Quadratische Ergänzung und Nullstellen für die 9. Klasse - Einfach erklärt!

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Niklas

6.2.2023

Mathe

p/q - Formel + Quadratische Ergänzung + Darstellungsformen von Parabeln + Gleichungssysteme + Einsetzungsverfahren + Gleichsetzungsverfahren

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Scheitelpunktform

Quadratische Ergänzung und Nullstellen für die 9. Klasse - Einfach erklärt!

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Die quadratische Ergänzung und Funktionsanalyse im Mathematikunterricht der 9. Klasse bildet einen zentralen Baustein für das Verständnis von quadratischen Funktionen.

• Die Quadratische Ergänzung ermöglicht die Umwandlung zwischen verschiedenen Darstellungsformen von Parabeln

• Die drei wichtigsten Formen sind die Allgemeine Form, die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form

• Die p/q-Formel dient der Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen

• Gleichungssysteme können durch Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren gelöst werden

...

6.2.2023

6126

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Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist eine Methode, um von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform zu gelangen. Der Lernzettel erklärt zwei Wege:

"Mit Ausklammern"
"Am Anfang teilen und am Ende wieder multiplizieren"

Definition: Die quadratische Ergänzung ist eine algebraische Technik, um eine quadratische Gleichung in eine perfekte Quadratform umzuwandeln.

Beispiele werden für verschiedene Fälle gegeben:

Mit Zahl vor dem x² $a ≠ 1$
Mit "unsichtbarer" 1 vor dem x² $a = 1$

Example: Umformung von y = 2x² - 12x in Scheitelpunktform: y = 2 $x-3$ ² - 18

Der Lernzettel erinnert auch an die wichtigen binomischen Formeln:

$a + b$ ² = a² + 2ab + b²
$a - b$ ² = a² - 2ab + b²
$a + b$ $a - b$ = a² - b²

Highlight: Die Beherrschung der binomischen Formeln ist entscheidend für die erfolgreiche Durchführung der quadratischen Ergänzung.

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Scheitelpunktform und Allgemeine Form

Dieser Abschnitt zeigt, wie man von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form gelangt:

Binomische Formeln anwenden
Ausmultiplizieren

Example: Umwandlung von y = 2,5 $x-3$ ² - 3 in die allgemeine Form: y = 2,5x² - 15x + 19,5

Highlight: Die Umwandlung zwischen den Formen ist wichtig, um verschiedene Eigenschaften der Funktion leicht erkennen zu können.

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p/q-Formel

Die p/q-Formel wird vorgestellt als Methode zur Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion.

Definition: Die p/q-Formel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen in der Form x² + px + q = 0.

Formel: x₁/₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² - q)

Voraussetzungen für die Anwendung:

Die Gleichung muss in der Form "= 0" vorliegen
Der Koeffizient vor x² muss 1 sein

Example: Lösung der Gleichung x² + 4x - 8 = 0 mit der p/q-Formel

Highlight: Die p/q-Formel ermöglicht es, schnell zu bestimmen, ob eine Funktion keine, eine oder zwei Nullstellen hat.

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über quadratische Funktionen und ihre Eigenschaften, was für Schüler der 9. Klasse besonders relevant ist. Die Erklärungen und Beispiele helfen dabei, die oft als schwierig empfundenen Konzepte besser zu verstehen.

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Die p/q-Formel

Die Nullstellen berechnen quadratische Funktion pq-formel wird ausführlich behandelt.

Highlight: Die p/q-Formel ermöglicht die Bestimmung von Nullstellen einer quadratischen Funktion

Example: Für x² + 4x - 8 = 0 werden die Nullstellen x₁ ≈ 1,46 und x₂ ≈ -5,46 berechnet

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Nullstellen und ihre Bedeutung

Die verschiedenen Fälle von Nullstellen berechnen quadratische Funktion werden erläutert.

Definition: Eine doppelte Nullstelle liegt vor, wenn die Parabel die x-Achse nur berührt

Highlight: Eine Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben

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Gleichungssysteme Teil 1

Das Aufstellen von Gleichungssystemen mit drei Punkten auf einer Parabel wird erklärt.

Example: Für die Punkte A $0|0$ , B $1|1,08$ und C $10|0$ wird ein Gleichungssystem aufgestellt

Definition: Ein Gleichungssystem mit drei Punkten ermöglicht die Bestimmung der Funktionsgleichung

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Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren wird als Methode zur Lösung von Gleichungssystemen vorgestellt.

