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Abdul
31.10.2025
Mathe
Newton-Verfahren
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31. Okt. 2025
•
Abdul
@abdul_292162
Das Newton-Verfahrenist eine mächtige Methode zur numerischen Approximation von... Mehr anzeigen
Das Newton-Verfahren ist ein Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen komplexer Funktionen. Du brauchst es immer dann, wenn klassische Verfahren wie die abc-Formel, der Satz vom Nullprodukt oder Substitution nicht anwendbar sind.
Die zentrale Formel des Verfahrens lautet: x_{n+1} = x_n - f/f'. Du startest mit einem Näherungswert und bekommst durch wiederholtes Anwenden dieser Formel immer genauere Approximationen der Nullstelle.
Der Algorithmus funktioniert durch geometrische Annäherung: An deinem aktuellen Punkt wird die Tangente der Funktion berechnet und deren Schnittpunkt mit der x-Achse als nächste Näherung verwendet.
🔍 Merke: Das Newton-Verfahren ist besonders effizient, da es in vielen Fällen quadratisch konvergiert - das bedeutet, die Anzahl der korrekten Dezimalstellen verdoppelt sich mit jeder Iteration!
Die Herleitung des Newton-Verfahrens basiert auf einer einfachen geometrischen Idee. Wir approximieren unsere Funktion an einem Punkt x₀ durch ihre Tangente. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse wird als nächster Näherungswert x₁ verwendet.
Mathematisch lässt sich das so ausdrücken:
Diese Formel kannst du nun wiederholt anwenden: x₁ wird zu deinem neuen Ausgangspunkt und du berechnest x₂, dann x₃ und so weiter. Die Folge konvergiert unter bestimmten Voraussetzungen gegen die gesuchte Nullstelle.
💡 Tipp: Die Konvergenz des Newton-Verfahrens hängt stark von deinem Startwert ab. Wähle deinen Startwert wenn möglich in der Nähe der vermuteten Nullstelle!
Schauen wir uns ein Newton Raphson Verfahren Beispiel an: Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = ½√x + 1/20x² auf zwei Nachkommastellen genau.
Zuerst benötigst du die Ableitung: f'(x) = 1/(4√x) - 0,1x. Dann wählst du einen Startwert, z.B. x₀ = 4, und wendest das Verfahren an:
Du wiederholst dieses Vorgehen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Nach drei Iterationen erhältst du x₃ = 4,641, was bereits auf zwei Nachkommastellen genau ist.
⚠️ Achtung: Verfolge immer die Entwicklung der Funktionswerte. Wenn f(xₙ) sehr klein wird (nahe bei Null), hast du dich der Nullstelle ausreichend genähert.
Für die erfolgreiche Anwendung des Newton-Verfahrens müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein. Es gibt vier typische Probleme, die auftreten können:
Nullstelle der Ableitung: Wenn f'(xₙ) = 0 ist, kann der nächste Schritt nicht berechnet werden. Beispiel: Bei f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1 ist f'(1) = 0, was das Verfahren scheitern lässt.
Zyklische Wiederholung: Manchmal pendelt der Algorithmus zwischen mehreren Werten, ohne sich der Nullstelle zu nähern. Bei f(x) = x³ - 3x² + x + 3 und Startwert 1 erhältst du immer abwechselnd die Werte 1 und 2.
Definitionsbereichsprobleme: Der neue Näherungswert kann außerhalb des Definitionsbereichs liegen. Bei f(x) = ln(x) musst du darauf achten, dass alle xₙ > 0 bleiben.
🛠️ Praxistipp: Ein guter Newton-Verfahren Rechner überprüft automatisch solche Probleme. Wenn du es selbst berechnest, achte besonders auf die Gültigkeit der Funktionswerte und Ableitungen bei jedem Schritt!
Das Newton-Verfahren eignet sich besonders gut für praktische Anwendungen wie die Berechnung von Schnittpunkten oder die Nullstellenbestimmung bei komplexeren Funktionen.
Beispiel 1: Schnittpunkt zweier Funktionen Um den Schnittpunkt von f(x) = 550x + 800 und g(x) = 80 · 2ˣ zu finden, stellst du f(x) = g(x) auf und formst zu h(x) = 550x + 800 - 80 · 2ˣ = 0 um. Mit dem Startwert x₀ = 5,6 konvergiert das Verfahren schnell zur Lösung x ≈ 5,59989.
Beispiel 2: Trigonometrische Funktionen Bei f(x) = cos(x) - x³ suchst du eine Nullstelle mit Startwert x₀ = 0,5. Nach wenigen Schritten erhältst du x₅ ≈ 0,8654740, was die gesuchte Nullstelle ist.
Beispiel 3: Logarithmische Gleichung Für f(x) = 2ln mit Startwert x₀ = 0,75 findest du nach zwei Iterationen x₂ ≈ 0,4352 als Näherung für die tatsächliche Nullstelle bei x = 0,5.
🎯 Merke: Bei komplexen Funktionen ist das Newton-Verfahren einfach erklärt oft die einzige praktikable Methode zur Nullstellenbestimmung!
