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Newton-Verfahren
13.1.2021
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NEWTON- VERFAHREN Von: Abdul - C Gliederung O o Isaac Newton • Allgemein zum Verfahren Herleitung der Formel des Newton-Verfahrens Anwendung des Verfahrens O O Einführung ins Thema O Voraussetzungen zur Anwendung des Newton-Verfahrens • Schnittpunkt zweier Funktionen Trigonometrische Funktion O 。 Quellen 2 Einführung ins Thema O f(x) = 0 abc -Formel oder pQ -Formel Satz von Nullprodukt Substitution und Rücksubstitution Auflösen nach der Variablen quadratische Ergänzung • Was wäre wenn wir diese Lösungsverfahren nicht anwenden können? o Newton-Verfahren Isaac Newton > Er lebte von 1643 -1727 und war ein englischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Alchemist, Philosoph und Verwaltungsbeamter > Entdeckungen in der Mathematik Er bewies, dass es für sämtliche reellen Zahlen (also auch negative und Brüche) gültig ist. O O verallgemeinerte Formulierung des Binomischen Theorems mit Hilfe von unendlichen Reihen Newton-Raphson-Verfahren • 3x = 3x 4x³ ,,Methods Fluxion um et serierum infinitarum“ o x³ -2x -50 O O = xn Xn+1 - Allgemein zum Verfahren f (xn) f'(xn) Herleitung der Formel des Newton- Verfahrens 1. 2. t(x) = 0 3. 4. 5. t(x) = f'(xo) (x₁ − xo) + f(xo) 6. 0= f'(x0)(x₁ - x0) + f(x₁) f'(x₁)(x₁ - x0) = -f(xo) f(xo) f'(xo) 1 +xo Xì - xo =- X1 = xo f(xo) f'(xo) | -f(xo) |: f'(x0) 001 -0.006 --001 -0.00 -0.005 4.000 4.415 4625 x : 1 2 3 st 4 LO 5 f(x): 0.45 0.5071067811865 0.4160254037844 0.2 -0.1319660112501 4.706 Anwendung des Verfahrens 1 20 Bestimme die Nullstelle der Funktion f (x)=√x + dem Newton-Verfahren auf zwei Nachkommastellen genau. Dafür wird die Ableitung gebildet f'(x): ƒ (x₁ = 4) = 1/2 √4 - 12/1010 f'(x = 4) = x₁ = 4 1 4√4 = 1 4√√x = -(20)² = 0,2 0,1x 4,727 · 0,1(4) = −0,275 0,2 -0,275 1 4,727 4,648 4,641 2 3 -x² mit n 0 xn 4 f(xn) 0,2 -0,031 -0,002 f'(xn) -0,275 -0,358 -0,349 Voraussetzungen zur Anwendung des Newton-Verfahrens ➤Fall 1 Man wählt einen x-Wert als Startwert (oder man gelangt im Verlauf der Iteration...
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zu einem x-Wert), an dem die Ableitung nicht definiert ist. Bsp.:f(x) = x³ − 3x² + 3x + 1 Startwert = 1 X -1 1 f(x) -6 2 f'(x) = 3x² - 6x +3 f'(1) = 0 -4 6 4 N f(x)=x²-3x²+3x+1 X f(x) Voraussetzungen zur Anwendung des Newton-Verfahrens ➤Fall 2 Man gelangt in einem Zyklus. Bsp.: f(x) = x³ 3x²+x+3 Startwert 1 23 n = -1 1 -2 2 - f'(x) = 3x² - 6x +1 1 Xn 1 2 1 Xn+1 = Xn = 2 1 N 2 f xn f' xn 0 f(x)=x²-3x²+x+3 4 Voraussetzungen zur Anwendung des Newton-Verfahrens ► Fall 3 Der nächste Näherungswert Xn+1 liegt außerhalb des Definitionsbereiches der Funktion bzw. ihrer Ableitung. 1 Bsp.: f(x) = ln(x)= f'(x) = ²/ X • Startwert = 2 n 1 2 3 4 Xn 2 0,6137 0,9133 1,0000 Xn+1 = Xn- f xn f' xn ~0,6137 0,9133 0,9961 1,0000 Startwert x₁=2 0 0 f(x)=bu(x) Startwert x₁ =3 f(x)=bu(x) Voraussetzungen zur Anwendung des Newton-Verfahrens ➤Fall 4 Man entfernt sich bei der Iteration von der Nullstelle. Bps.: f(x) = xe ƒ'(x) = e¯×(1 − x) X -1 2 Startwert = 2 f(x) -2,718 0,271 n 1 -X 234 Xn 2 4 5,333 6,564 Xn+1 = Xn f xn f' xn 4 ≈ 5,333 ≈6,564 ≈ 7,744 Startwert x₁=2 2 f(x)=x.ex Startwert x₁ = 0,5 OP f(x)=x.ex OSZKIM Wiederholungsübungen zu Exponentialfunktionen Aufgabe 1: Eine Fläche ist zu Beginn der Baggerarbeiten 800 m² groß. Jede Woche schaffen die Bagger 550 m² neue Fläche dazu. Eine Blume vermehrt auf dieser Fläche exponentiell. Zu Beginn ist die Fläche zu 80 m² mit Blumen bedeckt. Jede Woche verdoppelt sich die mit Blumen bedeckte Fläche. Nach wie vielen Wochen hat die Blume die Fläche bedeckt? X ... 