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Einfach erklärt: Das Newton-Raphson Verfahren mit Beispielen und Lösungen

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Abdul

13.1.2021

Mathe

Newton-Verfahren

Einfach erklärt: Das Newton-Raphson Verfahren mit Beispielen und Lösungen

Das Newton-Verfahren, auch bekannt als Newton-Raphson method, ist ein leistungsstarkes mathematisches Werkzeug zur numerischen Bestimmung von Nullstellen.

Das Verfahren basiert auf einer geometrischen Newton-Verfahren Herleitung, bei der durch iterative Annäherung die Nullstelle einer Funktion bestimmt wird. Der Algorithmus startet mit einem Näherungswert und berechnet mithilfe der Newton-Verfahren Formel tangentiale Schnittpunkte, die sich der tatsächlichen Nullstelle immer weiter annähern. Die zentrale Formel lautet dabei: x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n)). Diese Methode wird besonders häufig in der Analysis und technischen Berechnungen eingesetzt.

Die Newton-Verfahren Voraussetzungen sind entscheidend für den Erfolg der Methode. Die Funktion muss stetig und differenzierbar sein, und der Startwert sollte möglichst nahe an der gesuchten Nullstelle liegen. Bei der praktischen Anwendung können verschiedene Newton-Verfahren Probleme auftreten, wie zum Beispiel Divergenz oder zyklisches Verhalten. Die Newton-Verfahren Konvergenz hängt stark vom gewählten Startwert und der Funktionscharakteristik ab. Moderne Newton-Verfahren Rechner helfen dabei, diese Berechnungen schnell und präzise durchzuführen. Ein typisches Newton Raphson Verfahren Beispiel wäre die Bestimmung der Quadratwurzel einer Zahl oder das Finden von Nullstellen bei komplexeren Polynomfunktionen. Der Newton-Verfahren Algorithmus wird in vielen praktischen Anwendungen genutzt, von der Optimierung technischer Systeme bis hin zur Finanzmodellierung.

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13.1.2021

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Das Newton-Verfahren - Eine mathematische Annäherungsmethode

Das Newton-Verfahren, auch bekannt als Newton-Raphson method, ist eine der wichtigsten numerischen Methoden zur Bestimmung von Nullstellen. Diese elegante mathematische Methode ermöglicht es uns, Gleichungen zu lösen, die mit herkömmlichen algebraischen Methoden nicht lösbar sind.

Definition: Das Newton-Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen differenzierbarer Funktionen.

Die Newton-Verfahren Voraussetzungen sind relativ überschaubar: Die Funktion muss stetig und differenzierbar sein. Außerdem benötigt man einen geeigneten Startwert, der nicht zu weit von der gesuchten Nullstelle entfernt liegt.

Die Newton-Verfahren Formel lautet: x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

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Newton-Verfahren Herleitung und mathematische Grundlagen

Die Newton-Verfahren Herleitung basiert auf der Idee der linearen Approximation. An einem Punkt wird die Tangente an die Funktion gelegt, deren Schnittpunkt mit der x-Achse als neue Näherung dient.

Beispiel: Bei der Funktion f(x) = x² - 2 suchen wir die Wurzel aus 2. Mit dem Startwert x₀ = 1.5 erreichen wir nach wenigen Iterationen eine sehr gute Näherung.

Die Newton-Verfahren Konvergenz ist quadratisch, was bedeutet, dass sich die Anzahl der korrekten Dezimalstellen bei jedem Schritt etwa verdoppelt. Dies macht das Verfahren besonders effizient.

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Praktische Anwendung und Newton Verfahren einfach erklärt

Ein Newton Raphson Verfahren Beispiel zeigt die praktische Anwendung: Nehmen wir die Funktion f(x) = x³ - x - 2. Mit einem Newton-Verfahren Rechner können wir die Schritte nachvollziehen:

Hinweis: Die Ableitung f'(x) = 3x² - 1 wird für jeden Iterationsschritt benötigt.

Mögliche Newton-Verfahren Probleme können auftreten, wenn:

  • Die Ableitung an einer Stelle Null wird
  • Der Startwert ungünstig gewählt wurde
  • Die Funktion nicht stetig oder nicht differenzierbar ist
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Fortgeschrittene Aspekte und Newton-Verfahren Algorithmus

Der Newton-Verfahren Algorithmus lässt sich in modernen Anwendungen vielfältig einsetzen. Ein wichtiges newton-verfahren beispiel mit lösung findet sich in der numerischen Optimierung.

Fachbegriff: Die Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens ist quadratisch, was es zu einem der effizientesten numerischen Verfahren macht.

