Mathematik

Methoden der höheren Analysis

Newton-Verfahren

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8. Feb. 2026

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Newton-Verfahren einfach erklärt: Beispiele, Herleitung und Übungen

Carina

@carina.lr

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1 / 10

# Das Newton Verfahren
GFS Carina Löffler, 08.01.2020 # Gliederung

* Isaac Newton und seine Bedeutung für die Mathematik
* Das Newton V

The Newton-Verfahren: Idea, Application, and Derivation

The Newton-Verfahren is a mathematical method for solving equations and systems of equations. Its primary application is in approximating roots that cannot be calculated exactly using other methods.

Definition: The Newton-Verfahren is an iterative numerical method used to find increasingly accurate approximations to the roots of a real-valued function.

Key aspects of the method:

It uses tangent lines to approximate the function near its roots
Each iteration brings the approximation closer to the actual root
The method is particularly effective for smooth, well-behaved functions

Example: Visualize the method as a series of tangent lines getting closer to the x-axis, where each intersection represents an improved approximation of the root.

However, the Newton-Verfahren has limitations:

It may not work if the starting point is too far from the actual root
The method can fail if the derivative of the function is zero at any iteration point

Highlight: The effectiveness of the Newton-Verfahren often depends on choosing a good initial guess for the root.

Applying the Newton-Verfahren

To apply the Newton-Verfahren, follow these steps:

Create a value table and find a suitable starting value x₀ (using sign change or a given interval)
Apply the iteration formula: xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)
Repeat the process until the result is sufficiently accurate

Vocabulary: Iteration formula - A mathematical expression used repeatedly to generate a sequence of values, each derived from the previous one.

The derivation of the Newton-Verfahren formula:

Start with the general tangent line equation: t(x) = f(x₀) + f'(x₀) * $x - x₀$
Set the tangent line equal to zero $where it intersects the x-axis$
Solve for x to get the next approximation

Example: For the function f(x) = x³ + 4x - 4, we can use the Newton-Verfahren to approximate its root.

Example Problem Using the Newton-Verfahren

Let's solve an example problem using the Newton-Verfahren:

Given: f(x) = x³ + 4x - 4 Initial guess: x₀ = 0.5 Derivative: f'(x) = 3x² + 4

Applying the iteration formula: x₁ ≈ 0.8486187342 x₂ ≈ 0.8477079411 x₃ ≈ 0.8477075981

Highlight: After just a few iterations, we can see that the approximation is converging to x ≈ 0.847.

This example demonstrates the rapid convergence of the Newton-Verfahren, even for a complex function like a cubic equation.

Vocabulary: Convergence - In mathematics, the property of a series of approximations to approach a specific value as the number of terms increases.

Practice Problem and Conclusion

To reinforce understanding of the Newton-Verfahren, consider this practice problem:

Find the root of f(x) = x³ + 2x - 5

Given information:

The function has exactly one root
f'(x) = 3x² + 2
There's a sign change between 1 and 2
Use x₀ = 1.5 as the starting value

Example: The solution to this problem is approximately x ≈ 1.328.

In conclusion, the Newton-Verfahren is a powerful tool for finding roots of complex equations. Its efficiency and rapid convergence make it invaluable in various fields of mathematics and engineering. By understanding its principles and applications, students can tackle a wide range of mathematical problems with confidence.

Highlight: Mastering the Newton-Verfahren opens doors to solving complex real-world problems in fields such as physics, engineering, and computer science.

Quellen und weiterführende Informationen

Für eine vertiefte Auseinandersetzung mit dem Newton-Verfahren und verwandten mathematischen Konzepten werden folgende Quellen empfohlen:

Internetquellen:

Royal Society: https://www.wissen.de/lexikon/royal-society
Biografie Isaac Newton: https://www.henked.de/mathematiker/newton.htm
Mathematisches Lexikon: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/sir-isaac-newton
Detaillierte Erklärung des Newton-Verfahrens: https://de.serlo.org/mathe/funktionen/anwendungszusammenhaenge-anderes/newtonsches-naeherungsverfahren/newtonsches-naeherungsverfahren

Highlight: Diese Quellen bieten fundierte Informationen zur Geschichte und Anwendung des Newton-Verfahrens.

Buchquellen:

Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien Kursstufe, Klett Verlag, 2016

Quote: "Das Newton-Verfahren ist eines der wichtigsten numerischen Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen." - Lambacher Schweizer

Diese Quellen ermöglichen eine umfassende Betrachtung des Newton-Verfahrens von seinen historischen Wurzeln bis hin zu modernen Anwendungen in der numerischen Mathematik.

Mathematical Derivation

The Newton-Verfahren Herleitung explains the mathematical foundation of the method.

Vocabulary: The tangent line equation: t(x) = f(x) + f'(x₀) $x - x₀$

Highlight: The derivation leads to the standard iteration formula through algebraic manipulation.

Example Problem

A detailed newton-verfahren beispiel mit lösung demonstrates the method's application.

