Grundlagen und Funktionstypen

Funktionstypen sind deine Werkzeugkiste für die Analysis. Jeder Typ hat seine eigenen Regeln und Eigenschaften, die du dir merken solltest.

Lineare Funktionen $y = mx + c$ sind die einfachsten - konstante Steigung, gerader Verlauf. Quadratische Funktionen bilden Parabeln und haben genau einen Extrempunkt. Potenzfunktionen (wie x², x³) zeigen dir unterschiedliches Symmetrieverhalten.

Exponentialfunktionen wachsen explosionsartig und sind überall in der Natur zu finden. Trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan) schwingen periodisch und beschreiben Wellen oder Kreisbewegungen.

Tipp: Die Funktionstypen bestimmen schon mal 50% deiner Lösungsstrategie - erkenne sie schnell!

Beispiele für Stammfunktionen

Hier siehst du konkrete Stammfunktionen in Aktion. Bei f(x) = $2-x$² wird die Stammfunktion F(x) = ⅓$2-x$³ + C - das C ist immer wichtig!

Für Exponentialfunktionen wie g(x) = 3e^(2x) bekommst du F(x) = (3/2)e^(2x) + C. Der Faktor ändert sich wegen der Kettenregel.

Trigonometrische Gleichungen löst du oft mit Umkehrfunktionen. Wenn sin(x) = 0,9 ist, dann findest du x mit x = sin⁻¹(0,9).

Merksatz: Beim Integrieren verketteter Funktionen musst du durch die Ableitung der inneren Funktion teilen!

Trigonometrie und Spezialfunktionen

Trigonometrie basiert auf dem rechtwinkligen Dreieck. sin(α) = Gegenkathete/Hypotenuse, cos(α) = Ankathete/Hypotenuse, tan(α) = Gegenkathete/Ankathete.

Bogenmaß ist in der Analysis Standard. 360° = 2π, 180° = π, 90° = π/2. Diese Umrechnung brauchst du ständig.

Exponentialfunktionen $e^x, e^(-x)$ haben besondere Eigenschaften: e^x wächst schneller als jede Potenz, e^$-x$ fällt schnell gegen null. Das Grenzverhalten ist entscheidend für Kurvendiskussionen.

Praxis-Tipp: Lerne die wichtigsten Winkel (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) und ihre Bogenmaß-Werte auswendig!

Differenzialrechnung - Ableitungen verstehen

Der Differenzenquotient $f(x)-f(a)$/$x-a$ gibt dir die mittlere Änderungsrate - also die Steigung der Sekante. Lässt du x gegen a gehen, bekommst du die momentane Änderungsrate.

Ableitungsregeln sind dein Handwerkszeug: Potenzregel f(x) = x^r → f'(x) = r·x^$r-1$, Summenregel $u+v$' = u'+v', Faktorregel (c·u)' = c·u'.

Die Produktregel (u·v)' = u'·v + u·v' und Kettenregel (u(v(x)))' = u'(v(x))·v'(x) brauchst du für komplexere Funktionen.

Tangentengleichung: y = f'(a)·$x-a$ + f(a). Die Normalengleichung hat die Steigung -1/f'(a).

Übungsgeheimnis: Mach täglich 5 Ableitungen verschiedener Typen - dann läuft's automatisch!

Kurvendiskussion - Funktionen analysieren

Globalverhalten untersuchst du mit Grenzwerten. Bei x → +∞ oder x → -∞ schaue, was mit der Funktion passiert. Exponentialfunktionen dominieren immer über Potenzen!

Symmetrie erkennst du schnell: f$-x$ = f(x) bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, f$-x$ = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung.

Extremstellen findest du mit f'(x) = 0 (notwendige Bedingung) und f''(x) ≠ 0 (hinreichende Bedingung). f''(x) > 0 = Tiefpunkt, f''(x) < 0 = Hochpunkt.

Wendepunkte: f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0. Hier ändert sich das Krümmungsverhalten. Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn gleichzeitig f'(x) = 0 und f''(x) = 0.

Strategietipp: Arbeite systematisch: Ableitungen → Nullstellen → Vorzeichen prüfen → Punkte berechnen!

Monotonie und Krümmungsverhalten

Der Monotoniesatz ist fundamental: f'(x) > 0 bedeutet streng monoton wachsend, f'(x) < 0 bedeutet streng monoton fallend. Aber Achtung - die Umkehrung gilt nicht immer!

