Das Newton-Verfahren

Idee des Newton-Verfahrens

Das Newton-Verfahren ist eine mathematische Methode zur Lösung nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme. Es wird eingesetzt, um sich Nullstellen anzunähern, die nicht exakt berechnet werden können.

Definition: Das Newton-Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Approximation von Nullstellen einer Funktion.

Die grundlegende Idee besteht darin, die Funktion durch ihre Tangente an einem Punkt zu ersetzen und den Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse als verbesserte Näherung für die Nullstelle zu verwenden.

Anwendung des Newton-Verfahrens

Um das Newton-Verfahren anzuwenden, wird eine Wertetabelle erstellt. Die Newton-Verfahren Formel lautet:

x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Dabei ist:

• x_n der aktuelle Näherungswert
• f(x_n) der Funktionswert an der Stelle x_n
• f'(x_n) der Wert der ersten Ableitung an der Stelle x_n

Beispiel: Bei der Anwendung des Newton-Verfahrens wird die Berechnung so lange fortgesetzt, bis sich die ersten drei Dezimalstellen bei zwei aufeinanderfolgenden Werten nicht mehr ändern.

Es ist wichtig zu beachten, dass das Newton-Verfahren nicht in jedem Fall zur Lösung führt. Die Konvergenz hängt von der Funktion und dem gewählten Startwert ab.

Highlight: Das Newton-Verfahren konvergiert in der Regel quadratisch, was es zu einem sehr effizienten Verfahren macht.

Herleitung des Newton-Verfahrens

Die Herleitung des Newton-Verfahrens basiert auf der Idee, die Funktion f(x) durch ihre Tangente in einem Punkt x_0 zu approximieren.

1. Die Tangentengleichung lautet: y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

2. Um die Nullstelle der Tangente zu finden, wird diese Gleichung gleich Null gesetzt: 0 = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

3. Durch Umformung erhalten wir: x = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)

Dies ist die grundlegende Newton-Verfahren Formel.

Highlight: Die Herleitung zeigt, dass das Newton-Verfahren auf der linearen Approximation der Funktion durch ihre Tangente basiert.

Das Verfahren wird iterativ fortgesetzt, indem der berechnete x-Wert als neuer Startwert für den nächsten Schritt verwendet wird:

x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Vocabulary: Iteration bezeichnet die wiederholte Anwendung einer Rechenvorschrift.