Extremwertaufgaben
Extremwertaufgaben sind praktische Anwendungen der Differentialrechnung, bei denen du maximale oder minimale Werte unter bestimmten Bedingungen finden musst.
Funktion von Extremwertaufgaben:
Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen werden verwendet, wenn ein Maximum oder Minimum erreicht werden soll (z.B. Flächeninhalt, Volumen, Kosten).
Vorgehensweise am Beispiel "Schafwiese":
Aufgabe: Ein Bauer hat 100m Zaun und möchte eine rechteckige Schafwiese mit maximaler Fläche einzäunen.
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Hauptbedingung aufstellen:
- Ziel: Maximale Fläche
- Fläche: A(a,b) = a·b (Rechteck mit Seiten a und b)
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Randbedingung aufstellen:
- Problem: nur 100m Zaun verfügbar
- Umfang: U(a,b) = 2(a+b) = 100m
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Randbedingung umformen:
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Variable in Hauptbedingung einsetzen:
- A(a) = a·(50-a) = 50a - a²
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Extremstelle der Zielfunktion bestimmen:
- A'(a) = 50 - 2a = 0
- a = 25
- Überprüfung: A''(a) = -2 < 0 → Maximum
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Restliche Variablen auflösen:
Extremwertaufgaben Differentialrechnung: Bei Extremwertaufgaben suchst du nach Maxima oder Minima einer Funktion unter gegebenen Nebenbedingungen. Die Differentialrechnung liefert dir die mathematischen Werkzeuge, um diese Optimierungsprobleme zu lösen.
Typische Schritte bei Extremwertaufgaben:
- Aufstellen der Zielfunktion (Hauptbedingung)
- Formulieren der Nebenbedingungen
- Eliminieren einer Variablen durch Einsetzen
- Ableiten und Nullstellen finden
- Prüfen, ob Maximum oder Minimum vorliegt
Extremwertaufgaben mit Lösungen PDF bieten dir weitere Beispiele und Übungsmöglichkeiten, um diese wichtige Anwendung der Differentialrechnung zu vertiefen.