Quadratische Funktionen: Lernzettel, Formeln und Aufgaben

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Paula

8.5.2021

Mathe

Quadratische Funktionen

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Scheitelpunktform

Quadratische Funktionen: Lernzettel, Formeln und Aufgaben

Quadratische Funktionen sind ein zentrales Thema in der Mathematik. Sie beschreiben parabelförmige Kurven und finden vielfältige Anwendungen. Diese Zusammenfassung erklärt die wichtigsten Konzepte, Darstellungsformen und Berechnungsmethoden für quadratische Funktionen.

Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu
Quadratische Funktionen haben die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c
Wichtige Darstellungsformen: Normalform, Scheitelpunktform, Nullstellenform
Eigenschaften wie Öffnungsrichtung, Streckung und Verschiebung lassen sich aus den Parametern ablesen
Nullstellen, Scheitelpunkt und Wertetabellen ermöglichen die Analyse der Funktion

8.5.2021

Funktionen
Was ist eigentlich eine Funstion?
Eine Funktion ist eine
füs y zuordnet.
14
13
12
le
A
lo +
ง
4
Uhrzeit
1500
Have
nicht eindeutig

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Punkte einer Funktion

Ein Punkt P $xp/yp$ liegt genau dann auf dem Graphen einer Funktion f $x$ , wenn yp = f $xp$ gilt. Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Funktion liegt, gibt es zwei Möglichkeiten:

Den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.
Den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen und das Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes vergleichen.

Example: Für die Funktion f $x$ = 1/2x² - 2 und den Punkt P $4/7,5$ : f $4$ = 1/2 · 4² - 2 = 6 ≠ 7,5 Der Punkt P liegt also nicht auf dem Graphen von f $x$ .

Highlight: Wenn eine direkte Berechnung nicht möglich ist, kann man den y-Wert durch den quadrierten x-Wert teilen, um die Zugehörigkeit eines Punktes zur Funktion zu überprüfen.

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Die quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f $x$ = ax² + bx + c. Die rein quadratische Funktion f $x$ = ax² hat ihren Scheitelpunkt im Ursprung und ist um den Faktor a gestreckt oder gestaucht.

Eigenschaften der quadratischen Funktion:

Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten.
Für -1 < a < 1 ist die Parabel breiter als die Normalparabel, sonst schmaler.

Verschiebungen der Parabel:

Verschiebung in y-Richtung: f $x$ = ax² + v v > 0: Verschiebung nach oben v < 0: Verschiebung nach unten
Verschiebung in x-Richtung: f $x$ = a $x+u$ ² u > 0: Verschiebung nach links u < 0: Verschiebung nach rechts

Vocabulary: Scheitelpunktform: f $x$ = a $x+u$ ² + v mit Scheitelpunkt S $-u/v$

Die Umwandlung von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form erfolgt durch Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der Terme.

Highlight: Aus der allgemeinen Form lässt sich nur der Streckfaktor a direkt ablesen. Der Scheitelpunkt ist nicht mehr unmittelbar erkennbar.

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Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform

Die Umwandlung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform erfolgt durch quadratische Ergänzung. Hier ist eine Anleitung:

Den Faktor a ausklammern
Die Zahl vor x halbieren $b/2a$
Quadratisch ergänzen $Term hinzufügen und wieder abziehen$
Binomische Formel anwenden
v-Wert berechnen

Example: f $x$ = 2x² + 9x + 15 wird zu f $x$ = 2 $x + 4,5$ ² + 4,875

Highlight: Die quadratische Ergänzung ist ein wichtiger Schritt, um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion zu bestimmen.

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Nullstellen quadratischer Funktionen

Nullstellen sind die x-Werte, bei denen die Funktion den y-Wert 0 annimmt. Es gibt verschiedene Methoden, um Nullstellen zu berechnen:

Für f $x$ = ax²: x = 0
Für f $x$ = ax² + c: x = ±√ $-c/a$
Für f $x$ = $ax + b$ ²: x = -b/a
Für f $x$ = $x-a$ $x-b$ : x = a oder x = b
Für f $x$ = x² + px + q: x = -p/2 ± √ $(p/2$ ² - q)
Für f $x$ = ax² + bx: x = 0 oder x = -b/a
Für f $x$ = ax² + bx + c: x = $-b ± √(b² - 4ac$ ) / $2a$ $Mitternachtsformel$

Vocabulary: Mitternachtsformel: Die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Highlight: Die Wahl der Methode hängt von der Form der quadratischen Funktion ab. Die Mitternachtsformel ist universell anwendbar, aber nicht immer die effizienteste Methode.

