Die quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c. Die rein quadratische Funktion f(x) = ax² hat ihren Scheitelpunkt im Ursprung und ist um den Faktor a gestreckt oder gestaucht.

Eigenschaften der quadratischen Funktion:

• Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten.
• Für -1 < a < 1 ist die Parabel breiter als die Normalparabel, sonst schmaler.

Verschiebungen der Parabel:

1. Verschiebung in y-Richtung: f(x) = ax² + v
   • v > 0: Verschiebung nach oben
   • v < 0: Verschiebung nach unten
2. Verschiebung in x-Richtung: f(x) = a(x+u)²
   • u > 0: Verschiebung nach links
   • u < 0: Verschiebung nach rechts

Vocabulary: Scheitelpunktform: f(x) = a(x+u)² + v mit Scheitelpunkt S(-u/v)

Die Umwandlung von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form erfolgt durch Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der Terme.

Highlight: Aus der allgemeinen Form lässt sich nur der Streckfaktor a direkt ablesen. Der Scheitelpunkt ist nicht mehr unmittelbar erkennbar.

Nullstellen quadratischer Funktionen

Nullstellen sind die x-Werte, bei denen die Funktion den y-Wert 0 annimmt. Es gibt verschiedene Methoden, um Nullstellen zu berechnen:

1. Für f(x) = ax²: x = 0
2. Für f(x) = ax² + c: x = ±√(-c/a)
3. Für f(x) = (ax + b)²: x = -b/a
4. Für f(x) = (x-a)(x-b): x = a oder x = b
5. Für f(x) = x² + px + q: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)
6. Für f(x) = ax² + bx: x = 0 oder x = -b/a
7. Für f(x) = ax² + bx + c: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a) (Mitternachtsformel)

Vocabulary: Mitternachtsformel: Die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Highlight: Die Wahl der Methode hängt von der Form der quadratischen Funktion ab. Die Mitternachtsformel ist universell anwendbar, aber nicht immer die effizienteste Methode.