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Die Mathematik-Vorlesung behandelt wichtige Konzepte der Analysis, darunter die Flächenberechnung unter Funktionen mit Nullstellen, die Anwendung der Quotientenregel in der Mathematik sowie Exponentialfunktionen und die Kettenregel anwenden. Zentrale Themen sind:
6.9.2022
55599
Dieser Abschnitt behandelt wichtige mathematische Gesetze und Ableitungsregeln, die für das Verständnis von Exponential- und Logarithmusfunktionen unerlässlich sind.
Die grundlegenden Potenzgesetze lauten:
Highlight: Diese Gesetze sind fundamental für die Vereinfachung und Umformung von Exponentialausdrücken.
Für Zerfalls- und Wachstumsprozesse sind folgende Formeln relevant:
Example: Die Halbwertszeit beschreibt die Zeit, in der sich eine Menge halbiert, während die Generationszeit die Verdopplungszeit angibt.
Bei der Integration gilt:
Für f(x) = xn (wenn nur ein x vorkommt) ist die Stammfunktion: F(x) = (xn+1) / (n+1)
Definition: Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation. Wenn F'(x) = f(x), dann ist F(x) die Stammfunktion von f(x).
Die wichtigsten Logarithmusgesetze sind:
Vocabulary: In einem Logarithmus bezeichnet man die Basis als "Basis", den Ausdruck unter dem Logarithmus als "Numerus" und das Ergebnis als "Logarithmus".
Für die trigonometrischen Funktionen gelten folgende Ableitungsregeln:
Highlight: Bei der Ableitung von Sinus erhält man Cosinus, während die Ableitung von Cosinus zum negativen Sinus führt.
Example: Die Ableitung der Exponentialfunktion a^x kann mithilfe des Basiswechsels zur e-Funktion hergeleitet werden: (ax)' = ax · ln(a)
Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die wichtigsten Konzepte und Regeln für E-Funktionen ableiten, Logarithmusgleichungen lösen und die Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen. Sie dient als wertvolle Ressource für die Vorbereitung auf Mathematikklausuren und das Verständnis komplexer mathematischer Zusammenhänge.
Dieser Abschnitt fasst wichtige Themen für die Mathematikklausur zusammen und erläutert grundlegende Regeln für Ableitungen und Exponentialfunktionen.
Die Hauptthemen für die Klausur umfassen:
Highlight: Anwendungsaufgaben bilden einen wichtigen Teil des Hauptteils der Klausur.
Die Produktregel wird angewendet, wenn der Funktionsterm ein Produkt ist: f(x) = u(x) · v(x) f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)
Die Kettenregel kommt zum Einsatz, wenn der Funktionsterm eine innere und äußere Funktion hat: f(x) = u(v(x)) f'(x) = v'(x) · u'(v(x))
Example: Für f(x) = x²(3x+5) ergibt sich mit der Produktregel: f'(x) = 2x(3x+5) + x²·3 = 6x² + 10x + 3x² = 9x² + 10x
Die e-Funktion hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder die e-Funktion ist: f(x) = ex f'(x) = ex
Der Basiswechsel mit der e-Funktion ermöglicht die Ableitung von Exponentialfunktionen: ax = eln(a)·x
Example: Für f(x) = 3·2x ergibt sich nach dem Basiswechsel: f(x) = 3·eln(2)·x f'(x) = 3·ln(2)·eln(2)·x = 3·ln(2)·2x
Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet: f(x) = a·bx+c + d
Für die Ableitung gilt: f'(x) = a·ln(b)·bx
Highlight: Bei Exponentialfunktionen mit b > 1 steigt der Graph streng monoton, während er bei 0 < b < 1 streng monoton fällt.
Dieser Abschnitt behandelt die Quotientenregel für Ableitungen und die Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion.
Die Quotientenregel wird verwendet, um Funktionen abzuleiten, die als Quotient dargestellt sind.
Definition: Für f(x) = u(x) / v(x) gilt: f'(x) = (u'·v - u·v') / v²
Example: Für f(x) = (x² - 1) / (1 + x) ergibt sich: f'(x) = (2x·(1+x) - (x²-1)·1) / (1+x)² = (2x² + 2x - x² + 1) / (1+x)² = (x² + 2x + 1) / (x² + 2x + 1)
Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.
