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Newton-Verfahren einfach erklärt: Beispiele, Herleitung und Übungen

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Carina

23.3.2021

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Newton Verfahren

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Newton-Verfahren einfach erklärt: Beispiele, Herleitung und Übungen

The Newton-Verfahren (Newton's Method) is a powerful mathematical technique for finding roots of equations through iterative approximation. This presentation covers its fundamental principles, historical context, and practical applications.

Key points:

  • Developed by Sir Isaac Newton, who also contributed to gravitational theory and calculus
  • Uses tangent lines to approximate zeros of functions iteratively
  • Newton Verfahren einfach erklärt through geometric interpretation and step-by-step process
  • Includes practical examples and limitations of the method
  • Demonstrates both theoretical foundation and computational implementation
...

23.3.2021

3532

Das Newton Verfahren GFS Carina Löffler, 08.01.2020 Gliederung • Isaac Newton und seine Bedeutung für die Mathematik • Das Newton Verfahren

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The Newton-Verfahren: Idea, Application, and Derivation

The Newton-Verfahren is a mathematical method for solving equations and systems of equations. Its primary application is in approximating roots that cannot be calculated exactly using other methods.

Definition: The Newton-Verfahren is an iterative numerical method used to find increasingly accurate approximations to the roots of a real-valued function.

Key aspects of the method:

  1. It uses tangent lines to approximate the function near its roots
  2. Each iteration brings the approximation closer to the actual root
  3. The method is particularly effective for smooth, well-behaved functions

Example: Visualize the method as a series of tangent lines getting closer to the x-axis, where each intersection represents an improved approximation of the root.

However, the Newton-Verfahren has limitations:

  • It may not work if the starting point is too far from the actual root
  • The method can fail if the derivative of the function is zero at any iteration point

Highlight: The effectiveness of the Newton-Verfahren often depends on choosing a good initial guess for the root.

Das Newton Verfahren GFS Carina Löffler, 08.01.2020 Gliederung • Isaac Newton und seine Bedeutung für die Mathematik • Das Newton Verfahren

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Applying the Newton-Verfahren

To apply the Newton-Verfahren, follow these steps:

  1. Create a value table and find a suitable starting value x₀ usingsignchangeoragivenintervalusing sign change or a given interval
  2. Apply the iteration formula: xn+1 = xn - fxnxn / f'xnxn
  3. Repeat the process until the result is sufficiently accurate

Vocabulary: Iteration formula - A mathematical expression used repeatedly to generate a sequence of values, each derived from the previous one.

The derivation of the Newton-Verfahren formula:

  1. Start with the general tangent line equation: txx = fx0x₀ + f'x0x₀ * x−x0x - x₀
  2. Set the tangent line equal to zero whereitintersectsthex−axiswhere it intersects the x-axis
  3. Solve for x to get the next approximation

Example: For the function fxx = x³ + 4x - 4, we can use the Newton-Verfahren to approximate its root.

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Example Problem Using the Newton-Verfahren

Let's solve an example problem using the Newton-Verfahren:

Given: fxx = x³ + 4x - 4 Initial guess: x₀ = 0.5 Derivative: f'xx = 3x² + 4

Applying the iteration formula: x₁ ≈ 0.8486187342 x₂ ≈ 0.8477079411 x₃ ≈ 0.8477075981

Highlight: After just a few iterations, we can see that the approximation is converging to x ≈ 0.847.

This example demonstrates the rapid convergence of the Newton-Verfahren, even for a complex function like a cubic equation.

Vocabulary: Convergence - In mathematics, the property of a series of approximations to approach a specific value as the number of terms increases.

Das Newton Verfahren GFS Carina Löffler, 08.01.2020 Gliederung • Isaac Newton und seine Bedeutung für die Mathematik • Das Newton Verfahren

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Practice Problem and Conclusion

To reinforce understanding of the Newton-Verfahren, consider this practice problem:

Find the root of fxx = x³ + 2x - 5

Given information:

  • The function has exactly one root
  • f'xx = 3x² + 2
  • There's a sign change between 1 and 2
  • Use x₀ = 1.5 as the starting value

Example: The solution to this problem is approximately x ≈ 1.328.

In conclusion, the Newton-Verfahren is a powerful tool for finding roots of complex equations. Its efficiency and rapid convergence make it invaluable in various fields of mathematics and engineering. By understanding its principles and applications, students can tackle a wide range of mathematical problems with confidence.

Highlight: Mastering the Newton-Verfahren opens doors to solving complex real-world problems in fields such as physics, engineering, and computer science.

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Quellen und weiterführende Informationen

Für eine vertiefte Auseinandersetzung mit dem Newton-Verfahren und verwandten mathematischen Konzepten werden folgende Quellen empfohlen:

Internetquellen:

  • Royal Society: https://www.wissen.de/lexikon/royal-society
  • Biografie Isaac Newton: https://www.henked.de/mathematiker/newton.htm
  • Mathematisches Lexikon: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/sir-isaac-newton
  • Detaillierte Erklärung des Newton-Verfahrens: https://de.serlo.org/mathe/funktionen/anwendungszusammenhaenge-anderes/newtonsches-naeherungsverfahren/newtonsches-naeherungsverfahren

Highlight: Diese Quellen bieten fundierte Informationen zur Geschichte und Anwendung des Newton-Verfahrens.

