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39
1
Carina
23.3.2021
Mathe
Newton Verfahren
1.968
•
23. März 2021
•
Carina
@carina.lr
Das Newton-Verfahrenist eine fortgeschrittene mathematische Methode zur Annäherung von... Mehr anzeigen
Das Newton-Verfahren ist eine mathematische Methode zur Lösung nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme. Es wird eingesetzt, um sich Nullstellen anzunähern, die nicht exakt berechnet werden können.
Definition: Das Newton-Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Approximation von Nullstellen einer Funktion.
Die grundlegende Idee besteht darin, die Funktion durch ihre Tangente an einem Punkt zu ersetzen und den Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse als verbesserte Näherung für die Nullstelle zu verwenden.
Um das Newton-Verfahren anzuwenden, wird eine Wertetabelle erstellt. Die Newton-Verfahren Formel lautet:
x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
Dabei ist:
Beispiel: Bei der Anwendung des Newton-Verfahrens wird die Berechnung so lange fortgesetzt, bis sich die ersten drei Dezimalstellen bei zwei aufeinanderfolgenden Werten nicht mehr ändern.
Es ist wichtig zu beachten, dass das Newton-Verfahren nicht in jedem Fall zur Lösung führt. Die Konvergenz hängt von der Funktion und dem gewählten Startwert ab.
Highlight: Das Newton-Verfahren konvergiert in der Regel quadratisch, was es zu einem sehr effizienten Verfahren macht.
Die Herleitung des Newton-Verfahrens basiert auf der Idee, die Funktion f(x) durch ihre Tangente in einem Punkt x_0 zu approximieren.
Die Tangentengleichung lautet: y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)
Um die Nullstelle der Tangente zu finden, wird diese Gleichung gleich Null gesetzt: 0 = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)
Durch Umformung erhalten wir: x = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)
Dies ist die grundlegende Newton-Verfahren Formel.
Highlight: Die Herleitung zeigt, dass das Newton-Verfahren auf der linearen Approximation der Funktion durch ihre Tangente basiert.
Das Verfahren wird iterativ fortgesetzt, indem der berechnete x-Wert als neuer Startwert für den nächsten Schritt verwendet wird:
x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
Vocabulary: Iteration bezeichnet die wiederholte Anwendung einer Rechenvorschrift.
Um die praktische Anwendung des Newton-Verfahrens zu demonstrieren, betrachten wir ein konkretes Beispiel:
Gegeben sei die Funktion f(x) = x³ - x - 2
Ziel ist es, die Nullstelle dieser Funktion mithilfe des Newton-Verfahrens zu berechnen.
Schritte:
Ableitung der Funktion bilden: f'(x) = 3x² - 1
Startwert wählen (z.B. x_0 = 2)
Iterationsformel anwenden: x_(n+1) = x_n - (x_n³ - x_n - 2) / (3x_n² - 1)
Berechnung durchführen bis zur gewünschten Genauigkeit
Example: x_1 = 2 - (2³ - 2 - 2) / (3·2² - 1) = 1,6666... x_2 = 1,6666... - (1,6666...³ - 1,6666... - 2) / (3·1,6666...² - 1) = 1,5457... x_3 = 1,5457... - (1,5457...³ - 1,5457... - 2) / (3·1,5457...² - 1) = 1,5321...
Die Berechnung wird fortgesetzt, bis sich die ersten drei Dezimalstellen nicht mehr ändern.
Highlight: In diesem Beispiel konvergiert das Newton-Verfahren schnell gegen die Nullstelle der Funktion.
Die Eigenständigkeitserklärung ist ein wichtiger Bestandteil wissenschaftlicher Arbeiten. Sie bestätigt, dass der Autor die Arbeit selbstständig und ohne unerlaubte Hilfe angefertigt hat.
Quote: "Ich erkläre, dass ich die vorliegende Arbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis aufgeführten Quellen und Hilfsmittel verwendet habe."
Diese Erklärung unterstreicht die akademische Integrität und ist ein wesentlicher Teil der wissenschaftlichen Praxis.
Highlight: Die Eigenständigkeitserklärung ist ein wichtiges Element zur Sicherstellung der akademischen Redlichkeit.
Seite 6: Praktische Anwendung
Die Seite demonstriert die konkrete Anwendung des Newton-Verfahrens anhand eines Beispiels.
Example: Die schrittweise Berechnung einer Nullstelle wird mit Hilfe einer Wertetabelle durchgeführt.
Highlight: Die Bedeutung der ersten Ableitung für das Verfahren wird hervorgehoben.
Seite 7: Abschluss und Eigenständigkeitserklärung
Die letzte Seite enthält die formale Eigenständigkeitserklärung der Arbeit.
Highlight: Die Arbeit wurde selbstständig und unter Verwendung der angegebenen Quellen erstellt.
Diese Seite enthält die formale Eigenständigkeitserklärung und beginnt mit dem Quellenverzeichnis.
Quote: "Ich erkläre, dass ich die vorliegende Arbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis aufgeführten Quellen und Hilfsmittel verwendet habe."