Die praktische Implementierung erfolgt heute meist computergestützt. Dabei ist die Wahl geeigneter Abbruchkriterien wichtig:

  • Erreichen einer vorgegebenen Genauigkeit
  • Maximale Anzahl von Iterationen
  • Erkennung von Divergenz
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Das Newton-Raphson-Verfahren: Grundlagen und Anwendung

Das Newton-Raphson method ist ein leistungsstarkes mathematisches Werkzeug zur Bestimmung von Nullstellen. Die Newton-Verfahren Herleitung basiert auf der Idee der schrittweisen Annäherung durch Tangenten.

Die Newton-Verfahren Formel lautet: xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn). Diese Formel ermöglicht es uns, ausgehend von einem Startwert, die Nullstelle einer Funktion iterativ zu bestimmen.

Definition: Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen differenzierbarer Funktionen durch iterative Approximation.

Bei der praktischen Anwendung des Newton Verfahren einfach erklärt beginnt man mit einem Startwert und nähert sich schrittweise der Nullstelle. Die Konvergenzgeschwindigkeit ist dabei quadratisch, was bedeutet, dass sich die Genauigkeit mit jedem Schritt verdoppelt.

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Herleitung und mathematische Grundlagen

Die Newton-Verfahren Herleitung erfolgt über die Tangentengleichung. Ausgangspunkt ist die Linearisierung der Funktion im Punkt (x₀, f(x₀)). Die Tangente wird als Näherung der Funktion verwendet.

Beispiel: Bei der Funktion f(x) = x² - 2 mit Startwert x₀ = 2 ergibt sich: x₁ = 2 - (4-2)/(4) = 1.5 x₂ = 1.5 - (2.25-2)/(3) = 1.4167

Die Newton-Verfahren Voraussetzungen umfassen die Differenzierbarkeit der Funktion und einen geeigneten Startwert. Der Newton-Verfahren Algorithmus konvergiert unter diesen Bedingungen meist sehr schnell.

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Praktische Anwendung und Probleme

Bei der Anwendung des Newton Raphson Verfahren Beispiel können verschiedene Schwierigkeiten auftreten. Die häufigsten Newton-Verfahren Probleme sind:

  1. Divergenz bei ungünstigem Startwert
  2. Zyklusbildung
  3. Division durch Null bei f'(x) = 0

Hinweis: Die Wahl eines geeigneten Startwertes ist entscheidend für die Konvergenz des Verfahrens.

Ein Newton-Verfahren Rechner kann diese Berechnungen automatisieren, jedoch ist das Verständnis der mathematischen Grundlagen wichtig für die korrekte Interpretation der Ergebnisse.

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Konvergenz und Optimierung

Die Newton-Verfahren Konvergenz hängt von verschiedenen Faktoren ab. Bei günstigen Voraussetzungen konvergiert das Verfahren quadratisch, was es besonders effizient macht.

Merke: Die Konvergenzgeschwindigkeit ist quadratisch, wenn:

  • f zweimal stetig differenzierbar ist
  • f'(x*) ≠ 0 an der Nullstelle x*
  • der Startwert hinreichend nahe an x* liegt

Für newton-verfahren beispiel mit lösung ist es wichtig, die Konvergenzkriterien zu überprüfen und gegebenenfalls Modifikationen vorzunehmen, um die Stabilität zu verbessern.

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Herausforderungen und Grenzen des Newton-Verfahrens

Das Newton-Verfahren ist ein leistungsstarkes mathematisches Werkzeug zur Nullstellenbestimmung, aber es gibt wichtige Voraussetzungen und potenzielle Probleme, die beachtet werden müssen. Ein besonders kritischer Fall tritt auf, wenn der nächste Näherungswert außerhalb des Definitionsbereichs der Funktion oder ihrer Ableitung liegt.

Definition: Das Newton-Verfahren basiert auf der iterativen Annäherung an eine Nullstelle durch die Formel xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn). Die Konvergenz ist jedoch nicht immer garantiert.

Betrachten wir als konkretes Beispiel die Funktion f(x) = ln(x) mit ihrer Ableitung f'(x) = 1/x. Bei einem Startwert von x₁ = 2 erhalten wir folgende Iterationsschritte:

  • Schritt 1: x₂ ≈ 0,6137
  • Schritt 2: x₃ ≈ 0,9133
  • Schritt 3: x₄ ≈ 1,0000

Beispiel: Bei der Logarithmusfunktion muss besonders darauf geachtet werden, dass alle Näherungswerte im Definitionsbereich (x > 0) liegen. Ein negativer Näherungswert würde das Verfahren zum Scheitern bringen.

