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Newton verfahren

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Einfach erklärt: Newton-Verfahren mit Beispielen und Lösungen

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Das Newton-Verfahrenist eine mächtige Methode zur numerischen Approximation von... Mehr anzeigen

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NEWTON- VERFAHREN Von: Abdul - C Gliederung O o Isaac Newton • Allgemein zum Verfahren Herleitung der Formel des Newton-Verfahrens Anwendung

Newton-Verfahren - Grundlagen

Das Newton-Verfahren auchNewton−Raphson−Methodegenanntauch Newton-Raphson-Methode genannt ist ein Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen komplexer Funktionen. Du brauchst es immer dann, wenn klassische Verfahren wie die abc-Formel, der Satz vom Nullprodukt oder Substitution nicht anwendbar sind.

Die zentrale Formel des Verfahrens lautet: x_{n+1} = x_n - fxnx_n/f'xnx_n. Du startest mit einem Näherungswert und bekommst durch wiederholtes Anwenden dieser Formel immer genauere Approximationen der Nullstelle.

Der Algorithmus funktioniert durch geometrische Annäherung: An deinem aktuellen Punkt wird die Tangente der Funktion berechnet und deren Schnittpunkt mit der x-Achse als nächste Näherung verwendet.

🔍 Merke: Das Newton-Verfahren ist besonders effizient, da es in vielen Fällen quadratisch konvergiert - das bedeutet, die Anzahl der korrekten Dezimalstellen verdoppelt sich mit jeder Iteration!

NEWTON- VERFAHREN Von: Abdul - C Gliederung O o Isaac Newton • Allgemein zum Verfahren Herleitung der Formel des Newton-Verfahrens Anwendung

Herleitung des Newton-Verfahrens

Die Herleitung des Newton-Verfahrens basiert auf einer einfachen geometrischen Idee. Wir approximieren unsere Funktion an einem Punkt x₀ durch ihre Tangente. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse wird als nächster Näherungswert x₁ verwendet.

Mathematisch lässt sich das so ausdrücken:

  1. Die Tangentengleichung lautet: tx0x₀ = f'x0x₀x1−x0x₁ - x₀ + f(x₀)
  2. Da wir den Schnittpunkt mit der x-Achse suchen, setzen wir tx0x₀ = 0
  3. Nach Umformen erhalten wir: x₁ = x₀ - f(x₀)/f'(x₀)

Diese Formel kannst du nun wiederholt anwenden: x₁ wird zu deinem neuen Ausgangspunkt und du berechnest x₂, dann x₃ und so weiter. Die Folge konvergiert unter bestimmten Voraussetzungen gegen die gesuchte Nullstelle.

💡 Tipp: Die Konvergenz des Newton-Verfahrens hängt stark von deinem Startwert ab. Wähle deinen Startwert wenn möglich in der Nähe der vermuteten Nullstelle!

NEWTON- VERFAHREN Von: Abdul - C Gliederung O o Isaac Newton • Allgemein zum Verfahren Herleitung der Formel des Newton-Verfahrens Anwendung

Anwendung des Verfahrens - Beispiel

Schauen wir uns ein Newton Raphson Verfahren Beispiel an: Bestimme die Nullstelle der Funktion fxx = ½√x + 1/20x² auf zwei Nachkommastellen genau.

Zuerst benötigst du die Ableitung: f'xx = 1/4√x4√x - 0,1x. Dann wählst du einen Startwert, z.B. x₀ = 4, und wendest das Verfahren an:

  • f44 = 0,2 und f'44 = -0,275
  • x₁ = 4 - 0,2/−0,275-0,275 = 4,727
  • f4,7274,727 ≈ -0,031 und f'4,7274,727 ≈ -0,358
  • x₂ = 4,727 - −0,031-0,031/−0,358-0,358 = 4,648

Du wiederholst dieses Vorgehen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Nach drei Iterationen erhältst du x₃ = 4,641, was bereits auf zwei Nachkommastellen genau ist.

⚠️ Achtung: Verfolge immer die Entwicklung der Funktionswerte. Wenn f(xₙ) sehr klein wird (nahe bei Null), hast du dich der Nullstelle ausreichend genähert.

NEWTON- VERFAHREN Von: Abdul - C Gliederung O o Isaac Newton • Allgemein zum Verfahren Herleitung der Formel des Newton-Verfahrens Anwendung

Voraussetzungen und Probleme

Für die erfolgreiche Anwendung des Newton-Verfahrens müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein. Es gibt vier typische Probleme, die auftreten können:

  1. Nullstelle der Ableitung: Wenn f'xnxₙ = 0 ist, kann der nächste Schritt nicht berechnet werden. Beispiel: Bei fxx = x³ - 3x² + 3x + 1 ist f'11 = 0, was das Verfahren scheitern lässt.

