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Newton Verfahren
23.3.2021
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Das Newton Verfahren GFS Carina Löffler, 08.01.2020 Gliederung • Isaac Newton und seine Bedeutung für die Mathematik • Das Newton Verfahren ● • Idee, Anwendung und Herleitung Beispiel zur Anwendung des Newton Verfahrens ● Aufgabe Quellen Fragen Isaac Newton und seine Bedeutung für die Mathematik • Sir Isaac Newton: bekannter Physiker 1643 geboren in Lincolnshire (England) Entdeckte das Gravitationsgesetz, erfand das Spiegelteleskop Veröffentliche mehrere Schriften über physikalische und mathematische Zusammenhänge • 1687: Philosophiae Naturalis Principa Mathematica (Hauptwerk) ● Tod 1727 ● ● Mathematische Erkenntnisse: binomischer Lehrsatz, Grundthesen der Infinitesimalrechnung, Das Newton Verfahren Idee, Anwendung und Herleitung des Newton. Verfahrens • Idee des Newton Verfahrens ● • Mathematisches Verfahren zur Lösung von Gleichungen/ Gleichungssystemen Annäherung an Nullstellen, die nicht genau zu berechnen sind 2. Tangente gesuchte Nullstelle Funktion 1.4 1. Tangente 1.6 2. Tangenten- schnittpunkt X₂ 1.8 1. Tangenten- schnittpunkt X₁ Startwert Хо Idee, Anwendung und Herleitung des Newton Verfahrens • Anwendung des Newton Verfahrens • Annäherung an Nullstellen, die mit anderen Verfahrn nicht (genau) zu berechnen sind • Nicht anwendbar wenn: + -3 -2 = f(x) 2 2- 1 y = f(x) 1 K J ि x* xo X* Хо -1 1 2 -2 3 x₁ außerhalb von Df = (0;0) liegt 4 -3 2 3 Die x-Werte die falsche Richtung anstreben 4 X Idee, Anwendung und Herleitung des Newton. Verfahrens • Rechnerische Bestimmung der Nullstelle 1. Wertetabelle erstellen, finden des Startwertes xo (VZW oder gegebener Intervall) 2. Anwendung der Iterationsformel xn+1 = xn möglichst genau ist → gesuchte Nullstelle (Annäherung) 3. f(xn) f'(xn) bis das Ergebnis Idee, Anwendung und Herleitung des Newton Verfahrens • Herleitung des Newton Verfahrens f(xn) • Berechnungsvorschrift (Iterationsformel): Xn+1 f'(xn) t(x) = f(x) + ƒ'(xo) * (x − xo) → allgemeine Tangentengleichung f(x) + f'(x) * (x − x₁)...
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= 0 = xn |- f(xo) \/f'(xo) 1 + xo f'(xo) * (x - xo) = -f(xo) x - xo = -f(xo) / f'(xo) x = xo - f(xo) / f'(xo) Xn+1 in der Iterationsformel zeigt die Steigerung des x-Wertes Beispielaufgabe zur Anwendung des Newton Verfahrens • f(x) = x³ + 4x − 4 X F(x) 0 -4 • Xo = 0,5 • f'(x) = 3x² + 4 • Xn+1 = xn f(xn) f'(xn) 1 1 2 12 3 35 X2 X₂ x3 X4 ХА 0,8486187342 0,8477079411 0,8477075981 ↓ X≈ 0,847 Beispielaufgabe zur Anwendung des Newton Verfahrens 2nd tan-1(1)→ 3√12 In log e 10⁰ complex T xo x² clear var abcd recall TI-30X Plus MultiView sto-> off TEXAS INSTRUMENTS mode math EE din! 19 0 2.289428485 7 D 4 A 1 0 insert delete data random expr-eval In table Cot constants tan tan op ) convert base n 8 9 E F 5 6 B C 2 3 4 answer clear % = set op X -O 0. + ford enter 2nd tan-1(1)→ 3√12 In log e 10⁰ complex 7 XD x2 clear var vyu abcd recall sto-> TI-30X Plus MultiView on TEXAS INSTRUMENTS quit mode math EE sin sin 0 7 D 4 A 1 2.289428485 reset 0 insert delete stat-reg/distr data random nCr cos cos constants expr-eval table tan tan op ) convert base n 8 9 E F 5 6 B 2 K+ C 3 answer 4 clear = set op X 0. + ford enter Aufgabe • f(x) = x3 +2x − 5 • Die Funktion f mit f(x) hat genau eine Nullstelle ● • f'(x) = 3x² + 2, VZW zwischen 1 & 2 Startwert: Xo 1,5 ● • X≈ 1,328 * Quellen Internetrecherche: ● ● ● https://www.wissen.de/lexikon/royal-society, 02.12.2019, 20:40 https://www.henked.de/mathematiker/newton.htm, 08.12.2019, 14:30 https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/sir-isaac-newton, 07.12.2019, 16:20 https://de.serlo.org/mathe/funktionen/anwendungszusammenhaenge-anderes/newtonsches- naeherungsverfahren/newtonsches-naeherungsverfahren, 08.12.2019, 23:15 www.youtube.com/watch?v=xGemDmrCqEk, Mathe -Simpleclub: Newton - Verfahren (Nullstellen bestimmen), 14.10.2019, 18:01 https://www.kmg-fn.de/index.php/schule/gfs-richtlinien, 21.12.2019, 16:52 Quellen Bilder und Grafiken: http://www.home.hs-karlsruhe.de/~weth0002/maplegrp/programmieren/programmieren.htm 07.12.2019, 13:20 Lambacher Schweizer : Mathematik für Gymnasien BW, Kursstufe, Klett Verlag, 2016, Seite 144 GeoGebra Grafikrechner, https://www.geogebra.org/, 20.12.2019, 13:40 https://www.geogebra.org/m/PGAhbzNf, 21.12.2019, 17:00 https://www.amazon.de/Texas-Instruments-MultiView-Schutztasche- Erweiterte/dp/B071FFQ76X/ref=pd_sbs_229_img_1/260-9353484- 1067926?_encoding=UTF8&pd_rd_i=B071FFQ76X&pd_rd_r=16f439ea-12e2-4d4c-b6e2- 8b09689e09d0&pd_rd_w=fqzP0&pd_rd_wg=ivzHm&pf_rd_p=a2f6bca6-dcb1-4822-8e28- 66b64b37970e&pf_rd_r=KDGMCEEQJZ2MCS23WEFB&psc=1&refRID=KDGMCEEQJZ2MCS23WEFB (28.12.2019) Buchquellen: Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien Kursstufe, Klett Verlag, 2016, Seite 143 und 144