Die Newton-Verfahren Probleme zeigen sich besonders deutlich, wenn die Iteration zu Werten führt, an denen die Funktion oder ihre Ableitung nicht definiert sind. Dies kann das Verfahren zum Abbruch bringen oder zu falschen Ergebnissen führen.

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

3.150

13. Jan. 2021

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Einfach erklärt: Das Newton-Raphson Verfahren mit Beispielen und Lösungen

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Abdul

@abdul_292162

Das Newton-Verfahren, auch bekannt als Newton-Raphson method, ist ein leistungsstarkes mathematisches Werkzeug zur numerischen Bestimmung von Nullstellen.

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Das Newton-Verfahren - Eine mathematische Annäherungsmethode

Das Newton-Verfahren, auch bekannt als Newton-Raphson method, ist eine der wichtigsten numerischen Methoden zur Bestimmung von Nullstellen. Diese elegante mathematische Methode ermöglicht es uns, Gleichungen zu lösen, die mit herkömmlichen algebraischen Methoden nicht lösbar sind.

Definition: Das Newton-Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen differenzierbarer Funktionen.

Die Newton-Verfahren Voraussetzungen sind relativ überschaubar: Die Funktion muss stetig und differenzierbar sein. Außerdem benötigt man einen geeigneten Startwert, der nicht zu weit von der gesuchten Nullstelle entfernt liegt.

Die Newton-Verfahren Formel lautet: x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

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Newton-Verfahren Herleitung und mathematische Grundlagen

Die Newton-Verfahren Herleitung basiert auf der Idee der linearen Approximation. An einem Punkt wird die Tangente an die Funktion gelegt, deren Schnittpunkt mit der x-Achse als neue Näherung dient.

Beispiel: Bei der Funktion f(x) = x² - 2 suchen wir die Wurzel aus 2. Mit dem Startwert x₀ = 1.5 erreichen wir nach wenigen Iterationen eine sehr gute Näherung.

Die Newton-Verfahren Konvergenz ist quadratisch, was bedeutet, dass sich die Anzahl der korrekten Dezimalstellen bei jedem Schritt etwa verdoppelt. Dies macht das Verfahren besonders effizient.

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Praktische Anwendung und Newton Verfahren einfach erklärt

Ein Newton Raphson Verfahren Beispiel zeigt die praktische Anwendung: Nehmen wir die Funktion f(x) = x³ - x - 2. Mit einem Newton-Verfahren Rechner können wir die Schritte nachvollziehen:

Hinweis: Die Ableitung f'(x) = 3x² - 1 wird für jeden Iterationsschritt benötigt.

Mögliche Newton-Verfahren Probleme können auftreten, wenn:

  • Die Ableitung an einer Stelle Null wird
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Fortgeschrittene Aspekte und Newton-Verfahren Algorithmus

Der Newton-Verfahren Algorithmus lässt sich in modernen Anwendungen vielfältig einsetzen. Ein wichtiges newton-verfahren beispiel mit lösung findet sich in der numerischen Optimierung.

Fachbegriff: Die Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens ist quadratisch, was es zu einem der effizientesten numerischen Verfahren macht.

Die praktische Implementierung erfolgt heute meist computergestützt. Dabei ist die Wahl geeigneter Abbruchkriterien wichtig:

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Das Newton-Raphson-Verfahren: Grundlagen und Anwendung

Das Newton-Raphson method ist ein leistungsstarkes mathematisches Werkzeug zur Bestimmung von Nullstellen. Die Newton-Verfahren Herleitung basiert auf der Idee der schrittweisen Annäherung durch Tangenten.

Die Newton-Verfahren Formel lautet: xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn). Diese Formel ermöglicht es uns, ausgehend von einem Startwert, die Nullstelle einer Funktion iterativ zu bestimmen.

Definition: Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen differenzierbarer Funktionen durch iterative Approximation.

Bei der praktischen Anwendung des Newton Verfahren einfach erklärt beginnt man mit einem Startwert und nähert sich schrittweise der Nullstelle. Die Konvergenzgeschwindigkeit ist dabei quadratisch, was bedeutet, dass sich die Genauigkeit mit jedem Schritt verdoppelt.

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Herleitung und mathematische Grundlagen

Die Newton-Verfahren Herleitung erfolgt über die Tangentengleichung. Ausgangspunkt ist die Linearisierung der Funktion im Punkt (x₀, f(x₀)). Die Tangente wird als Näherung der Funktion verwendet.