Example: For f(x) = x³ + 4x - 4:

Starting value: x₀ = 0.5
Derivative: f'(x) = 3x² + 4
Solution converges to x ≈ 0.847

Calculator Implementation

The presentation shows how to implement the Newton Verfahren Taschenrechner using a TI-30X Plus calculator.

Highlight: Modern calculators can significantly simplify the computational aspects of the method.

Practice Problem

A practice problem is provided for students to apply the Newton-Verfahren übungen.

Example: Find the root of f(x) = x³ + 2x - 5

Solution approximately 1.328
Starting value: x₀ = 1.5

Sources

The presentation includes comprehensive references from academic and online sources.

Highlight: Sources include textbooks, online mathematics platforms, and educational websites.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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The Newton-Verfahren (Newton's Method) is a powerful mathematical technique for finding roots of equations through iterative approximation. This presentation covers its fundamental principles, historical context, and practical applications.

Key points:

Developed by Sir Isaac Newton, who also contributed to gravitational... Mehr anzeigen

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The Newton-Verfahren: Idea, Application, and Derivation

Definition: The Newton-Verfahren is an iterative numerical method used to find increasingly accurate approximations to the roots of a real-valued function.

Key aspects of the method:

It uses tangent lines to approximate the function near its roots
Each iteration brings the approximation closer to the actual root
The method is particularly effective for smooth, well-behaved functions

Example: Visualize the method as a series of tangent lines getting closer to the x-axis, where each intersection represents an improved approximation of the root.

However, the Newton-Verfahren has limitations:

It may not work if the starting point is too far from the actual root
The method can fail if the derivative of the function is zero at any iteration point

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Applying the Newton-Verfahren

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Repeat the process until the result is sufficiently accurate

Vocabulary: Iteration formula - A mathematical expression used repeatedly to generate a sequence of values, each derived from the previous one.

The derivation of the Newton-Verfahren formula:

Start with the general tangent line equation: t(x) = f(x₀) + f'(x₀) * $x - x₀$
Set the tangent line equal to zero $where it intersects the x-axis$
Solve for x to get the next approximation

Example: For the function f(x) = x³ + 4x - 4, we can use the Newton-Verfahren to approximate its root.

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Example Problem Using the Newton-Verfahren

Let's solve an example problem using the Newton-Verfahren:

Given: f(x) = x³ + 4x - 4 Initial guess: x₀ = 0.5 Derivative: f'(x) = 3x² + 4

Applying the iteration formula: x₁ ≈ 0.8486187342 x₂ ≈ 0.8477079411 x₃ ≈ 0.8477075981

Highlight: After just a few iterations, we can see that the approximation is converging to x ≈ 0.847.

This example demonstrates the rapid convergence of the Newton-Verfahren, even for a complex function like a cubic equation.

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Practice Problem and Conclusion

To reinforce understanding of the Newton-Verfahren, consider this practice problem:

Find the root of f(x) = x³ + 2x - 5

Given information:

The function has exactly one root
f'(x) = 3x² + 2
There's a sign change between 1 and 2
Use x₀ = 1.5 as the starting value

Example: The solution to this problem is approximately x ≈ 1.328.

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Quellen und weiterführende Informationen

Für eine vertiefte Auseinandersetzung mit dem Newton-Verfahren und verwandten mathematischen Konzepten werden folgende Quellen empfohlen:

Internetquellen:

Royal Society: https://www.wissen.de/lexikon/royal-society
Biografie Isaac Newton: https://www.henked.de/mathematiker/newton.htm
Mathematisches Lexikon: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/sir-isaac-newton
Detaillierte Erklärung des Newton-Verfahrens: https://de.serlo.org/mathe/funktionen/anwendungszusammenhaenge-anderes/newtonsches-naeherungsverfahren/newtonsches-naeherungsverfahren

Highlight: Diese Quellen bieten fundierte Informationen zur Geschichte und Anwendung des Newton-Verfahrens.

Buchquellen:

Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien Kursstufe, Klett Verlag, 2016

Quote: "Das Newton-Verfahren ist eines der wichtigsten numerischen Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen." - Lambacher Schweizer

Diese Quellen ermöglichen eine umfassende Betrachtung des Newton-Verfahrens von seinen historischen Wurzeln bis hin zu modernen Anwendungen in der numerischen Mathematik.

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Mathematical Derivation

The Newton-Verfahren Herleitung explains the mathematical foundation of the method.

Vocabulary: The tangent line equation: t(x) = f(x) + f'(x₀) $x - x₀$

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Example Problem

A detailed newton-verfahren beispiel mit lösung demonstrates the method's application.

Example: For f(x) = x³ + 4x - 4:

Starting value: x₀ = 0.5
Derivative: f'(x) = 3x² + 4
Solution converges to x ≈ 0.847

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Calculator Implementation

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Practice Problem

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Example: Find the root of f(x) = x³ + 2x - 5

Solution approximately 1.328
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