Transformationen der Logarithmusfunktion:
Highlight: Die allgemeine Form der transformierten Logarithmusfunktion lautet: f(x) = a·ln(b(x+c)) + d
Example: Bei der Streckung/Stauchung entlang der x-Achse gilt: b < 1 führt zu einer Streckung, b > 1 zu einer Stauchung
Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Methoden zur Berechnung von Flächen unter Funktionen und zwischen Funktionen sowie die Eigenschaften und Anwendungen des natürlichen Logarithmus.
Die Berechnung der Fläche unter einer Funktion erfolgt in drei Schritten:
Definition: Die grundsätzliche Formel für die Flächenberechnung lautet: A = |∫[a,b] f(x) dx| = |[F(x)]ba| = |F(b) - F(a)|
Um die Fläche zwischen zwei Funktionen zu berechnen, geht man wie folgt vor:
Highlight: Die Fläche zwischen zwei Funktionen kann auch mit der Formel A = |∫[N1,N2] |f(x) - g(x)| dx| berechnet werden.
Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln(x), ist der Logarithmus zur Basis e.
Vocabulary: ln(x) = loge(x), wobei e die Eulersche Zahl ist (e ≈ 2,71828...)
Wichtige Eigenschaften des natürlichen Logarithmus:
Example: Logarithmusregeln für den natürlichen Logarithmus:
- ln(x · y) = ln(x) + ln(y)
- ln(x / y) = ln(x) - ln(y)
- ln(xr) = r · ln(x)
Bei der Lösung von Logarithmusgleichungen gibt es einige grundlegende Strategien:
Highlight: Bei Logarithmusgleichungen ist es wichtig, den Exponenten für e anzugleichen oder zu ermitteln, was der Klammerausdruck ergeben muss.
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11/12
Exponentialfunktionen
•Exponentialfunktion •natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung
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Exponentialfunktionen PP
Exponentialfunktionen PP
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3494
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Analysis
Integralrechnung, Ableiten, Aufleiten, Partielle Integration, Zerfallprozesse mit e Funktionen, Kettenregel, Produktregel
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Exponentialfunktionen 15 Punkte Klausur
Exponentielles Wachstum 15 Punkte Klausur Aufgaben+Lösungen
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Exponentialfunktionen
Lernzettel
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Potenzfunktionen Übersicht
Grundtypen von Potenzfunktionen
Durchschnittliche App-Bewertung
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Dieser Abschnitt behandelt wichtige mathematische Gesetze und Ableitungsregeln, die für das Verständnis von Exponential- und Logarithmusfunktionen unerlässlich sind.
Die grundlegenden Potenzgesetze lauten:
Highlight: Diese Gesetze sind fundamental für die Vereinfachung und Umformung von Exponentialausdrücken.
Für Zerfalls- und Wachstumsprozesse sind folgende Formeln relevant:
Example: Die Halbwertszeit beschreibt die Zeit, in der sich eine Menge halbiert, während die Generationszeit die Verdopplungszeit angibt.
Bei der Integration gilt:
Für f(x) = xn (wenn nur ein x vorkommt) ist die Stammfunktion: F(x) = (xn+1) / (n+1)
Definition: Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation. Wenn F'(x) = f(x), dann ist F(x) die Stammfunktion von f(x).
Die wichtigsten Logarithmusgesetze sind:
Vocabulary: In einem Logarithmus bezeichnet man die Basis als "Basis", den Ausdruck unter dem Logarithmus als "Numerus" und das Ergebnis als "Logarithmus".
Für die trigonometrischen Funktionen gelten folgende Ableitungsregeln:
Highlight: Bei der Ableitung von Sinus erhält man Cosinus, während die Ableitung von Cosinus zum negativen Sinus führt.
Example: Die Ableitung der Exponentialfunktion a^x kann mithilfe des Basiswechsels zur e-Funktion hergeleitet werden: (ax)' = ax · ln(a)
Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die wichtigsten Konzepte und Regeln für E-Funktionen ableiten, Logarithmusgleichungen lösen und die Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen. Sie dient als wertvolle Ressource für die Vorbereitung auf Mathematikklausuren und das Verständnis komplexer mathematischer Zusammenhänge.
