Umwandlung zwischen Darstellungsformen

Die Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform wird detailliert beschrieben:

1. Scheitelpunkt (u|v) ablesen und einsetzen
2. Einen weiteren Punkt P(x|f(x)) ablesen und einsetzen
3. Nach a auflösen
4. a und Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen

Vocabulary: Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.

Drei Möglichkeiten für Nullstellen werden diskutiert:

1. Zwei Nullstellen
2. Eine Nullstelle
3. Keine Nullstellen

Highlight: Die Anzahl der Nullstellen hängt von der Diskriminante in der pq-Formel ab.

Für jede Möglichkeit wird ein Beispiel gegeben und der Lösungsweg erklärt.

Beispiel: f(x) = x² + 4x + 4 hat eine Nullstelle bei x = -2

Die Scheitelpunktform wird für jedes Beispiel hergeleitet.

Definition: Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet f(x) = a(x-u)² + v, wobei (u|v) der Scheitelpunkt ist.

Darstellungsformen quadratischer Funktionen

Die drei wichtigsten Darstellungsformen quadratischer Funktionen werden vorgestellt:

1. Normalform: f(x) = ax² + bx + c
2. Scheitelpunktform: f(x) = a(x-u)² + v
3. Linearfaktordarstellung: f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)

Der Prozess zur Umwandlung von der Normalform in Linearfaktordarstellung wird schrittweise erklärt:

1. Funktion nullsetzen
2. Vorfaktor verrechnen und pq-Formel anwenden
3. Nullstellen ablesen und in Linearfaktordarstellung einsetzen

Beispiel: Umwandlung von f(x) = 2x² + 10x + 8 in Linearfaktordarstellung

Highlight: Die Linearfaktordarstellung ermöglicht es, die Nullstellen direkt abzulesen.

Die binomischen Formeln werden aufgelistet:

1. (a+b)² = a² + 2ab + b²
2. (a-b)² = a² - 2ab + b²
3. (a+b)(a-b) = a² - b²

Definition: Die pq-Formel zur Berechnung der Nullstellen lautet: x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Der Prozess zur Umwandlung von Linearfaktordarstellung in Normalform wird ebenfalls erläutert:

1. Binomische Formel auflösen
2. Vorfaktor mit der Klammer multiplizieren

Beispiel: Umwandlung von f(x) = 4(x-4)(x+3) in Normalform