Krümmungsverhalten erkennst du an f''(x): f''(x) > 0 = Linkskrümmung (wie ein Lächeln), f''(x) < 0 = Rechtskrümmung (wie ein Frowny).

Extremstellen haben zwei Nachweismethoden: Entweder Vorzeichenwechsel von f'(x) prüfen oder das hinreichende Kriterium mit f''(x) verwenden.

Wichtige Verbindung: Extremstelle von f = Nullstelle von f'(x), Wendestelle von f = Extremstelle von f'(x).

Visualisierungshilfe: Stelle dir vor, du fährst auf der Kurve - wo bremst du (Extrema), wo lenkst du um (Wendepunkte)?

Wendepunkte und Sattelpunkte

Wendestellen sind Extremstellen der ersten Ableitung. Du findest sie mit f''(x) = 0 und checkst den Vorzeichenwechsel von f'' oder verwendest f'''(x) ≠ 0.

Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt mit waagerechter Tangente - hier gilt gleichzeitig f'(x) = 0 und f''(x) = 0.

Das Beispiel f(x) = x$x-3$² zeigt das Vorgehen: Erst f'(x) = $x-3$$3x-3$ = 0 lösen, dann mit f''(x) = 6x-12 prüfen. Du bekommst einen Hochpunkt H(1|4) und Tiefpunkt T(3|0).

Wendepunkt findest du bei f''(2) = 0, also W(2|2).

Rechentrick: Bei verketteten Funktionen wie $x-3$² immer die Kettenregel im Kopf behalten!

Integralrechnung - Grundlagen

Die lineare Substitutionsregel hilft bei verketteten Funktionen: Für f(x) = u$mx+c$^n ist F(x) = $1/m$·U$mx+c$, wobei U die Stammfunktion von u ist.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Ableiten und Integrieren: ∫$a bis b$ f(x)dx = F(b) - F(a), geschrieben als $F(x)$ᵇₐ.

Orientierter Flächeninhalt bedeutet: Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, unterhalb negativ. Das ist wichtig für Gesamtänderungen.

Bei Stammfunktionen musst du oft an Anfangswerte anpassen - daher die Konstante C.

Integration-Hack: Prüfe deine Stammfunktion immer durch Ableiten - dann siehst du sofort, ob's stimmt!

Flächenberechnung zwischen Kurven

Flächeninhalt ist immer positiv! Bei Graphen unter der x-Achse nimmst du den Betrag des Integrals: A = |∫f(x)dx|.

Liegt der Graph teils über, teils unter der x-Achse, teilst du in Teilflächen auf. Erst Nullstellen finden, dann jedes Teilintervall separat berechnen.

Fläche zwischen zwei Funktionen: A = ∫$f(x) - g(x)$dx, wobei f(x) ≥ g(x). Schneiden sich die Graphen, wieder in Teilintervalle aufteilen.

Das Beispiel zeigt: f(x) = x² - 2x über $-1;3$ ergibt Teilflächen 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4. Bei zwei Funktionen: Schnittstellen suchen, dann $f-g$ integrieren.

Flächentrick: Skizziere immer zuerst - dann siehst du sofort, wo geteilt werden muss!

Flächenberechnung - Vertiefung und Zusammenhänge

Flächen zwischen Graphen berechnest du mit A = ∫$f(x) - g(x)$dx. Wichtig: Es ist egal, ob beide Funktionen über oder unter der x-Achse liegen.

Systematisches Vorgehen: 1. Schnittstellen bestimmen, 2. Integrale über Teilintervalle berechnen, 3. Beträge der Integrale addieren.

Zusammenhang zwischen f und F: Nullstellen von f werden zu Extremstellen von F. Extremstellen von f (mit Vorzeichenwechsel) werden zu Wendestellen von F.

Das Beispiel mit f(x) = x² + x - 1 und g(x) = 2x + 1 zeigt: Schnittstellen bei x = -1 und x = 2, dann ∫$-1 bis 2$$x² - x - 2$dx berechnen. Ergebnis: A = 9/2 = 4,5.

Endspurt-Tipp: In Klausuren oft zuerst skizzieren, dann rechnen - spart Zeit und Fehler!