Beispiel: Bei der Funktion f(x) = x² - 2 mit Startwert x₀ = 2 ergibt sich: x₁ = 2 - (4-2)/(4) = 1.5 x₂ = 1.5 - (2.25-2)/(3) = 1.4167

Die Newton-Verfahren Voraussetzungen umfassen die Differenzierbarkeit der Funktion und einen geeigneten Startwert. Der Newton-Verfahren Algorithmus konvergiert unter diesen Bedingungen meist sehr schnell.

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Praktische Anwendung und Probleme

Bei der Anwendung des Newton Raphson Verfahren Beispiel können verschiedene Schwierigkeiten auftreten. Die häufigsten Newton-Verfahren Probleme sind:

  1. Divergenz bei ungünstigem Startwert
  2. Zyklusbildung
  3. Division durch Null bei f'(x) = 0

Hinweis: Die Wahl eines geeigneten Startwertes ist entscheidend für die Konvergenz des Verfahrens.

Ein Newton-Verfahren Rechner kann diese Berechnungen automatisieren, jedoch ist das Verständnis der mathematischen Grundlagen wichtig für die korrekte Interpretation der Ergebnisse.

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Konvergenz und Optimierung

Die Newton-Verfahren Konvergenz hängt von verschiedenen Faktoren ab. Bei günstigen Voraussetzungen konvergiert das Verfahren quadratisch, was es besonders effizient macht.

Merke: Die Konvergenzgeschwindigkeit ist quadratisch, wenn:

  • f zweimal stetig differenzierbar ist
  • f'(x*) ≠ 0 an der Nullstelle x*
  • der Startwert hinreichend nahe an x* liegt

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Herausforderungen und Grenzen des Newton-Verfahrens

Das Newton-Verfahren ist ein leistungsstarkes mathematisches Werkzeug zur Nullstellenbestimmung, aber es gibt wichtige Voraussetzungen und potenzielle Probleme, die beachtet werden müssen. Ein besonders kritischer Fall tritt auf, wenn der nächste Näherungswert außerhalb des Definitionsbereichs der Funktion oder ihrer Ableitung liegt.

Definition: Das Newton-Verfahren basiert auf der iterativen Annäherung an eine Nullstelle durch die Formel xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn). Die Konvergenz ist jedoch nicht immer garantiert.

Betrachten wir als konkretes Beispiel die Funktion f(x) = ln(x) mit ihrer Ableitung f'(x) = 1/x. Bei einem Startwert von x₁ = 2 erhalten wir folgende Iterationsschritte:

  • Schritt 1: x₂ ≈ 0,6137
  • Schritt 2: x₃ ≈ 0,9133
  • Schritt 3: x₄ ≈ 1,0000

Beispiel: Bei der Logarithmusfunktion muss besonders darauf geachtet werden, dass alle Näherungswerte im Definitionsbereich (x > 0) liegen. Ein negativer Näherungswert würde das Verfahren zum Scheitern bringen.

Die Newton-Verfahren Probleme zeigen sich besonders deutlich, wenn die Iteration zu Werten führt, an denen die Funktion oder ihre Ableitung nicht definiert sind. Dies kann das Verfahren zum Abbruch bringen oder zu falschen Ergebnissen führen.

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Praktische Anwendung und Konvergenzverhalten

Die Newton-Verfahren Konvergenz hängt stark von der Wahl des Startwertes und den Eigenschaften der Funktion ab. Bei günstigen Voraussetzungen konvergiert das Verfahren quadratisch, was eine sehr schnelle Annäherung an die Nullstelle ermöglicht.

Hinweis: Die Konvergenzgeschwindigkeit des Newton-Verfahrens ist einer seiner größten Vorteile, aber nur wenn alle Voraussetzungen erfüllt sind.

Der Newton-Verfahren Algorithmus erfordert eine sorgfältige Implementierung, die verschiedene Sicherheitsmaßnahmen enthält:

  • Überprüfung des Definitionsbereichs
  • Kontrolle der Ableitungswerte
  • Abbruchkriterien bei fehlender Konvergenz

Beispiel: Ein Newton-Verfahren Rechner sollte diese Sicherheitsüberprüfungen automatisch durchführen und Warnungen ausgeben, wenn problematische Situationen auftreten.

Die praktische Umsetzung des Verfahrens erfordert ein grundlegendes Verständnis der Newton-Verfahren Voraussetzungen und möglicher Fallstricke. Nur so kann eine zuverlässige Nullstellenbestimmung gewährleistet werden.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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