Potenzgesetze, Logarithmusgesetze und Ableitungen
Dieser Abschnitt behandelt wichtige mathematische Gesetze und Ableitungsregeln, die für das Verständnis von Exponential- und Logarithmusfunktionen unerlässlich sind.
Potenzgesetze
Die grundlegenden Potenzgesetze lauten:
- Multiplikation gleicher Basen: am · an = am+n
- Multiplikation gleicher Exponenten: an · bn = (a·b)n
- Potenzen potenzieren: (an)m = an·m
Highlight: Diese Gesetze sind fundamental für die Vereinfachung und Umformung von Exponentialausdrücken.
Halbwertszeit und Generationszeit
Für Zerfalls- und Wachstumsprozesse sind folgende Formeln relevant:
- Halbwertszeit: TH = log0,5(1-p)
- Generationszeit (doppelter Wert): T2 = log2(1+p)
Example: Die Halbwertszeit beschreibt die Zeit, in der sich eine Menge halbiert, während die Generationszeit die Verdopplungszeit angibt.
Stammfunktion und Integration
Bei der Integration gilt:
Für f(x) = xn (wenn nur ein x vorkommt) ist die Stammfunktion:
F(x) = (xn+1) / (n+1)
Definition: Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation. Wenn F'(x) = f(x), dann ist F(x) die Stammfunktion von f(x).
Logarithmusgesetze
Die wichtigsten Logarithmusgesetze sind:
- loga(u·v) = loga(u) + loga(v)
- loga(u/v) = loga(u) - loga(v)
- loga(ur) = r · loga(u)
Vocabulary: In einem Logarithmus bezeichnet man die Basis als "Basis", den Ausdruck unter dem Logarithmus als "Numerus" und das Ergebnis als "Logarithmus".
Ableitungen trigonometrischer Funktionen
Für die trigonometrischen Funktionen gelten folgende Ableitungsregeln:
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
Highlight: Bei der Ableitung von Sinus erhält man Cosinus, während die Ableitung von Cosinus zum negativen Sinus führt.
Example: Die Ableitung der Exponentialfunktion a^x kann mithilfe des Basiswechsels zur e-Funktion hergeleitet werden: (ax)' = ax · ln(a)
Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die wichtigsten Konzepte und Regeln für E-Funktionen ableiten, Logarithmusgleichungen lösen und die Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen. Sie dient als wertvolle Ressource für die Vorbereitung auf Mathematikklausuren und das Verständnis komplexer mathematischer Zusammenhänge.