Sir Isaac Newton war ein herausragender englischer Wissenschaftler des 17. Jahrhunderts, der die Mathematik und Physik revolutionierte. Er wurde 1643 geboren und studierte am Trinity College in Cambridge. Zu seinen wichtigsten Leistungen gehören:
Newtons Beiträge zur Mathematik waren ebenso bedeutend wie seine physikalischen Erkenntnisse. Er entwickelte unter anderem:
Highlight: Das Newton-Verfahren ist bis heute ein etabliertes Verfahren in der Mathematik und findet in vielen Bereichen Anwendung.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Carina
@carina.lr
Das Newton-Verfahren ist eine fortgeschrittene mathematische Methode zur Annäherung von Nullstellen nichtlinearer Gleichungen. Diese detaillierte Zusammenfassung erklärt die Grundlagen und praktische Anwendung.
Hauptpunkte:
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Das Newton-Verfahren ist eine mathematische Methode zur Lösung nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme. Es wird eingesetzt, um sich Nullstellen anzunähern, die nicht exakt berechnet werden können.
Definition: Das Newton-Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Approximation von Nullstellen einer Funktion.
Die grundlegende Idee besteht darin, die Funktion durch ihre Tangente an einem Punkt zu ersetzen und den Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse als verbesserte Näherung für die Nullstelle zu verwenden.
Um das Newton-Verfahren anzuwenden, wird eine Wertetabelle erstellt. Die Newton-Verfahren Formel lautet:
x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
Dabei ist:
Beispiel: Bei der Anwendung des Newton-Verfahrens wird die Berechnung so lange fortgesetzt, bis sich die ersten drei Dezimalstellen bei zwei aufeinanderfolgenden Werten nicht mehr ändern.
Es ist wichtig zu beachten, dass das Newton-Verfahren nicht in jedem Fall zur Lösung führt. Die Konvergenz hängt von der Funktion und dem gewählten Startwert ab.
Highlight: Das Newton-Verfahren konvergiert in der Regel quadratisch, was es zu einem sehr effizienten Verfahren macht.
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Die Herleitung des Newton-Verfahrens basiert auf der Idee, die Funktion f(x) durch ihre Tangente in einem Punkt x_0 zu approximieren.
Die Tangentengleichung lautet: y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)
Um die Nullstelle der Tangente zu finden, wird diese Gleichung gleich Null gesetzt: 0 = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)
Durch Umformung erhalten wir: x = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)
Dies ist die grundlegende Newton-Verfahren Formel.
Highlight: Die Herleitung zeigt, dass das Newton-Verfahren auf der linearen Approximation der Funktion durch ihre Tangente basiert.
Das Verfahren wird iterativ fortgesetzt, indem der berechnete x-Wert als neuer Startwert für den nächsten Schritt verwendet wird:
x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
Vocabulary: Iteration bezeichnet die wiederholte Anwendung einer Rechenvorschrift.
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Um die praktische Anwendung des Newton-Verfahrens zu demonstrieren, betrachten wir ein konkretes Beispiel:
Gegeben sei die Funktion f(x) = x³ - x - 2
Ziel ist es, die Nullstelle dieser Funktion mithilfe des Newton-Verfahrens zu berechnen.
Schritte:
Ableitung der Funktion bilden: f'(x) = 3x² - 1
Startwert wählen (z.B. x_0 = 2)
Iterationsformel anwenden: x_(n+1) = x_n - (x_n³ - x_n - 2) / (3x_n² - 1)
Berechnung durchführen bis zur gewünschten Genauigkeit
Example: x_1 = 2 - (2³ - 2 - 2) / (3·2² - 1) = 1,6666... x_2 = 1,6666... - (1,6666...³ - 1,6666... - 2) / (3·1,6666...² - 1) = 1,5457... x_3 = 1,5457... - (1,5457...³ - 1,5457... - 2) / (3·1,5457...² - 1) = 1,5321...
Die Berechnung wird fortgesetzt, bis sich die ersten drei Dezimalstellen nicht mehr ändern.
Highlight: In diesem Beispiel konvergiert das Newton-Verfahren schnell gegen die Nullstelle der Funktion.
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Die Eigenständigkeitserklärung ist ein wichtiger Bestandteil wissenschaftlicher Arbeiten. Sie bestätigt, dass der Autor die Arbeit selbstständig und ohne unerlaubte Hilfe angefertigt hat.
Quote: "Ich erkläre, dass ich die vorliegende Arbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis aufgeführten Quellen und Hilfsmittel verwendet habe."
Diese Erklärung unterstreicht die akademische Integrität und ist ein wesentlicher Teil der wissenschaftlichen Praxis.
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Die Seite demonstriert die konkrete Anwendung des Newton-Verfahrens anhand eines Beispiels.
Example: Die schrittweise Berechnung einer Nullstelle wird mit Hilfe einer Wertetabelle durchgeführt.
Highlight: Die Bedeutung der ersten Ableitung für das Verfahren wird hervorgehoben.
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Die letzte Seite enthält die formale Eigenständigkeitserklärung der Arbeit.
Highlight: Die Arbeit wurde selbstständig und unter Verwendung der angegebenen Quellen erstellt.
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Newtons Beiträge zur Mathematik waren ebenso bedeutend wie seine physikalischen Erkenntnisse. Er entwickelte unter anderem:
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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