  2. Zyklische Wiederholung: Manchmal pendelt der Algorithmus zwischen mehreren Werten, ohne sich der Nullstelle zu nähern. Bei fxx = x³ - 3x² + x + 3 und Startwert 1 erhältst du immer abwechselnd die Werte 1 und 2.

  3. Definitionsbereichsprobleme: Der neue Näherungswert kann außerhalb des Definitionsbereichs liegen. Bei fxx = ln(x) musst du darauf achten, dass alle xₙ > 0 bleiben.

🛠️ Praxistipp: Ein guter Newton-Verfahren Rechner überprüft automatisch solche Probleme. Wenn du es selbst berechnest, achte besonders auf die Gültigkeit der Funktionswerte und Ableitungen bei jedem Schritt!

NEWTON- VERFAHREN Von: Abdul - C Gliederung O o Isaac Newton • Allgemein zum Verfahren Herleitung der Formel des Newton-Verfahrens Anwendung

Anwendungsbeispiele

Das Newton-Verfahren eignet sich besonders gut für praktische Anwendungen wie die Berechnung von Schnittpunkten oder die Nullstellenbestimmung bei komplexeren Funktionen.

Beispiel 1: Schnittpunkt zweier Funktionen Um den Schnittpunkt von fxx = 550x + 800 und gxx = 80 · 2ˣ zu finden, stellst du fxx = gxx auf und formst zu hxx = 550x + 800 - 80 · 2ˣ = 0 um. Mit dem Startwert x₀ = 5,6 konvergiert das Verfahren schnell zur Lösung x ≈ 5,59989.

Beispiel 2: Trigonometrische Funktionen Bei fxx = cosxx - x³ suchst du eine Nullstelle mit Startwert x₀ = 0,5. Nach wenigen Schritten erhältst du x₅ ≈ 0,8654740, was die gesuchte Nullstelle ist.

Beispiel 3: Logarithmische Gleichung Für fxx = 2ln8x2−18x² - 1 mit Startwert x₀ = 0,75 findest du nach zwei Iterationen x₂ ≈ 0,4352 als Näherung für die tatsächliche Nullstelle bei x = 0,5.

🎯 Merke: Bei komplexen Funktionen ist das Newton-Verfahren einfach erklärt oft die einzige praktikable Methode zur Nullstellenbestimmung!

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Algorithmus und praktische Anwendung

Der Newton-Verfahren Algorithmus lässt sich in wenigen Schritten zusammenfassen:

  1. Wähle einen geeigneten Startwert x₀
  2. Berechne f(x₀) und f'(x₀)
  3. Bestimme den nächsten Näherungswert: x₁ = x₀ - f(x₀)/f'(x₀)
  4. Wiederhole die Schritte 2-3 mit dem neuen Näherungswert
  5. Beende den Prozess, wenn |f(xₙ)| < ε (wobei ε die gewünschte Genauigkeit ist)

Mit diesem newton-verfahren beispiel mit lösung kannst du selbst üben: Bestimme die Schnittstelle der Funktionen fxx = lnxx und gxx = e^x−4x-4 mit Startwert x₀ = 5:

  1. Stelle um zu hxx = lnxx - e^x−4x-4 = 0
  2. Berechne h'xx = 1/x - e^x−4x-4
  3. x₁ = 5 - ln(5ln(5 - e^5−45-4)/1/5−e(5−41/5 - e^(5-4) ≈ 4,5597
  4. x₂ = 4,5597 - h(4,5597)/h'(4,5597) ≈ 4,4076

🧮 Tipp: Verwende einen Newton-Verfahren Rechner für komplexe Funktionen oder wenn du viele Iterationen durchführen musst!

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Das Newton-Verfahrenist eine mächtige Methode zur numerischen Approximation von Nullstellen bei komplexen Funktionen. Du wirst verstehen, wie du mit diesem iterativen Verfahren Gleichungen lösen kannst, für die es keine direkten Lösungsformeln gibt. Die nach Isaac Newton benannte Methode ist... Mehr anzeigen

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Newton-Verfahren - Grundlagen

Das Newton-Verfahren auchNewton−Raphson−Methodegenanntauch Newton-Raphson-Methode genannt ist ein Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen komplexer Funktionen. Du brauchst es immer dann, wenn klassische Verfahren wie die abc-Formel, der Satz vom Nullprodukt oder Substitution nicht anwendbar sind.

Die zentrale Formel des Verfahrens lautet: x_{n+1} = x_n - fxnx_n/f'xnx_n. Du startest mit einem Näherungswert und bekommst durch wiederholtes Anwenden dieser Formel immer genauere Approximationen der Nullstelle.

Der Algorithmus funktioniert durch geometrische Annäherung: An deinem aktuellen Punkt wird die Tangente der Funktion berechnet und deren Schnittpunkt mit der x-Achse als nächste Näherung verwendet.

