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Produkt - & Kettenregel, E-Funktion, Exponentialfunktionen, Integralrechnung
6.9.2022
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Fläche unter Funktionen berechnen 1. Nullstellen bestimmen. um intervalle festzulegen .f(x)=0. 2. Unterteilung in Teil intervalle von Nullstelle zu Nullstelle 3. Die Flächen der einzelnen Teilintervalle im Betrag addieren grundsätzlich Fläche I[a,b] A·|S²fcx) dx | | [Fox) ] 1 = F(b)- F(a) Flache zwischen Funktionen berechnen 1. Differenzfunktion hcx) bilden n(x)=f(x)-g(x) 2. Nullstellen der Differenzfunktion bestimmen. ↳sind Schnittstellen v. f&g → geben Intervall an 3. Betrag d. Intergrals von h im Intervall berechnen. ↳ Fläche zw.. Funktionen Natürlicher Logarithmus In Cx) = log Cx) → Logarithmus zur Basis e (n(e) = 1 (n(1)=0 In(x) è ln (ex)=x Incx) + Incy) ) = Incx) - Incy) = r. Ln(x) = X 1. In Cx. y)= 2. In ( 3. Inc xr) Terme vereinfachen & Logarithmusgleichunge lasen ·X₁ X₂ X3 A= A +A₂ A3 A+S max+|dx|+|_ CHIOX| -N₂ A= 1 √™ hond x 1 = [Hex] / ² N₁ N₁ auch: A= | √ ³ ² fcx)-g(x) dx | Lösen: In-Gleichungen - Beispiele CExponent Uber) nehmen 1. Ln Cx) = 3 ↳ x=e³ 2. InCx+1)=2 4 Klammer muss insgesamt e² ergeben Cince ²) = 2) also: x+1=e² |-1 X = e²-1 nach x aufläsen - betrachten was klammer ergeben muss (Exponent), gleistellen→nach x auflösen 3. ex=2 x = ln(2) Se hoch In (x) = x ↳ Allgemeine Regeln" 1. Ln(x) = Y Exponent für e angleichen x= ey 2. ln (x+d) = Ermitteln was Klammer D=Y₁₁ ergeben muss. (x+d)=eY →naon x auflösen. 3. ex+d=b x+d=In(b) un von Lösung ergeben Exponent muss Quotientenregel fcx) = UCX) v(x) f'(x)= U'•v - U⋅v'. V² Bsp: fcx)=x²-1 1+X U(X)=x²-1 →→ U'(x) = 2x V(x) = 1+x→ V'(x) = 1 f.cx)= Incx) f'(x)=4 X f(x)=2x-(1+x)-1-(x²-1) (1+x)² F(x)= xIn(x)-X f'(x)=2x²+2x-x² +1. Natürliche Logarithmusfunktion 1+2x+x² f'(x)...
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= x² +2x+1. x²+2x+1 f'(x) = 1 -Umkehrfunktion der e-Funktion K Spiegeln Abzisse: fcx)=-In (x). Spiegeln an Ordinate: fcx)= In(-x) Punktspiegelung am Ursprung: fcx)=-\n(-x) Verschiebung entlang Ordinate: fcx)= (n(x) +d Verschiebung entlang Abrisse : fcx)= In (x+c) Streckung/Stauchung entlang y- Achse: fcx) = a.In (x) Streckung/Stauchung entlang der x-Achse: fcx) = n(bx) !b<1 Streckung b>l→ Stauchung reckung Ordinate Verschiebung Abrisse → fcx)= a.ln(b(x+c))+d Streckung Abrisse Reihenfolge: b,c,a,d Verschiebung Ordinate TIN X √x Q1.2. Klausur 11 themen Produkt & Kettenregel. e-Funktion →→ Basiswechsel MATHE KLAUSUR Exponentialfunktion Stammfunktion bilden Fläche unter Fkt. berechnen Flächen zwischen Funktionen. Anwendungsaufgaben! wichtiger Teil Hauptteil Produkt & Kettenregel Produktregel→→ Funktionsterm= Produkt f(x)= U(X) V.(x) f'(x)= U'(X). VCX) + U(X)• V'(X) • Wenn f= v.v dann f' = Uv + UV' e-Funktion Kettenregel→→ Funktionsterm hat innere & außere Funktion f(x) = U (VCX)) f'(x)= v'(x) • U'(v CX)) Innere mal äußere Ableitung" Bsp: fcx) = x²(3x+5) UCX) v(x) e: Eulerische Zahl e=2,718.... Cirrational) f(x)= ex Die Ableitung der e-Funktion ist die. e-Funktion f'(x)= ex Basiswechsel mit der e-Funktion Zweck: Ableitung von Exponentialfunktionen bilden a* = enca*) (x. inca) a* = e² Loge In natürlicher Logarithmus. Logarithmus mit Basis e Exponentialfunktion kann zu einer Exponentialfunktion mit e als Bsp: fcx)= 3.2x 2x=²(2).x f(x)= 3.eln (2).x ·Kettenregel verwenden. . U(-) = e(²)→ U₁(²-) =ė (--)` v(x)=Ln(2).X→ V'(x) = 1·in (2) U(X)= x² U'(x)= 7x6 VCx) = (3x+5)→ v'(x)=3 V(x) UCX) f(x)= 7x6 (3x+5)+ 3.x² Bsp: fcx) = (2x+5)³ UC...) (...)³→→U'(...) = 3. (...) ² VC...)=2x+5 → V ' (...) = 2 f'(x)= 2.3(2x + 5)² včx) in cx) = log₂ (x) Basis umgeschrieben werden (n (2).X → f'(x) 3. In (2). ↳ f'(x) 3-In(2). 2* 2x Regel fcx)= a.bx f(x)= a.e un (a).x Graph e-Funktion Exponentialfunktionen f(x)= a.b*c+d Potenzgesetze aman =am+n 1. Multiplikation gleicher Basen an.bn = (a.b)" f'cx)= a. (n(b). bx 3.Potenzen potenzieren (an) m = anim Halbwertszeit: 2. Multiplikation gleicher Exponenten TH=Log 0,5 (1-P) Stammfunktion f(x)=x", wenn nur 1 x Integrieren. Es gilt: F(x) = -b>l: Steigt Steigt streng monoton (Asymptote negativer Teil Abzisse) •1>6> 0: fällt streng monoton (Zerfall) (Asymptome positiver Teil Abzisse) Ordinatenabschnitt (Ola)→ wenn keine Verschlebung entlang Abrisse/Ordinate mit c→ Verschiebung nach rechts / links - mit d→ verschiebung entlang Ordinate wenn a negativ → Spiegelung Abrisse wenn negativer Exponent → Spiegelung Ordinate Generationszeit ( doppelter wert) T₁ = 10g (1+p)² Vorfaktor 41 -"+1 n+1] sin Logarithmusgesetze Numerus Log (y) = xbx=y 1 Basis blog(x)=x Ableitung Integral funktion FCx) muss abgeleitet Integrandenfunktion fcx) Sein F'(x)=f(x) Ableitung Cos log (bx)=x 1. loga (U-V) = 109a (U) + loga (v) 2. log () = 10g (U) - loga (v) a 3. 109 a (ur). = r. log (U). -COS Ableitung Suche nach Exponenten. -sin Ableitung