1 2 3 4 Berufliches Gymnasium - Mathematik 5 6 f(x) 1190 1580 1810 1720 990 -1020 Schnittpunkt zweier Funktionen f(x) = 550x + 800 gx = 80.2* = f (x) n f (x) = g x 550x + 800 = 80.2* - = 550x + 800 - 80 · 2* = 0 xn f'(x) 550 80 ln (2) · 2x 0 5,6 -0,2344102 67 f(xn) f'(xn) -2189,5735 41388 1 5,59989 0,00093154 4 -2189,3684 79471 2 5.59989 1.6E-5 1.4E-5 1.2E-5 1E-5 8E-6 6E-6 4E-6 2E-6 5.5998565.5998585.59986 5.5998625.5998645.5998665.599868 5.59987 5.5998725.5998745.5998765.5998785.59988 5.5998825.5998845.5998865.599888 5.59989 5.5998925.5998945.5998965.599898 5.5999 5.5999025.5999045.5999065.599908 5.59991 5.5999125.5999145.5999165.599918 5.59992 5.5999225.5999245.5999 -2E-6 -4E-6 -6E-6 -8E-6 -1E-5 -1.2E-5 -1.4E-5 f -1.6E-5 f(x)=cos(x) - x³. f'(x)=sin(x) -3x². x 0 1 2 Trigonometrische Funktion 3 f(x): 1 -0.4596976941319 -8.4161468365471 Startwert = 0.5 -27.9899924966004 O = 0,5 – O x₁ = O ƒ(0,5) ƒ'(0,5) = O ° X₂ = 1,11211416 – ƒ(1,11211416) f'(1,11211416) x3=0,8672638... ° x₁ =0,8654771. x5 =0,8654740... • NST( 0,8654740/0) 1,11211416.. -0,9967269... Aufgabe: Newtonverfahren mit je zwei Iterationsschritten. a. Berechne näherungsweise die Nullstelle der Funktion f(x) = 2 ln(8x² - 1) mit xo 0,75. b. Berechne näherungsweise die Schnittstelle der beiden Funktionen f(x) = ln(x) und g(x) = ex−4 mit x = 5 = Lösung a) a. f(x) = 2ln(8x² − 1) - 77 2 8x²-1 Schritt 1: f(x) = 0 Schrit 2: x = 0,75 ƒ'(x) = ; f(xo) f'(xo) Schritt 3: x₁ = 0,3846 X1 = Xo- - 16x = x2 = x1 32x 8x²-1 = = 0/75- f(x₁) f'(x₁) f(0,75) f'(0,75) = 0,3846 Die tatsächliche Nullstelle liegt bei 0,5" ≈ 0,3846 f(0,3486) f'(0,3486) ≈ 0,4352 1.5 1 0.5 0 -0.5 05 1.5 Lösung b) O Funktionen gleichsetzen und nach O umstellen In(x) = = ex-4 -ex - 4 In(x) — ex-4 = 0 Ableitung davon 1 X ex-4 Schritt 1: Xo = 5 f (5) X₁ = 5- f'(5) Schritt 2: x₁ = 4,5597 = = 4,5597 x₂ = = 4,5597 — f(4,5597) f'(4,5597) ≈ 4,4076 3.5 3 2.5 2 1.5 1 3 3.5 4 4.5 5 5.5 Quellen O O O O O 。。。 O O O aus dem Internet http://www.mathe-fa.de/de http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren http://mathenexus.zum.de/html/analysis/numerische_verfahren/weiterfuehrendes/Newton-Geschichte-Verfahren.htm http://numerik.uni-hd.de/~lehre/SS12/numerik0/gesamt.pdf http://sneaker.cfg-hockenheim.de/referate/inhalt/mathe/nullstellen.pdf http://www.mia.uni-saarland.de/Teaching/MFI1011/kap58.pdf http://www.dieterheidorn.de/Mathematik/RP_Analysis1/KO_Funktionsuntersuchung_Fortsetzung/K02_Nullstellen/Nullstellen.html http://www.youtube.com/watch?v=4fYm_7VP1ms http://www.youtube.com/watch?v=rcskl4s7cbM http://www.plenz.com/tmp/pdf/newton.pdf • http://www.pg.bc.bw.schule.de/neu/extern/gtr_html1/newton.html Quellen o Literaturverzeichnis • Schulbuch: Mathematik für berufliche Gymnasien Schuppar, Berthold: Elementare Numerische Mathematik, 1981 Dortmund - Vieweg Verlag, ISBN:3-528-06984-8 O H.Hermann: Numerische Mathematik, 2001 München Oldenburg Verlag, VIELEN DANK!