Dieser Abschnitt fasst wichtige Themen für die Mathematikklausur zusammen und erläutert grundlegende Regeln für Ableitungen und Exponentialfunktionen.
Die Hauptthemen für die Klausur umfassen:
Highlight: Anwendungsaufgaben bilden einen wichtigen Teil des Hauptteils der Klausur.
Die Produktregel wird angewendet, wenn der Funktionsterm ein Produkt ist: f(x) = u(x) · v(x) f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)
Die Kettenregel kommt zum Einsatz, wenn der Funktionsterm eine innere und äußere Funktion hat: f(x) = u(v(x)) f'(x) = v'(x) · u'(v(x))
Example: Für f(x) = x²(3x+5) ergibt sich mit der Produktregel: f'(x) = 2x(3x+5) + x²·3 = 6x² + 10x + 3x² = 9x² + 10x
Die e-Funktion hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder die e-Funktion ist: f(x) = ex f'(x) = ex
Der Basiswechsel mit der e-Funktion ermöglicht die Ableitung von Exponentialfunktionen: ax = eln(a)·x
Example: Für f(x) = 3·2x ergibt sich nach dem Basiswechsel: f(x) = 3·eln(2)·x f'(x) = 3·ln(2)·eln(2)·x = 3·ln(2)·2x
Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet: f(x) = a·bx+c + d
Für die Ableitung gilt: f'(x) = a·ln(b)·bx
Highlight: Bei Exponentialfunktionen mit b > 1 steigt der Graph streng monoton, während er bei 0 < b < 1 streng monoton fällt.
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Die Quotientenregel wird verwendet, um Funktionen abzuleiten, die als Quotient dargestellt sind.
Definition: Für f(x) = u(x) / v(x) gilt: f'(x) = (u'·v - u·v') / v²
Example: Für f(x) = (x² - 1) / (1 + x) ergibt sich: f'(x) = (2x·(1+x) - (x²-1)·1) / (1+x)² = (2x² + 2x - x² + 1) / (1+x)² = (x² + 2x + 1) / (x² + 2x + 1)
Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.
Transformationen der Logarithmusfunktion:
Highlight: Die allgemeine Form der transformierten Logarithmusfunktion lautet: f(x) = a·ln(b(x+c)) + d
Example: Bei der Streckung/Stauchung entlang der x-Achse gilt: b < 1 führt zu einer Streckung, b > 1 zu einer Stauchung
Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Methoden zur Berechnung von Flächen unter Funktionen und zwischen Funktionen sowie die Eigenschaften und Anwendungen des natürlichen Logarithmus.
Die Berechnung der Fläche unter einer Funktion erfolgt in drei Schritten:
Definition: Die grundsätzliche Formel für die Flächenberechnung lautet: A = |∫[a,b] f(x) dx| = |[F(x)]ba| = |F(b) - F(a)|
Um die Fläche zwischen zwei Funktionen zu berechnen, geht man wie folgt vor:
Highlight: Die Fläche zwischen zwei Funktionen kann auch mit der Formel A = |∫[N1,N2] |f(x) - g(x)| dx| berechnet werden.
Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln(x), ist der Logarithmus zur Basis e.
Vocabulary: ln(x) = loge(x), wobei e die Eulersche Zahl ist (e ≈ 2,71828...)
Wichtige Eigenschaften des natürlichen Logarithmus:
Example: Logarithmusregeln für den natürlichen Logarithmus:
- ln(x · y) = ln(x) + ln(y)
- ln(x / y) = ln(x) - ln(y)
- ln(xr) = r · ln(x)
Bei der Lösung von Logarithmusgleichungen gibt es einige grundlegende Strategien:
Highlight: Bei Logarithmusgleichungen ist es wichtig, den Exponenten für e anzugleichen oder zu ermitteln, was der Klammerausdruck ergeben muss.
Mathe - Exponentialfunktionen
•Exponentialfunktion •natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung
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Mathe - Exponentialfunktionen PP
Exponentialfunktionen PP
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Integralrechnung, Ableiten, Aufleiten, Partielle Integration, Zerfallprozesse mit e Funktionen, Kettenregel, Produktregel
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Exponentielles Wachstum 15 Punkte Klausur Aufgaben+Lösungen
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Lernzettel
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Mathe - Potenzfunktionen Übersicht
Grundtypen von Potenzfunktionen
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