Definition: Beim Einsetzungsverfahren werden Gleichungen ineinander eingesetzt

Highlight: Die Umformung der Gleichungen ist entscheidend für die erfolgreiche Anwendung

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Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren wird als alternative Lösungsmethode präsentiert.

Definition: Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen gleichgesetzt

Example: Die Gleichungen werden so umgeformt, dass sie die Form a = ... oder b = ... haben

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Scheitelpunktform

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6. Feb. 2023

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Quadratische Ergänzung und Nullstellen für die 9. Klasse - Einfach erklärt!

Niklas

@niklas_m

Die quadratische Ergänzung und Funktionsanalyse im Mathematikunterricht der 9. Klasse bildet einen zentralen Baustein für das Verständnis von quadratischen Funktionen.

• Die Quadratische Ergänzung ermöglicht die Umwandlung zwischen verschiedenen Darstellungsformen von Parabeln

• Die drei wichtigsten Formen sind die ... Mehr anzeigen

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Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist eine Methode, um von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform zu gelangen. Der Lernzettel erklärt zwei Wege:

"Mit Ausklammern"
"Am Anfang teilen und am Ende wieder multiplizieren"

Definition: Die quadratische Ergänzung ist eine algebraische Technik, um eine quadratische Gleichung in eine perfekte Quadratform umzuwandeln.

Beispiele werden für verschiedene Fälle gegeben:

Mit Zahl vor dem x² $a ≠ 1$
Mit "unsichtbarer" 1 vor dem x² $a = 1$

Example: Umformung von y = 2x² - 12x in Scheitelpunktform: y = 2 $x-3$ ² - 18

Der Lernzettel erinnert auch an die wichtigen binomischen Formeln:

$a + b$ ² = a² + 2ab + b²
$a - b$ ² = a² - 2ab + b²
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Scheitelpunktform und Allgemeine Form

Dieser Abschnitt zeigt, wie man von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form gelangt:

Binomische Formeln anwenden
Ausmultiplizieren

Example: Umwandlung von y = 2,5 $x-3$ ² - 3 in die allgemeine Form: y = 2,5x² - 15x + 19,5

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p/q-Formel

Die p/q-Formel wird vorgestellt als Methode zur Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion.

Definition: Die p/q-Formel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen in der Form x² + px + q = 0.

Formel: x₁/₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² - q)

Voraussetzungen für die Anwendung:

Die Gleichung muss in der Form "= 0" vorliegen
Der Koeffizient vor x² muss 1 sein

Example: Lösung der Gleichung x² + 4x - 8 = 0 mit der p/q-Formel

Highlight: Die p/q-Formel ermöglicht es, schnell zu bestimmen, ob eine Funktion keine, eine oder zwei Nullstellen hat.

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Die p/q-Formel

Die Nullstellen berechnen quadratische Funktion pq-formel wird ausführlich behandelt.

Highlight: Die p/q-Formel ermöglicht die Bestimmung von Nullstellen einer quadratischen Funktion

Example: Für x² + 4x - 8 = 0 werden die Nullstellen x₁ ≈ 1,46 und x₂ ≈ -5,46 berechnet

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Nullstellen und ihre Bedeutung

Die verschiedenen Fälle von Nullstellen berechnen quadratische Funktion werden erläutert.

Definition: Eine doppelte Nullstelle liegt vor, wenn die Parabel die x-Achse nur berührt

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Gleichungssysteme Teil 1

Das Aufstellen von Gleichungssystemen mit drei Punkten auf einer Parabel wird erklärt.

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Einsetzungsverfahren

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Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren wird als alternative Lösungsmethode präsentiert.

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Darstellungsformen von Parabeln

Der Lernzettel beginnt mit einer Übersicht der verschiedenen Darstellungsformen quadratischer Funktionen:

Scheitelpunktform: y = a $x-u$ ² + v Vorteil: Einfaches Ablesen des Scheitelpunkts Scheitelpunkt: S $-u|v$
Nullstellenform / Faktorisierte Form: y = a $x-n$ $x-m$ Vorteil: Einfaches Ablesen der Nullstellen Nullstellen: x₁ = n, x₂ = m
Allgemeine Form: y = ax² + bx + c Vorteil: Einfaches Ablesen des y-Achsenabschnitts $0|c$

Highlight: Die Umwandlung zwischen diesen Formen ist ein zentrales Thema des Lernzettels.

Vocabulary: Quadratische Funktionen sind Funktionen zweiten Grades, deren Graph eine Parabel ist.

Example: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform könnte so aussehen: y = 2 $x+3$ ² + 8

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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