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Vieta'sche Formeln und Lösungsverhalten

Die Vieta'schen Formeln stellen einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren Lösungen her:

x₁ + x₂ = -b/a x₁ · x₂ = c/a

Das Lösungsverhalten einer quadratischen Gleichung hängt von der Diskriminante D = b² - 4ac ab:

D > 0: zwei reelle Lösungen
D = 0: eine reelle Lösung $doppelte Nullstelle$
D < 0: keine reelle Lösung

Highlight: Die Vieta'schen Formeln und die Diskriminante sind wichtige Werkzeuge zur Analyse quadratischer Gleichungen ohne explizite Berechnung der Nullstellen.

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Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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8. Mai 2021

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Quadratische Funktionen: Lernzettel, Formeln und Aufgaben

Paula

@paulaaurora

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Punkte einer Funktion

Ein Punkt P $xp/yp$ liegt genau dann auf dem Graphen einer Funktion f $x$ , wenn yp = f $xp$ gilt. Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Funktion liegt, gibt es zwei Möglichkeiten:

Den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.
Den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen und das Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes vergleichen.

Example: Für die Funktion f $x$ = 1/2x² - 2 und den Punkt P $4/7,5$ : f $4$ = 1/2 · 4² - 2 = 6 ≠ 7,5 Der Punkt P liegt also nicht auf dem Graphen von f $x$ .

Highlight: Wenn eine direkte Berechnung nicht möglich ist, kann man den y-Wert durch den quadrierten x-Wert teilen, um die Zugehörigkeit eines Punktes zur Funktion zu überprüfen.

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Die quadratische Funktion

Eigenschaften der quadratischen Funktion:

Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten.
Für -1 < a < 1 ist die Parabel breiter als die Normalparabel, sonst schmaler.

Verschiebungen der Parabel:

Verschiebung in y-Richtung: f $x$ = ax² + v v > 0: Verschiebung nach oben v < 0: Verschiebung nach unten
Verschiebung in x-Richtung: f $x$ = a $x+u$ ² u > 0: Verschiebung nach links u < 0: Verschiebung nach rechts

Vocabulary: Scheitelpunktform: f $x$ = a $x+u$ ² + v mit Scheitelpunkt S $-u/v$

Die Umwandlung von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form erfolgt durch Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der Terme.

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Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform

Die Umwandlung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform erfolgt durch quadratische Ergänzung. Hier ist eine Anleitung:

Den Faktor a ausklammern
Die Zahl vor x halbieren $b/2a$
Quadratisch ergänzen $Term hinzufügen und wieder abziehen$
Binomische Formel anwenden
v-Wert berechnen

Example: f $x$ = 2x² + 9x + 15 wird zu f $x$ = 2 $x + 4,5$ ² + 4,875

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Nullstellen quadratischer Funktionen

Nullstellen sind die x-Werte, bei denen die Funktion den y-Wert 0 annimmt. Es gibt verschiedene Methoden, um Nullstellen zu berechnen:

Für f $x$ = ax²: x = 0
Für f $x$ = ax² + c: x = ±√ $-c/a$
Für f $x$ = $ax + b$ ²: x = -b/a
Für f $x$ = $x-a$ $x-b$ : x = a oder x = b
Für f $x$ = x² + px + q: x = -p/2 ± √ $(p/2$ ² - q)
Für f $x$ = ax² + bx: x = 0 oder x = -b/a
Für f $x$ = ax² + bx + c: x = $-b ± √(b² - 4ac$ ) / $2a$ $Mitternachtsformel$

Vocabulary: Mitternachtsformel: Die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Highlight: Die Wahl der Methode hängt von der Form der quadratischen Funktion ab. Die Mitternachtsformel ist universell anwendbar, aber nicht immer die effizienteste Methode.

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Vieta'sche Formeln und Lösungsverhalten

Die Vieta'schen Formeln stellen einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren Lösungen her:

x₁ + x₂ = -b/a x₁ · x₂ = c/a

Das Lösungsverhalten einer quadratischen Gleichung hängt von der Diskriminante D = b² - 4ac ab:

D > 0: zwei reelle Lösungen
D = 0: eine reelle Lösung $doppelte Nullstelle$
D < 0: keine reelle Lösung

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Grundlagen von Funktionen

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Funktionen darzustellen:

Mit Worten beschreiben
Als Funktionsvorschrift angeben
Graphisch in einem Koordinatensystem darstellen
In einer Wertetabelle auflisten
Als Funktionsgleichung formulieren

Definition: Eine Funktion ordnet jedem Wert der Eingangsgröße $x$ genau einen Wert der Ausgangsgröße $y$ zu.

Für quadratische Funktionen gibt es drei wichtige Darstellungsformen:

Allgemeine Form: f $x$ = ax² + bx + c
Scheitelpunktform: f $x$ = a $x-u$ ² + v
Linearfaktorzerlegung $Nullpunktform$ : f $x$ = a $x-x₁$ $x-x₂$

Highlight: Die Wahl der Darstellungsform hängt davon ab, welche Eigenschaften der Funktion betont werden sollen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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