften gekennzeichnet ist. Man spricht hier von einer Rekonstruktionsaufgabe oder von einer Steckbriefaufgabe. Allgemeines Vorgehen zum Lösen von Steckbriefaufgaben: 1. Schritt: Ansatz für die Gleichung von f notieren 2. Schritt: Eigenschaften von f notieren 3. Schritt: Aufstellen eines Gleichungssystems 1. Schritt: Lösung des Gleichungssystems 5. Schritt: Funktionsgleichung notieren und überprüfen Beispiel zum Vorgehen des lösens einer Steckbriefaufgabe: 1. Schritt: f(x)=ax²+bx+c f'(x)=2ax+b 2. Schritt: (1) Nullstelle bei x=1 (2) Extremum bei x=2 (3) P(3 1-1,5) 3. Schritt: (1) 16a+b+c=0 (II) ↑a+b=0 (III) 9a+3b+c=-1,5 1. Schritt: a=0,5 ;b=-2 ;c=0 ->f(1)=0 ->f'(2)=0 ->f(3)=-1,5 5. Schritt: f(x)=0,5x²-2x

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Bedingung in die f(x) funktion einsetzen. lokal& global: Wenn der Hoch bzw Tiefpunkt der höchste bzw tiefste Punkt der Funktion ist handelt sich um globale Extreme und wenn es noch höhere/tiefere funkte gibt, handelt es sich um Lokale Extreme. Å → Wendepunkte Eine Stelle x, bei der der Graph von f von einer Links- in eine Rechtskrümmung, oder umgekehrt, übergeht,nennt man Wendestelle der zugehörige Funkt (W(x)/(x)) nennt sich Wendepunkt Bestimmung von Wendestellen: Notw. Bed: f'(x)=0| Lösen der Gleichungen f''(x)=0 nach x auf, um mögliche Wendestellen. zu finden. Hinr. Bed: i) wenn f '(x)=0 und f''(x)=0 ist, dann ist x eine Wendestelle ii) Wenn f''(x)=0 und f``'(x)=0 ist, dann wenden wir das VZW mit f' an. (Hier kann jetzt festgestellt werden, ob sogar ein Sattelpunkt vorliegt) Beispiel: f(x) X³ +2 f'(x)=3x² 1₁'(x)=0 Notw. Bed: f'(x)=0 0=6x X=0 Hinr. Bed: f(x)=0 und f(x)=0 da f''(x)zo ist,gilt f'(0)=6 und somit liegt an der Stelle x₁-0 eine Wendestelle. Wendepunkt f(0)=2 ->W(0/2) Extremwertaufgaben Funktion: Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen werden dann verwendet, wenn ein Maximum bzw. ein Minimum erreicht werden sollen (z.B: Flächeninhalt) Beispiel (Schafwiese): Frage/Aufgabe: Ein Bauer hat 100m Zaun, aus denen er eine neue Eingrenzung seiner Schafwiese bauen möchte, sein Ziel dabei ist, die Wiese, mit den 100m Zaun, so (rechteckig) einzuzäunen, dass die Schafe möglichst viel Platz haben. Wie lang müssen die Kantenlängen sein, damit die 100m Zaun möglichst viel Platz eingrenzen? Hauptbedingung: maximale Fläche Rechteck Randbedingung: 100m (Zaun) Ziel: möglichst viel Platz/ Maximalerflächeninhalt Funktion: Fläche der Wiese [Diese soll möglichst viel Platz haben, daher wird der Hochpunkt benötigt (bei möglichst kleiner Fläche würde der Tiefpunkt benötigt werden)] Extremstelle: Hochpunkt der Funktion Ablauf der Rechnung: 1. Hauptbedingung aufstellen Ziel: Maximale Fläche Fläche: Rechteck (2 Kantenlängen: a&b) Hauptbedingung: A(a,b)=a.b 2. Randbedingung aufstellen Problem: nur 100m Zaun Zaun Umfang U(a,b)=a+b+a+b =2(a+b) =100m 3. Randbedingung unformen Es ist egal nach welcher Variable man umformt, meist nimmt man die, nach der es einfacher ist. b= 100-a-200-a 1. Variable in Hauptbedingung einsetzen Aus Schritt 3: b=200-a einsetzen: A=a (200-a) -200a-a² =-a²+200a 5. Extremstelle Zielfunktion Zielfunktion: A(a)=-a²+200a b a Hochpunkt: Ableitung =0 A'(a)=-2a+200-0 -2a--200 a=100 A(100)=-2 6. Restlichen Variablen auflösen: Aus Schritt 3: b=200-a b=100 rekonstruieren ganzrationaler Funktionen In den naturwissenschaftlichen Disziplinen und auch bei ökonmischen Fragestellungen strebt man, die auftretenden Probleme durch berechnbare Funktionen erfassen Im einfachsten Fall wird eine funktion gesucht, die durch Eigenschaften gekennzeichnet ist. Man spricht hier von einer Rekonstruktionsaufgabe oder von einer Steckbriefaufgabe. Allgemeines Vorgehen zum Lösen von Steckbriefaufgaben: 1. Schritt: Ansatz für die Gleichung von f notieren 2. Schritt: Eigenschaften von f notieren 3. Schritt: Aufstellen eines Gleichungssystems 1. Schritt: Lösung des Gleichungssystems 5. Schritt: Funktionsgleichung notieren und überprüfen Beispiel zum Vorgehen des lösens einer Steckbriefaufgabe: 1. Schritt: f(x)=ax²+bx+c f'(x)=2ax+b 2. Schritt: (1) Nullstelle bei x=1 (2) Extremum bei x=2 (3) P(3 1-1,5) 3. Schritt: (1) 16a+b+c=0 (II) ↑a+b=0 (III) 9a+3b+c=-1,5 1. Schritt: a=0,5 ;b=-2 ;c=0 ->f(1)=0 ->f'(2)=0 ->f(3)=-1,5 5. Schritt: f(x)=0,5x²-2x