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23. Jan. 2026
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Abdul
@abdul_292162
Das Newton-Verfahrenist eine mächtige Methode zur numerischen Approximation von... Mehr anzeigen
Das Newton-Verfahren ist ein Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen komplexer Funktionen. Du brauchst es immer dann, wenn klassische Verfahren wie die abc-Formel, der Satz vom Nullprodukt oder Substitution nicht anwendbar sind.
Die zentrale Formel des Verfahrens lautet: x_{n+1} = x_n - f/f'. Du startest mit einem Näherungswert und bekommst durch wiederholtes Anwenden dieser Formel immer genauere Approximationen der Nullstelle.
Der Algorithmus funktioniert durch geometrische Annäherung: An deinem aktuellen Punkt wird die Tangente der Funktion berechnet und deren Schnittpunkt mit der x-Achse als nächste Näherung verwendet.
🔍 Merke: Das Newton-Verfahren ist besonders effizient, da es in vielen Fällen quadratisch konvergiert - das bedeutet, die Anzahl der korrekten Dezimalstellen verdoppelt sich mit jeder Iteration!
Die Herleitung des Newton-Verfahrens basiert auf einer einfachen geometrischen Idee. Wir approximieren unsere Funktion an einem Punkt x₀ durch ihre Tangente. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse wird als nächster Näherungswert x₁ verwendet.
Mathematisch lässt sich das so ausdrücken:
Diese Formel kannst du nun wiederholt anwenden: x₁ wird zu deinem neuen Ausgangspunkt und du berechnest x₂, dann x₃ und so weiter. Die Folge konvergiert unter bestimmten Voraussetzungen gegen die gesuchte Nullstelle.
💡 Tipp: Die Konvergenz des Newton-Verfahrens hängt stark von deinem Startwert ab. Wähle deinen Startwert wenn möglich in der Nähe der vermuteten Nullstelle!
Schauen wir uns ein Newton Raphson Verfahren Beispiel an: Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = ½√x + 1/20x² auf zwei Nachkommastellen genau.
Zuerst benötigst du die Ableitung: f'(x) = 1/(4√x) - 0,1x. Dann wählst du einen Startwert, z.B. x₀ = 4, und wendest das Verfahren an:
Du wiederholst dieses Vorgehen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Nach drei Iterationen erhältst du x₃ = 4,641, was bereits auf zwei Nachkommastellen genau ist.
⚠️ Achtung: Verfolge immer die Entwicklung der Funktionswerte. Wenn f(xₙ) sehr klein wird (nahe bei Null), hast du dich der Nullstelle ausreichend genähert.
Für die erfolgreiche Anwendung des Newton-Verfahrens müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein. Es gibt vier typische Probleme, die auftreten können:
Nullstelle der Ableitung: Wenn f'(xₙ) = 0 ist, kann der nächste Schritt nicht berechnet werden. Beispiel: Bei f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1 ist f'(1) = 0, was das Verfahren scheitern lässt.
Zyklische Wiederholung: Manchmal pendelt der Algorithmus zwischen mehreren Werten, ohne sich der Nullstelle zu nähern. Bei f(x) = x³ - 3x² + x + 3 und Startwert 1 erhältst du immer abwechselnd die Werte 1 und 2.
Definitionsbereichsprobleme: Der neue Näherungswert kann außerhalb des Definitionsbereichs liegen. Bei f(x) = ln(x) musst du darauf achten, dass alle xₙ > 0 bleiben.
🛠️ Praxistipp: Ein guter Newton-Verfahren Rechner überprüft automatisch solche Probleme. Wenn du es selbst berechnest, achte besonders auf die Gültigkeit der Funktionswerte und Ableitungen bei jedem Schritt!
Das Newton-Verfahren eignet sich besonders gut für praktische Anwendungen wie die Berechnung von Schnittpunkten oder die Nullstellenbestimmung bei komplexeren Funktionen.
Beispiel 1: Schnittpunkt zweier Funktionen Um den Schnittpunkt von f(x) = 550x + 800 und g(x) = 80 · 2ˣ zu finden, stellst du f(x) = g(x) auf und formst zu h(x) = 550x + 800 - 80 · 2ˣ = 0 um. Mit dem Startwert x₀ = 5,6 konvergiert das Verfahren schnell zur Lösung x ≈ 5,59989.
Beispiel 2: Trigonometrische Funktionen Bei f(x) = cos(x) - x³ suchst du eine Nullstelle mit Startwert x₀ = 0,5. Nach wenigen Schritten erhältst du x₅ ≈ 0,8654740, was die gesuchte Nullstelle ist.
Beispiel 3: Logarithmische Gleichung Für f(x) = 2ln mit Startwert x₀ = 0,75 findest du nach zwei Iterationen x₂ ≈ 0,4352 als Näherung für die tatsächliche Nullstelle bei x = 0,5.
🎯 Merke: Bei komplexen Funktionen ist das Newton-Verfahren einfach erklärt oft die einzige praktikable Methode zur Nullstellenbestimmung!
Der Newton-Verfahren Algorithmus lässt sich in wenigen Schritten zusammenfassen:
Mit diesem newton-verfahren beispiel mit lösung kannst du selbst üben: Bestimme die Schnittstelle der Funktionen f(x) = ln(x) und g(x) = e^ mit Startwert x₀ = 5:
🧮 Tipp: Verwende einen Newton-Verfahren Rechner für komplexe Funktionen oder wenn du viele Iterationen durchführen musst!
