Laden im
Google Play
Die moderne industriegesellschaft zwischen fortschritt und krise
Friedensschlüsse und ordnungen des friedens in der moderne
Imperialismus und erster weltkrieg
Der mensch und seine geschichte
Herausbildung moderner strukturen in gesellschaft und staat
Deutschland zwischen demokratie und diktatur
Das 20. jahrhundert
Großreiche
Frühe neuzeit
Europa und globalisierung
Europa und die welt
Die zeit des nationalsozialismus
Das geteilte deutschland und die wiedervereinigung
Bipolare welt und deutschland nach 1953
Demokratie und freiheit
Alle Themen
Entwicklungsperspektiven
Mensch-umwelt-beziehungen
Die subpolare und polare zone
Russland
Herausforderungen an die menschen des 21. jahrhunderts
Europa
Klima und vegetationszonen
Entwicklung in tropischen räumen
Planet erde
China
Globalisierung
Ressourcenkonflikte und ressourcenmanagement
Australien und ozeanien
Klimawandel und klimaschutz
Usa
Alle Themen
13.1.2021
2477
78
Teilen
Speichern
Herunterladen
NEWTON- VERFAHREN Von: Abdul - C Gliederung O o Isaac Newton • Allgemein zum Verfahren Herleitung der Formel des Newton-Verfahrens Anwendung des Verfahrens O O Einführung ins Thema O Voraussetzungen zur Anwendung des Newton-Verfahrens • Schnittpunkt zweier Funktionen Trigonometrische Funktion O 。 Quellen 2 Einführung ins Thema O f(x) = 0 abc -Formel oder pQ -Formel Satz von Nullprodukt Substitution und Rücksubstitution Auflösen nach der Variablen quadratische Ergänzung • Was wäre wenn wir diese Lösungsverfahren nicht anwenden können? o Newton-Verfahren Isaac Newton > Er lebte von 1643 -1727 und war ein englischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Alchemist, Philosoph und Verwaltungsbeamter > Entdeckungen in der Mathematik Er bewies, dass es für sämtliche reellen Zahlen (also auch negative und Brüche) gültig ist. O O verallgemeinerte Formulierung des Binomischen Theorems mit Hilfe von unendlichen Reihen Newton-Raphson-Verfahren • 3x = 3x 4x³ ,,Methods Fluxion um et serierum infinitarum“ o x³ -2x -50 O O = xn Xn+1 - Allgemein zum Verfahren f (xn) f'(xn) Herleitung der Formel des Newton- Verfahrens 1. 2. t(x) = 0 3. 4. 5. t(x) = f'(xo) (x₁ − xo) + f(xo) 6. 0= f'(x0)(x₁ - x0) + f(x₁) f'(x₁)(x₁ - x0) = -f(xo) f(xo) f'(xo) 1 +xo Xì - xo =- X1 = xo f(xo) f'(xo) | -f(xo) |: f'(x0) 001 -0.006 --001 -0.00 -0.005 4.000 4.415 4625 x : 1 2 3 st 4 LO 5 f(x): 0.45 0.5071067811865 0.4160254037844 0.2 -0.1319660112501 4.706 Anwendung des Verfahrens 1 20 Bestimme die Nullstelle der Funktion f (x)=√x + dem Newton-Verfahren auf zwei Nachkommastellen genau. Dafür wird die Ableitung gebildet f'(x): ƒ (x₁ = 4) = 1/2 √4 - 12/1010 f'(x = 4) = x₁ = 4 1 4√4 = 1 4√√x = -(20)² = 0,2 0,1x 4,727 · 0,1(4) = −0,275 0,2 -0,275 1 4,727 4,648 4,641 2 3 -x² mit n 0 xn 4 f(xn) 0,2 -0,031 -0,002 f'(xn) -0,275 -0,358 -0,349 Voraussetzungen zur Anwendung des Newton-Verfahrens ➤Fall 1 Man wählt einen x-Wert als Startwert (oder man gelangt im Verlauf der Iteration...
