Beispiel für die rechnerische Anwendung des Newton-Verfahrens
Um die praktische Anwendung des Newton-Verfahrens zu demonstrieren, betrachten wir ein konkretes Beispiel:
Gegeben sei die Funktion fx = x³ - x - 2
Ziel ist es, die Nullstelle dieser Funktion mithilfe des Newton-Verfahrens zu berechnen.
Schritte:
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Ableitung der Funktion bilden:
f'x = 3x² - 1
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Startwert wählen z.B.x0=2
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Iterationsformel anwenden:
x_n+1 = x_n - xn3−xn−2 / 3xn2−1
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Berechnung durchführen bis zur gewünschten Genauigkeit
Example:
x_1 = 2 - 23−2−2 / 3⋅22−1 = 1,6666...
x_2 = 1,6666... - 1,6666...3−1,6666...−2 / 3⋅1,6666...2−1 = 1,5457...
x_3 = 1,5457... - 1,5457...3−1,5457...−2 / 3⋅1,5457...2−1 = 1,5321...
Die Berechnung wird fortgesetzt, bis sich die ersten drei Dezimalstellen nicht mehr ändern.
Highlight: In diesem Beispiel konvergiert das Newton-Verfahren schnell gegen die Nullstelle der Funktion.