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Thomas R
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
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Elisha
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Paul T
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Abdul
@abdul_292162
Das Newton-Verfahrenist eine mächtige Methode zur numerischen Approximation von Nullstellen bei komplexen Funktionen. Du wirst verstehen, wie du mit diesem iterativen Verfahren Gleichungen lösen kannst, für die es keine direkten Lösungsformeln gibt. Die nach Isaac Newton benannte Methode ist... Mehr anzeigen
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Das Newton-Verfahren ist ein Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen komplexer Funktionen. Du brauchst es immer dann, wenn klassische Verfahren wie die abc-Formel, der Satz vom Nullprodukt oder Substitution nicht anwendbar sind.
Die zentrale Formel des Verfahrens lautet: x_{n+1} = x_n - f/f'. Du startest mit einem Näherungswert und bekommst durch wiederholtes Anwenden dieser Formel immer genauere Approximationen der Nullstelle.
Der Algorithmus funktioniert durch geometrische Annäherung: An deinem aktuellen Punkt wird die Tangente der Funktion berechnet und deren Schnittpunkt mit der x-Achse als nächste Näherung verwendet.
🔍 Merke: Das Newton-Verfahren ist besonders effizient, da es in vielen Fällen quadratisch konvergiert - das bedeutet, die Anzahl der korrekten Dezimalstellen verdoppelt sich mit jeder Iteration!
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Mathematisch lässt sich das so ausdrücken:
Diese Formel kannst du nun wiederholt anwenden: x₁ wird zu deinem neuen Ausgangspunkt und du berechnest x₂, dann x₃ und so weiter. Die Folge konvergiert unter bestimmten Voraussetzungen gegen die gesuchte Nullstelle.
💡 Tipp: Die Konvergenz des Newton-Verfahrens hängt stark von deinem Startwert ab. Wähle deinen Startwert wenn möglich in der Nähe der vermuteten Nullstelle!
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Schauen wir uns ein Newton Raphson Verfahren Beispiel an: Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = ½√x + 1/20x² auf zwei Nachkommastellen genau.
Zuerst benötigst du die Ableitung: f'(x) = 1/(4√x) - 0,1x. Dann wählst du einen Startwert, z.B. x₀ = 4, und wendest das Verfahren an:
Du wiederholst dieses Vorgehen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Nach drei Iterationen erhältst du x₃ = 4,641, was bereits auf zwei Nachkommastellen genau ist.
⚠️ Achtung: Verfolge immer die Entwicklung der Funktionswerte. Wenn f(xₙ) sehr klein wird (nahe bei Null), hast du dich der Nullstelle ausreichend genähert.
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Für die erfolgreiche Anwendung des Newton-Verfahrens müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein. Es gibt vier typische Probleme, die auftreten können:
Nullstelle der Ableitung: Wenn f'(xₙ) = 0 ist, kann der nächste Schritt nicht berechnet werden. Beispiel: Bei f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1 ist f'(1) = 0, was das Verfahren scheitern lässt.
Zyklische Wiederholung: Manchmal pendelt der Algorithmus zwischen mehreren Werten, ohne sich der Nullstelle zu nähern. Bei f(x) = x³ - 3x² + x + 3 und Startwert 1 erhältst du immer abwechselnd die Werte 1 und 2.
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Das Newton-Verfahren eignet sich besonders gut für praktische Anwendungen wie die Berechnung von Schnittpunkten oder die Nullstellenbestimmung bei komplexeren Funktionen.
Beispiel 1: Schnittpunkt zweier Funktionen Um den Schnittpunkt von f(x) = 550x + 800 und g(x) = 80 · 2ˣ zu finden, stellst du f(x) = g(x) auf und formst zu h(x) = 550x + 800 - 80 · 2ˣ = 0 um. Mit dem Startwert x₀ = 5,6 konvergiert das Verfahren schnell zur Lösung x ≈ 5,59989.
Beispiel 2: Trigonometrische Funktionen Bei f(x) = cos(x) - x³ suchst du eine Nullstelle mit Startwert x₀ = 0,5. Nach wenigen Schritten erhältst du x₅ ≈ 0,8654740, was die gesuchte Nullstelle ist.
Beispiel 3: Logarithmische Gleichung Für f(x) = 2ln mit Startwert x₀ = 0,75 findest du nach zwei Iterationen x₂ ≈ 0,4352 als Näherung für die tatsächliche Nullstelle bei x = 0,5.
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Der Newton-Verfahren Algorithmus lässt sich in wenigen Schritten zusammenfassen:
Mit diesem newton-verfahren beispiel mit lösung kannst du selbst üben: Bestimme die Schnittstelle der Funktionen f(x) = ln(x) und g(x) = e^ mit Startwert x₀ = 5:
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Entdecken Sie die Anwendung des Newton Verfahrens zur Nullstellenbestimmung in dieser Präsentation. Erfahren Sie mehr über die mathematische Herleitung, die Iterationsformel und praktische Beispiele zur Lösung von Gleichungen. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Enthält wichtige Informationen zu Isaac Newton und seinen Beiträgen zur Mathematik.
MatheDiese Ausarbeitung behandelt das Newton Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen. Sie umfasst die Idee, Anwendung und Herleitung des Verfahrens sowie ein praktisches Beispiel zur Nullstellenbestimmung. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Wichtige Konzepte: Gleichungen, Ableitungen, Nullstellen.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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