Durchschnittliche App-Bewertung
Schüler:innen lieben Knowunity
In Bildungs-App-Charts in 11 Ländern
Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen
iOS User
Philipp, iOS User
Lena, iOS Userin
zu einem x-Wert), an dem die Ableitung nicht definiert ist. Bsp.:f(x) = x³ − 3x² + 3x + 1 Startwert = 1 X -1 1 f(x) -6 2 f'(x) = 3x² - 6x +3 f'(1) = 0 -4 6 4 N f(x)=x²-3x²+3x+1 X f(x) Voraussetzungen zur Anwendung des Newton-Verfahrens ➤Fall 2 Man gelangt in einem Zyklus. Bsp.: f(x) = x³ 3x²+x+3 Startwert 1 23 n = -1 1 -2 2 - f'(x) = 3x² - 6x +1 1 Xn 1 2 1 Xn+1 = Xn = 2 1 N 2 f xn f' xn 0 f(x)=x²-3x²+x+3 4 Voraussetzungen zur Anwendung des Newton-Verfahrens ► Fall 3 Der nächste Näherungswert Xn+1 liegt außerhalb des Definitionsbereiches der Funktion bzw. ihrer Ableitung. 1 Bsp.: f(x) = ln(x)= f'(x) = ²/ X • Startwert = 2 n 1 2 3 4 Xn 2 0,6137 0,9133 1,0000 Xn+1 = Xn- f xn f' xn ~0,6137 0,9133 0,9961 1,0000 Startwert x₁=2 0 0 f(x)=bu(x) Startwert x₁ =3 f(x)=bu(x) Voraussetzungen zur Anwendung des Newton-Verfahrens ➤Fall 4 Man entfernt sich bei der Iteration von der Nullstelle. Bps.: f(x) = xe ƒ'(x) = e¯×(1 − x) X -1 2 Startwert = 2 f(x) -2,718 0,271 n 1 -X 234 Xn 2 4 5,333 6,564 Xn+1 = Xn f xn f' xn 4 ≈ 5,333 ≈6,564 ≈ 7,744 Startwert x₁=2 2 f(x)=x.ex Startwert x₁ = 0,5 OP f(x)=x.ex OSZKIM Wiederholungsübungen zu Exponentialfunktionen Aufgabe 1: Eine Fläche ist zu Beginn der Baggerarbeiten 800 m² groß. Jede Woche schaffen die Bagger 550 m² neue Fläche dazu. Eine Blume vermehrt auf dieser Fläche exponentiell. Zu Beginn ist die Fläche zu 80 m² mit Blumen bedeckt. Jede Woche verdoppelt sich die mit Blumen bedeckte Fläche. Nach wie vielen Wochen hat die Blume die Fläche bedeckt? X ... 1 2 3 4 Berufliches Gymnasium - Mathematik 5 6 f(x) 1190 1580 1810 1720 990 -1020 Schnittpunkt zweier Funktionen f(x) = 550x + 800 gx = 80.2* = f (x) n f (x) = g x 550x + 800 = 80.2* - = 550x + 800 - 80 · 2* = 0 xn f'(x) 550 80 ln (2) · 2x 0 5,6 -0,2344102 67 f(xn) f'(xn) -2189,5735 41388 1 5,59989 0,00093154 4 -2189,3684 79471 2 5.59989 1.6E-5 1.4E-5 1.2E-5 1E-5 8E-6 6E-6 4E-6 2E-6 5.5998565.5998585.59986 5.5998625.5998645.5998665.599868 5.59987 5.5998725.5998745.5998765.5998785.59988 5.5998825.5998845.5998865.599888 5.59989 5.5998925.5998945.5998965.599898 5.5999 5.5999025.5999045.5999065.599908 5.59991 5.5999125.5999145.5999165.599918 5.59992 5.5999225.5999245.5999 -2E-6 -4E-6 -6E-6 -8E-6 -1E-5 -1.2E-5 -1.4E-5 f -1.6E-5 f(x)=cos(x) - x³. f'(x)=sin(x) -3x². x 0 1 2 Trigonometrische Funktion 3 f(x): 1 -0.4596976941319 -8.4161468365471 Startwert = 0.5 -27.9899924966004 O = 0,5 – O x₁ = O ƒ(0,5) ƒ'(0,5) = O ° X₂ = 1,11211416 – ƒ(1,11211416) f'(1,11211416) x3=0,8672638... ° x₁ =0,8654771. x5 =0,8654740... • NST( 0,8654740/0) 1,11211416.. -0,9967269... Aufgabe: Newtonverfahren mit je zwei Iterationsschritten. a. Berechne näherungsweise die Nullstelle der Funktion f(x) = 2 ln(8x² - 1) mit xo 0,75. b. Berechne näherungsweise die Schnittstelle der beiden Funktionen f(x) = ln(x) und g(x) = ex−4 mit x = 5 = Lösung a) a. f(x) = 2ln(8x² − 1) - 77 2 8x²-1 Schritt 1: f(x) = 0 Schrit 2: x = 0,75 ƒ'(x) = ; f(xo) f'(xo) Schritt 3: x₁ = 0,3846 X1 = Xo- - 16x = x2 = x1 32x 8x²-1 = = 0/75- f(x₁) f'(x₁) f(0,75) f'(0,75) = 0,3846 Die tatsächliche Nullstelle liegt bei 0,5" ≈ 0,3846 f(0,3486) f'(0,3486) ≈ 0,4352 1.5 1 0.5 0 -0.5 05 1.5 Lösung b) O Funktionen gleichsetzen und nach O umstellen In(x) = = ex-4 -ex - 4 In(x) — ex-4 = 0 Ableitung davon 1 X ex-4 Schritt 1: Xo = 5 f (5) X₁ = 5- f'(5) Schritt 2: x₁ = 4,5597 = = 4,5597 x₂ = = 4,5597 — f(4,5597) f'(4,5597) ≈ 4,4076 3.5 3 2.5 2 1.5 1 3 3.5 4 4.5 5 5.5 Quellen O O O O O 。。。 O O O aus dem Internet http://www.mathe-fa.de/de http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren http://mathenexus.zum.de/html/analysis/numerische_verfahren/weiterfuehrendes/Newton-Geschichte-Verfahren.htm http://numerik.uni-hd.de/~lehre/SS12/numerik0/gesamt.pdf http://sneaker.cfg-hockenheim.de/referate/inhalt/mathe/nullstellen.pdf http://www.mia.uni-saarland.de/Teaching/MFI1011/kap58.pdf http://www.dieterheidorn.de/Mathematik/RP_Analysis1/KO_Funktionsuntersuchung_Fortsetzung/K02_Nullstellen/Nullstellen.html http://www.youtube.com/watch?v=4fYm_7VP1ms http://www.youtube.com/watch?v=rcskl4s7cbM http://www.plenz.com/tmp/pdf/newton.pdf • http://www.pg.bc.bw.schule.de/neu/extern/gtr_html1/newton.html Quellen o Literaturverzeichnis • Schulbuch: Mathematik für berufliche Gymnasien Schuppar, Berthold: Elementare Numerische Mathematik, 1981 Dortmund - Vieweg Verlag, ISBN:3-528-06984-8 O H.Hermann: Numerische Mathematik, 2001 München Oldenburg Verlag, VIELEN DANK!