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Newton Verfahren
Newton Verfahren
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Carina
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11/12/10
Ausarbeitung
Ausarbeitung zu meiner GFS über das Newton-Verfahren
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Das Newtonsche Näherungsverfahren Funktion Gerade GFS Mathematik h: x = 2.25 Carina Löffler, Kursstufe 1 08.01.2020 8 f(x) = 0.2x²-1 6 a: x = 6.4 4 b: y = 2.56x - 9.2 EU C: x = 3.59 2 d: y = 1.44x3.58 B2 B332 A1 e: x = 2.49 0 g: y = 1x 2.24 Quelle: https://www.geogebra.org/m/PGAhbzNf e 1 C B1 a b 4 ВО 6 AO 8 g 10 Inhaltsverzeichnis 1. Isaac Newton und seine Bedeutung für die Mathematik 2. Das Newton Verfahren a. Idee des Newton Verfahrens b. Anwendung des Newton Verfahrens c. Herleitung des Newton Verfahrens 3. Beispiel zur Anwendung des Newton Verfahrens 4. Eigenständigkeitserklärung 5. Quellen 2 1. Isaac Newton und seine Bedeutung für die Mathematik Sir Isaac Newton war ein bedeutender englischer Physiker, Mathematiker und Astronom, der nebenbei Studien im Bereich der Chemie und Theologie betrieb. Er wurde 1643 in Lincolnshire geboren und studierte am Trinity College der Universität Cambridge. Nach der Entdeckung des Gravitationsgesetzes und der Fertigstellung seines ersten Spiegelteleskopes veröffentlichte er mehrere Schriften, in denen er verschiedene mathematische, physikalische und astrologische Erkenntnisse erläuterte. 1687 veröffentlichte er sein Hauptwerk, die „Philosophiae Naturalis Principa Mathematica“, die auch bis heute noch gilt. Später wurde er Mitglied der Pariser Akademie der Wissenschaften und im Jahre 1703 Präsident der Royal Society, einer 1660 gegründeten Akademie der Wissenschaften in London¹. Bis zu seinem Tod 1727 brachte er keine Erkenntnisse oder Schriften mehr an die Öffentlichkeit. Bekannt ist Sir Isaac Newton vor allem für seine herausragenden physikalischen Erkenntnisse, doch neben seinen Arbeiten als Physiker, Astronom und theologischen sowie alchemistischen...
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Studien war Newton auch ein Mathematiker. Er brachte der Mathematik zahlreiche wichtige Erkenntnisse und neue Verfahren, die bis heute Gültigkeit behalten. Neben der Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes und Herausarbeitung von Grundthesen der Infinitesimalrechnung entwickelte er das Newton Verfahren, ein etabliertes Verfahren zum Lösen nichtlinearer Gleichungssysteme. 1 https://www.wissen.de/lexikon/royal-society 3 2. Das Newton Verfahren a. Idee des Newton Verfahrens Das Newton Verfahren ist ein mathematisches Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungen / Gleichungssystemen. Es wird eingesetzt, um sich Nullstellen, die nicht genau zu berechnen sind, anzunähern. 