Der Newton-Verfahren Algorithmus lässt sich in wenigen Schritten zusammenfassen:
Mit diesem newton-verfahren beispiel mit lösung kannst du selbst üben: Bestimme die Schnittstelle der Funktionen f(x) = ln(x) und g(x) = e^ mit Startwert x₀ = 5:
🧮 Tipp: Verwende einen Newton-Verfahren Rechner für komplexe Funktionen oder wenn du viele Iterationen durchführen musst!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Abdul
@abdul_292162
Das Newton-Verfahrenist eine mächtige Methode zur numerischen Approximation von Nullstellen bei komplexen Funktionen. Du wirst verstehen, wie du mit diesem iterativen Verfahren Gleichungen lösen kannst, für die es keine direkten Lösungsformeln gibt. Die nach Isaac Newton benannte Methode ist... Mehr anzeigen
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Das Newton-Verfahren ist ein Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen komplexer Funktionen. Du brauchst es immer dann, wenn klassische Verfahren wie die abc-Formel, der Satz vom Nullprodukt oder Substitution nicht anwendbar sind.
Die zentrale Formel des Verfahrens lautet: x_{n+1} = x_n - f/f'. Du startest mit einem Näherungswert und bekommst durch wiederholtes Anwenden dieser Formel immer genauere Approximationen der Nullstelle.
Der Algorithmus funktioniert durch geometrische Annäherung: An deinem aktuellen Punkt wird die Tangente der Funktion berechnet und deren Schnittpunkt mit der x-Achse als nächste Näherung verwendet.
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Die Herleitung des Newton-Verfahrens basiert auf einer einfachen geometrischen Idee. Wir approximieren unsere Funktion an einem Punkt x₀ durch ihre Tangente. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse wird als nächster Näherungswert x₁ verwendet.
Mathematisch lässt sich das so ausdrücken:
Diese Formel kannst du nun wiederholt anwenden: x₁ wird zu deinem neuen Ausgangspunkt und du berechnest x₂, dann x₃ und so weiter. Die Folge konvergiert unter bestimmten Voraussetzungen gegen die gesuchte Nullstelle.
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Schauen wir uns ein Newton Raphson Verfahren Beispiel an: Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = ½√x + 1/20x² auf zwei Nachkommastellen genau.
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Du wiederholst dieses Vorgehen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Nach drei Iterationen erhältst du x₃ = 4,641, was bereits auf zwei Nachkommastellen genau ist.
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Nullstelle der Ableitung: Wenn f'(xₙ) = 0 ist, kann der nächste Schritt nicht berechnet werden. Beispiel: Bei f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1 ist f'(1) = 0, was das Verfahren scheitern lässt.
Zyklische Wiederholung: Manchmal pendelt der Algorithmus zwischen mehreren Werten, ohne sich der Nullstelle zu nähern. Bei f(x) = x³ - 3x² + x + 3 und Startwert 1 erhältst du immer abwechselnd die Werte 1 und 2.
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Beispiel 1: Schnittpunkt zweier Funktionen Um den Schnittpunkt von f(x) = 550x + 800 und g(x) = 80 · 2ˣ zu finden, stellst du f(x) = g(x) auf und formst zu h(x) = 550x + 800 - 80 · 2ˣ = 0 um. Mit dem Startwert x₀ = 5,6 konvergiert das Verfahren schnell zur Lösung x ≈ 5,59989.
Beispiel 2: Trigonometrische Funktionen Bei f(x) = cos(x) - x³ suchst du eine Nullstelle mit Startwert x₀ = 0,5. Nach wenigen Schritten erhältst du x₅ ≈ 0,8654740, was die gesuchte Nullstelle ist.
Beispiel 3: Logarithmische Gleichung Für f(x) = 2ln mit Startwert x₀ = 0,75 findest du nach zwei Iterationen x₂ ≈ 0,4352 als Näherung für die tatsächliche Nullstelle bei x = 0,5.
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Der Newton-Verfahren Algorithmus lässt sich in wenigen Schritten zusammenfassen:
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Diese Ausarbeitung behandelt das Newton Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen. Sie umfasst die Idee, Anwendung und Herleitung des Verfahrens sowie ein praktisches Beispiel zur Nullstellenbestimmung. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Wichtige Konzepte: Gleichungen, Ableitungen, Nullstellen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen des Newton-Verfahrens zur Bestimmung von Nullstellen. Diese umfassende Erklärung umfasst die grafische und mathematische Herleitung sowie praktische Anwendungsbeispiele. Ideal für Studierende der Differentialrechnung, die ein tieferes Verständnis für Iterationsverfahren und deren Anwendung in der Mathematik suchen.
MatheEntdecken Sie die Anwendung des Newton Verfahrens zur Nullstellenbestimmung in dieser Präsentation. Erfahren Sie mehr über die mathematische Herleitung, die Iterationsformel und praktische Beispiele zur Lösung von Gleichungen. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Enthält wichtige Informationen zu Isaac Newton und seinen Beiträgen zur Mathematik.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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