Buchquellen:

  • Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien Kursstufe, Klett Verlag, 2016

Quote: "Das Newton-Verfahren ist eines der wichtigsten numerischen Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen." - Lambacher Schweizer

Diese Quellen ermöglichen eine umfassende Betrachtung des Newton-Verfahrens von seinen historischen Wurzeln bis hin zu modernen Anwendungen in der numerischen Mathematik.

Das Newton Verfahren GFS Carina Löffler, 08.01.2020 Gliederung • Isaac Newton und seine Bedeutung für die Mathematik • Das Newton Verfahren

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Mathematical Derivation

The Newton-Verfahren Herleitung explains the mathematical foundation of the method.

Vocabulary: The tangent line equation: txx = fxx + f'x0x₀x−x0x - x₀

Highlight: The derivation leads to the standard iteration formula through algebraic manipulation.

Das Newton Verfahren GFS Carina Löffler, 08.01.2020 Gliederung • Isaac Newton und seine Bedeutung für die Mathematik • Das Newton Verfahren

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Example Problem

A detailed newton-verfahren beispiel mit lösung demonstrates the method's application.

Example: For fxx = x³ + 4x - 4:

  • Starting value: x₀ = 0.5
  • Derivative: f'xx = 3x² + 4
  • Solution converges to x ≈ 0.847
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Calculator Implementation

The presentation shows how to implement the Newton Verfahren Taschenrechner using a TI-30X Plus calculator.

Highlight: Modern calculators can significantly simplify the computational aspects of the method.

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Practice Problem

A practice problem is provided for students to apply the Newton-Verfahren übungen.

Example: Find the root of fxx = x³ + 2x - 5

  • Solution approximately 1.328
  • Starting value: x₀ = 1.5

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23. März 2021

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12 Seiten

Newton-Verfahren einfach erklärt: Beispiele, Herleitung und Übungen

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Carina

@carina.lr

The Newton-Verfahren (Newton's Method) is a powerful mathematical technique for finding roots of equations through iterative approximation. This presentation covers its fundamental principles, historical context, and practical applications.

Key points:

  • Developed by Sir Isaac Newton, who also contributed to gravitational... Mehr anzeigen

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The Newton-Verfahren: Idea, Application, and Derivation

The Newton-Verfahren is a mathematical method for solving equations and systems of equations. Its primary application is in approximating roots that cannot be calculated exactly using other methods.

Definition: The Newton-Verfahren is an iterative numerical method used to find increasingly accurate approximations to the roots of a real-valued function.

Key aspects of the method:

  1. It uses tangent lines to approximate the function near its roots
  2. Each iteration brings the approximation closer to the actual root
  3. The method is particularly effective for smooth, well-behaved functions

Example: Visualize the method as a series of tangent lines getting closer to the x-axis, where each intersection represents an improved approximation of the root.

However, the Newton-Verfahren has limitations:

  • It may not work if the starting point is too far from the actual root
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  1. Create a value table and find a suitable starting value x₀ usingsignchangeoragivenintervalusing sign change or a given interval
  2. Apply the iteration formula: xn+1 = xn - fxnxn / f'xnxn
  3. Repeat the process until the result is sufficiently accurate

Vocabulary: Iteration formula - A mathematical expression used repeatedly to generate a sequence of values, each derived from the previous one.

The derivation of the Newton-Verfahren formula:

  1. Start with the general tangent line equation: txx = fx0x₀ + f'x0x₀ * x−x0x - x₀
  2. Set the tangent line equal to zero whereitintersectsthex−axiswhere it intersects the x-axis
  3. Solve for x to get the next approximation

Example: For the function fxx = x³ + 4x - 4, we can use the Newton-Verfahren to approximate its root.

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Applying the iteration formula: x₁ ≈ 0.8486187342 x₂ ≈ 0.8477079411 x₃ ≈ 0.8477075981

Highlight: After just a few iterations, we can see that the approximation is converging to x ≈ 0.847.

This example demonstrates the rapid convergence of the Newton-Verfahren, even for a complex function like a cubic equation.

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  • The function has exactly one root
  • f'xx = 3x² + 2
  • There's a sign change between 1 and 2
  • Use x₀ = 1.5 as the starting value

Example: The solution to this problem is approximately x ≈ 1.328.

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Für eine vertiefte Auseinandersetzung mit dem Newton-Verfahren und verwandten mathematischen Konzepten werden folgende Quellen empfohlen:

Internetquellen:

  • Royal Society: https://www.wissen.de/lexikon/royal-society
  • Biografie Isaac Newton: https://www.henked.de/mathematiker/newton.htm
  • Mathematisches Lexikon: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/sir-isaac-newton
  • Detaillierte Erklärung des Newton-Verfahrens: https://de.serlo.org/mathe/funktionen/anwendungszusammenhaenge-anderes/newtonsches-naeherungsverfahren/newtonsches-naeherungsverfahren

Highlight: Diese Quellen bieten fundierte Informationen zur Geschichte und Anwendung des Newton-Verfahrens.

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  • Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien Kursstufe, Klett Verlag, 2016

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  • Derivative: f'xx = 3x² + 4
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  • Solution approximately 1.328
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The presentation includes comprehensive references from academic and online sources.

Highlight: Sources include textbooks, online mathematics platforms, and educational websites.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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