2. Tangente Quelle: http://www.home.hs- e i gesuchte Nullstelle n a Funktion M.S 1. Tangente karlsruhe.de/~weth0002/maplegrp/programmieren/programmieren.htm b. Anwendung des Newton Verfahrens B in 1.4. A 6 ti 1.6 2. Tangenten- schnittpunkt X₂ B 1.8 1. Tangenten- schnittpunkt X₁ Um das Newton Verfahren rechnerisch anzuwenden, wird eine Wertetabelle erstellt. Die Berechnungsvorschrift (Iterationsformel) lautet e rSobald sich die ersten drei Dezimalzahlen bei zwei Werten nicht mehr ändern, gilt dieser Wert (Zahl mit den ersten drei Dezimalzahlen) als Nullstelle Ker Funktion. Im Taschenrechner lässt sich dieser Wert mithilfe der Speicherungsfunktion des Taschenrechners schnell berechnen. Bei der Suche 2 Allgemein ist zu beachten, dass das Newton Verfahren nicht in jedem Fall zur Startwert 2 Lambader Schweizer: Mathematik für Gymnasien BW, Kursstufe, Klett Verlag, 2016, Seite 144 t P 4 + -3 -2 -1 COXC.S4 2 P r f O ·1+ 0 Dis Ediso X* Xo 1 y = f(x) 2 I▬▬▬łoI 3 4 c. Herleitung des Newton Verfahrens D i e y = f(x) 2 TY Quelle: Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien BW, Kursstufe, Klett Verlag, 2016, Seite 144 1+ 5 x xo Auch daraus lässt sich die allgemeine Formel A Umformung der Tangentengleichung: 1 Zur Berechnung der Tangentennullstelle wird diese Gleichung mit Null gleich- gesetzt. e 2 3 Problem: Die x-Werte streben die falsche Richtung an Dieses Verfahren lässt sich mit jedem folgenden Ergebnis weiterführen: Bieses Verfahren lässt sich mit jedem folgenden Ergebnis weiterführen: 4 X
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Studien war Newton auch ein Mathematiker. Er brachte der Mathematik zahlreiche wichtige Erkenntnisse und neue Verfahren, die bis heute Gültigkeit behalten. Neben der Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes und Herausarbeitung von Grundthesen der Infinitesimalrechnung entwickelte er das Newton Verfahren, ein etabliertes Verfahren zum Lösen nichtlinearer Gleichungssysteme. 1 https://www.wissen.de/lexikon/royal-society 3 2. Das Newton Verfahren a. Idee des Newton Verfahrens Das Newton Verfahren ist ein mathematisches Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungen / Gleichungssystemen. Es wird eingesetzt, um sich Nullstellen, die nicht genau zu berechnen sind, anzunähern. 2. Tangente Quelle: http://www.home.hs- e i gesuchte Nullstelle n a Funktion M.S 1. Tangente karlsruhe.de/~weth0002/maplegrp/programmieren/programmieren.htm b. Anwendung des Newton Verfahrens B in 1.4. A 6 ti 1.6 2. Tangenten- schnittpunkt X₂ B 1.8 1. Tangenten- schnittpunkt X₁ Um das Newton Verfahren rechnerisch anzuwenden, wird eine Wertetabelle erstellt. Die Berechnungsvorschrift (Iterationsformel) lautet e rSobald sich die ersten drei Dezimalzahlen bei zwei Werten nicht mehr ändern, gilt dieser Wert (Zahl mit den ersten drei Dezimalzahlen) als Nullstelle Ker Funktion. Im Taschenrechner lässt sich dieser Wert mithilfe der Speicherungsfunktion des Taschenrechners schnell berechnen. Bei der Suche 2 Allgemein ist zu beachten, dass das Newton Verfahren nicht in jedem Fall zur Startwert 2 Lambader Schweizer: Mathematik für Gymnasien BW, Kursstufe, Klett Verlag, 2016, Seite 144 t P 4 + -3 -2 -1 COXC.S4 2 P r f O ·1+ 0 Dis Ediso X* Xo 1 y = f(x) 2 I▬▬▬łoI 3 4 c. Herleitung des Newton Verfahrens D i e y = f(x) 2 TY Quelle: Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien BW, Kursstufe, Klett Verlag, 2016, Seite 144 1+ 5 x xo Auch daraus lässt sich die allgemeine Formel A Umformung der Tangentengleichung: 1 Zur Berechnung der Tangentennullstelle wird diese Gleichung mit Null gleich- gesetzt. e 2 3 Problem: Die x-Werte streben die falsche Richtung an Dieses Verfahren lässt sich mit jedem folgenden Ergebnis weiterführen: Bieses Verfahren lässt sich mit jedem folgenden Ergebnis weiterführen: 4 X