Quadratische Funktionen und ihre Eigenschaften

Quadratische Funktionen sind ein fundamentales Konzept in der Mathematik, das durch die Quadrierung der Variablen gekennzeichnet ist. Die einfachste Form ist die Normalparabel mit der Funktionsgleichung f(x) = x². Es gibt zwei Hauptdarstellungsformen für quadratische Funktionen:

1. Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
2. Scheitelpunktform: f(x) = a(x-d)² + e

Diese Formen können ineinander umgewandelt werden, um verschiedene Aspekte der Funktion zu betonen.

Definition: Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, bei der die Variable zum Quadrat genommen wird.

Streckung und Stauchung

Der Streckungsfaktor a beeinflusst die Form der Parabel:

• Wenn a > 1, wird die Funktion gestreckt.
• Wenn 0 < a < 1, wird die Funktion gestaucht.
• Ein negatives a führt zu einer nach unten geöffneten Parabel.

Beispiel: Bei g(x) = 3x² ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt, während h(x) = 0,3x² eine gestauchte Parabel darstellt.

Verschiebung

Quadratische Funktionen können entlang der x- und y-Achse verschoben werden:

• Verschiebung entlang der y-Achse:

  • Nach oben: f(x) = x² + a
  • Nach unten: f(x) = x² - b

• Verschiebung entlang der x-Achse:

  • Nach rechts: f(x) = (x - c)²
  • Nach links: f(x) = (x + d)²

Highlight: Die Verschiebung einer Parabel ändert ihre Form nicht, sondern nur ihre Position im Koordinatensystem.

Nullstellen berechnen

Zur Berechnung der Nullstellen quadratischer Funktionen werden zwei Hauptmethoden verwendet:

1. p-q-Formel: x₁/₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)
2. Mitternachtsformel (abc-Formel): x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Vocabulary:

• Nullstellen: Punkte, an denen die Funktion den Wert Null annimmt.
• p-q-Formel: Methode zur Berechnung von Nullstellen in der Form f(x) = x² + px + q = 0
• Mitternachtsformel: Alternative Methode zur Berechnung von Nullstellen, auch als abc-Formel bekannt.

Diese Formeln ermöglichen es, die Schnittpunkte der quadratischen Funktion mit der x-Achse präzise zu bestimmen, was für viele praktische Anwendungen in der Mathematik und Physik von großer Bedeutung ist.