Quotientenregel und natürliche Logarithmusfunktion

Dieser Abschnitt behandelt die Quotientenregel für Ableitungen und die Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion.

Quotientenregel

Die Quotientenregel wird verwendet, um Funktionen abzuleiten, die als Quotient dargestellt sind.

Definition: Für f$x$ = u$x$ / v$x$ gilt: f'$x$ = $u'·v - u·v'$ / v²

Example: Für f$x$ = $x² - 1$ / $1 + x$ ergibt sich: f'$x$ = $2x·(1+x$ - $x²-1$·1) / $1+x$² = $2x² + 2x - x² + 1$ / $1+x$² = $x² + 2x + 1$ / $x² + 2x + 1$

Natürliche Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.

Transformationen der Logarithmusfunktion:

• Spiegelung an der x-Achse: f$x$ = -ln$x$
• Spiegelung an der y-Achse: f$x$ = ln$-x$
• Punktspiegelung am Ursprung: f$x$ = -ln$-x$
• Verschiebung entlang der y-Achse: f$x$ = ln$x$ + d
• Verschiebung entlang der x-Achse: f$x$ = ln$x + c$
• Streckung/Stauchung entlang der y-Achse: f$x$ = a·ln$x$
• Streckung/Stauchung entlang der x-Achse: f$x$ = ln$bx$

Highlight: Die allgemeine Form der transformierten Logarithmusfunktion lautet: f$x$ = a·ln$b(x+c$) + d

Example: Bei der Streckung/Stauchung entlang der x-Achse gilt: b < 1 führt zu einer Streckung, b > 1 zu einer Stauchung

Klausurthemen und wichtige Regeln

Dieser Abschnitt fasst wichtige Themen für die Mathematikklausur zusammen und erläutert grundlegende Regeln für Ableitungen und Exponentialfunktionen.

Klausurthemen

Die Hauptthemen für die Klausur umfassen:

• Produkt- und Kettenregel
• e-Funktion und Basiswechsel
• Exponentialfunktionen
• Stammfunktionen bilden
• Flächenberechnung unter und zwischen Funktionen
• Anwendungsaufgaben

Highlight: Anwendungsaufgaben bilden einen wichtigen Teil des Hauptteils der Klausur.

Produkt- und Kettenregel

Die Produktregel wird angewendet, wenn der Funktionsterm ein Produkt ist: f$x$ = u$x$ · v$x$ f'$x$ = u'$x$ · v$x$ + u$x$ · v'$x$

Die Kettenregel kommt zum Einsatz, wenn der Funktionsterm eine innere und äußere Funktion hat: f$x$ = u$v(x$) f'$x$ = v'$x$ · u'$v(x$)

Example: Für f$x$ = x²$3x+5$ ergibt sich mit der Produktregel: f'$x$ = 2x$3x+5$ + x²·3 = 6x² + 10x + 3x² = 9x² + 10x

e-Funktion und Basiswechsel

Die e-Funktion hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder die e-Funktion ist: f$x$ = ex f'$x$ = ex

Der Basiswechsel mit der e-Funktion ermöglicht die Ableitung von Exponentialfunktionen: ax = eln$a$·x

Example: Für f$x$ = 3·2x ergibt sich nach dem Basiswechsel: f$x$ = 3·eln$2$·x f'$x$ = 3·ln$2$·eln$2$·x = 3·ln$2$·2x

Exponentialfunktionen

Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet: f$x$ = a·bx+c + d

Für die Ableitung gilt: f'$x$ = a·ln$b$·bx

Highlight: Bei Exponentialfunktionen mit b > 1 steigt der Graph streng monoton, während er bei 0 < b < 1 streng monoton fällt.

Potenzgesetze, Logarithmusgesetze und Ableitungen

Dieser Abschnitt behandelt wichtige mathematische Gesetze und Ableitungsregeln, die für das Verständnis von Exponential- und Logarithmusfunktionen unerlässlich sind.

Potenzgesetze

Die grundlegenden Potenzgesetze lauten:

1. Multiplikation gleicher Basen: am · an = am+n
2. Multiplikation gleicher Exponenten: an · bn = $a·b$n
3. Potenzen potenzieren: $an$m = an·m

Highlight: Diese Gesetze sind fundamental für die Vereinfachung und Umformung von Exponentialausdrücken.