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Herleitung des Newton-Verfahrens

Die Herleitung des Newton-Verfahrens basiert auf einer einfachen geometrischen Idee. Wir approximieren unsere Funktion an einem Punkt x₀ durch ihre Tangente. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse wird als nächster Näherungswert x₁ verwendet.

Mathematisch lässt sich das so ausdrücken:

  1. Die Tangentengleichung lautet: tx0x₀ = f'x0x₀x1−x0x₁ - x₀ + f(x₀)
  2. Da wir den Schnittpunkt mit der x-Achse suchen, setzen wir tx0x₀ = 0
  3. Nach Umformen erhalten wir: x₁ = x₀ - f(x₀)/f'(x₀)

Diese Formel kannst du nun wiederholt anwenden: x₁ wird zu deinem neuen Ausgangspunkt und du berechnest x₂, dann x₃ und so weiter. Die Folge konvergiert unter bestimmten Voraussetzungen gegen die gesuchte Nullstelle.

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Anwendung des Verfahrens - Beispiel

Schauen wir uns ein Newton Raphson Verfahren Beispiel an: Bestimme die Nullstelle der Funktion fxx = ½√x + 1/20x² auf zwei Nachkommastellen genau.

Zuerst benötigst du die Ableitung: f'xx = 1/4√x4√x - 0,1x. Dann wählst du einen Startwert, z.B. x₀ = 4, und wendest das Verfahren an:

  • f44 = 0,2 und f'44 = -0,275
  • x₁ = 4 - 0,2/−0,275-0,275 = 4,727
  • f4,7274,727 ≈ -0,031 und f'4,7274,727 ≈ -0,358
  • x₂ = 4,727 - −0,031-0,031/−0,358-0,358 = 4,648

Du wiederholst dieses Vorgehen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Nach drei Iterationen erhältst du x₃ = 4,641, was bereits auf zwei Nachkommastellen genau ist.

⚠️ Achtung: Verfolge immer die Entwicklung der Funktionswerte. Wenn f(xₙ) sehr klein wird (nahe bei Null), hast du dich der Nullstelle ausreichend genähert.

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Voraussetzungen und Probleme

Für die erfolgreiche Anwendung des Newton-Verfahrens müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein. Es gibt vier typische Probleme, die auftreten können:

  1. Nullstelle der Ableitung: Wenn f'xnxₙ = 0 ist, kann der nächste Schritt nicht berechnet werden. Beispiel: Bei fxx = x³ - 3x² + 3x + 1 ist f'11 = 0, was das Verfahren scheitern lässt.

  2. Zyklische Wiederholung: Manchmal pendelt der Algorithmus zwischen mehreren Werten, ohne sich der Nullstelle zu nähern. Bei fxx = x³ - 3x² + x + 3 und Startwert 1 erhältst du immer abwechselnd die Werte 1 und 2.

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Anwendungsbeispiele

Das Newton-Verfahren eignet sich besonders gut für praktische Anwendungen wie die Berechnung von Schnittpunkten oder die Nullstellenbestimmung bei komplexeren Funktionen.

Beispiel 1: Schnittpunkt zweier Funktionen Um den Schnittpunkt von fxx = 550x + 800 und gxx = 80 · 2ˣ zu finden, stellst du fxx = gxx auf und formst zu hxx = 550x + 800 - 80 · 2ˣ = 0 um. Mit dem Startwert x₀ = 5,6 konvergiert das Verfahren schnell zur Lösung x ≈ 5,59989.

Beispiel 2: Trigonometrische Funktionen Bei fxx = cosxx - x³ suchst du eine Nullstelle mit Startwert x₀ = 0,5. Nach wenigen Schritten erhältst du x₅ ≈ 0,8654740, was die gesuchte Nullstelle ist.

Beispiel 3: Logarithmische Gleichung Für fxx = 2ln8x2−18x² - 1 mit Startwert x₀ = 0,75 findest du nach zwei Iterationen x₂ ≈ 0,4352 als Näherung für die tatsächliche Nullstelle bei x = 0,5.

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  1. Wähle einen geeigneten Startwert x₀
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  3. Bestimme den nächsten Näherungswert: x₁ = x₀ - f(x₀)/f'(x₀)
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Mit diesem newton-verfahren beispiel mit lösung kannst du selbst üben: Bestimme die Schnittstelle der Funktionen fxx = lnxx und gxx = e^x−4x-4 mit Startwert x₀ = 5:

  1. Stelle um zu hxx = lnxx - e^x−4x-4 = 0
  2. Berechne h'xx = 1/x - e^x−4x-4
  3. x₁ = 5 - ln(5ln(5 - e^5−45-4)/1/5−e(5−41/5 - e^(5-4) ≈ 4,5597
  4. x₂ = 4,5597 - h(4,5597)/h'(4,5597) ≈ 4,4076

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Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user