Halbwertszeit und Generationszeit

Für Zerfalls- und Wachstumsprozesse sind folgende Formeln relevant:

• Halbwertszeit: TH = log0,5$1-p$
• Generationszeit $doppelter Wert$: T2 = log2$1+p$

Example: Die Halbwertszeit beschreibt die Zeit, in der sich eine Menge halbiert, während die Generationszeit die Verdopplungszeit angibt.

Stammfunktion und Integration

Bei der Integration gilt:

Für f$x$ = xn $wenn nur ein x vorkommt$ ist die Stammfunktion: F$x$ = $xn+1$ / $n+1$

Definition: Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation. Wenn F'$x$ = f$x$, dann ist F$x$ die Stammfunktion von f$x$.

Logarithmusgesetze

Die wichtigsten Logarithmusgesetze sind:

1. loga$u·v$ = loga$u$ + loga$v$
2. loga$u/v$ = loga$u$ - loga$v$
3. loga$ur$ = r · loga$u$

Vocabulary: In einem Logarithmus bezeichnet man die Basis als "Basis", den Ausdruck unter dem Logarithmus als "Numerus" und das Ergebnis als "Logarithmus".

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Für die trigonometrischen Funktionen gelten folgende Ableitungsregeln:

• $sin x$' = cos x
• $cos x$' = -sin x

Highlight: Bei der Ableitung von Sinus erhält man Cosinus, während die Ableitung von Cosinus zum negativen Sinus führt.

Example: Die Ableitung der Exponentialfunktion a^x kann mithilfe des Basiswechsels zur e-Funktion hergeleitet werden: $ax$' = ax · ln$a$

Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die wichtigsten Konzepte und Regeln für E-Funktionen ableiten, Logarithmusgleichungen lösen und die Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen. Sie dient als wertvolle Ressource für die Vorbereitung auf Mathematikklausuren und das Verständnis komplexer mathematischer Zusammenhänge.

Flächenberechnung und Logarithmen

Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Methoden zur Berechnung von Flächen unter Funktionen und zwischen Funktionen sowie die Eigenschaften und Anwendungen des natürlichen Logarithmus.

Flächenberechnung unter Funktionen

Die Berechnung der Fläche unter einer Funktion erfolgt in drei Schritten:

1. Bestimmung der Nullstellen zur Festlegung der Intervalle
2. Unterteilung in Teilintervalle zwischen den Nullstellen
3. Addition der Beträge der Flächen der einzelnen Teilintervalle

Definition: Die grundsätzliche Formel für die Flächenberechnung lautet: A = |∫$a,b$ f$x$ dx| = |$F(x)$ba| = |F$b$ - F$a$|

Flächenberechnung zwischen Funktionen

Um die Fläche zwischen zwei Funktionen zu berechnen, geht man wie folgt vor:

1. Bildung der Differenzfunktion h$x$ = f$x$ - g$x$
2. Bestimmung der Nullstellen der Differenzfunktion $Schnittpunkte von f und g$
3. Berechnung des Betrags des Integrals von h im ermittelten Intervall

Highlight: Die Fläche zwischen zwei Funktionen kann auch mit der Formel A = |∫$N1,N2$ |f$x$ - g$x$| dx| berechnet werden.

Natürlicher Logarithmus

Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln$x$, ist der Logarithmus zur Basis e.

Vocabulary: ln$x$ = loge$x$, wobei e die Eulersche Zahl ist $e ≈ 2,71828...$

Wichtige Eigenschaften des natürlichen Logarithmus:

• ln$e$ = 1
• ln$1$ = 0
• ln$ex$ = x

Example: Logarithmusregeln für den natürlichen Logarithmus:

1. ln$x · y$ = ln$x$ + ln$y$
2. ln$x / y$ = ln$x$ - ln$y$
3. ln$xr$ = r · ln$x$

Lösen von Logarithmusgleichungen

Bei der Lösung von Logarithmusgleichungen gibt es einige grundlegende Strategien:

1. Bei ln$x$ = y: x = ey
2. Bei ln$x+d$ = y: x+d = ey, dann nach x auflösen
3. Bei ex+d = b: x+d = ln$b$, dann nach x auflösen

Highlight: Bei Logarithmusgleichungen ist es wichtig, den Exponenten für e anzugleichen oder zu ermitteln, was der Klammerausdruck ergeben muss.