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Rekonstruktion von Funktionen
8.4.2021
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Beispiel: Ein wichtiges Diagramm findet sich im Papierkorb wieder. Es ist zwar stark beschädigt, aber glückli- cherweise sind charakteristische Teile der dargestellten Funktion noch erhal- ten. Auch die Funktionsklasse und der Anfangsteil des Funktionsterms sind noch zu erkennen. Lösung: Es ist zu erkennen, dass es sich um eine Polynomfunktion dritten Grades handelt, deren Funktionsterm mit x³ beginnt. Wir verwenden daher für die Funktion den An- f(x) = ax³ + bx²+cx+d mit a = 1. Wir bestimmen zusätzlich f' um auch Steigungseigenschaften von f erfas- sen zu können. satz Aus dem Diagramm können wir einige charakteristische Eigenschaften der Funk- tion f ablesen (vgl. rechts). Diese Eigenschaften können wir mittels f und f' in Gleichungsform darstellen. So liefert der Graphenpunkt P(-1|2) z. B. die Gleichung f(-1)=2. Setzen wir in die Ansatzgleichung aus (1) ein, so erhal- ten wir ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen b, c und d. Lösen wir dieses System mit den üblichen Methoden, so erhalten wir d=1, c= -1, b=1. Durch Einsetzen in den Ansatz folgt das Resultat: ► f(x) = x³ + x²-x+1. f(x) = x³+ Y (1) Ansatz für die Funktionsgleichung f(x) = x³ + bx² + cx+d f'(x)=3x²+2bx+c (2) Eigenschaften der Funktion f 1. f hat ein Extremum bei x = -1. 2. P(-12) liegt auf dem Graphen von f. 3. P(0|1) liegt auf dem Graphen von f. 1. f'(-1) = 0 2. f(-1) = 2 3. f(0) = 1 (3) Umsetzen der Eigenschaften in Gleichungen (4) Lösen des -2b+c= -3 b-c= 2 d= 1 X 3-2b+c=0 ⇒ −1+b-c+d=2 ⇒d=1 Gleichungssystems b =...
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1 c=-1 d= 1 1 (5) Resultat f(x) = x³ + x²-x+1 Beispiel: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Wendepunkt W(-216), die an der Stelle x = -4 ein Maximum hat. Außerdem ist die Steigung der Wen- detangente (Tangente im Wendepunkt) bekannt. Sie ist gleich - 12. Lösung: (1) Ansatz für die Funktionsgleichung Wir setzen die ganzrationale Funktion dritten Grades unter Verwendung der Parameter a, b, c und d allgemein an. Außerdem notieren wir die Funktionsterme von f' und f". f(x) = ax³ + bx² +cx+d f'(x) = 3ax² +2bx+c f"(x)=6ax+2b (2) Eigenschaften der Funktion f 1. Wendepunkt W(-2|6) (Wendestelle x = -2, Funktionswert y = 6) 2. Maximum bei x = -4 3. Steigung im Wendepunkt: -12 (4) Lösen des Gleichungssystems I: II: -12a+2b III: 48a-8b+ c IV: 12a-4b+ c -8a+4b-2c+d=6 (5) Resultat f(x)= x³ +6x² - 10 = 0 =0 = -12 2.II III-IV (3) Umsetzen der Eigenschaften in Gleichungen 1. f(-2) = 6 -8a+4b-2c+d=6 -12a + 2b f"(-2)=0 2. f'(-4)=0 48a-8b+ c 12a-4b+ c 3. f'(-2) = -12 V: -24 a + 4b = 0 VI: 36a-4b=12 V+VI VII: 12a12 in II: a = 1 =0 =0 = -12 b=6 in III: c = 0 in IV: d=-10 hat die geforderten Eigenschaften, was man leicht überprüfen kann. Beispiel: Aus Beton soll eine Skateboard-Bahn für den Park so gebaut werden, wie es die Abbildung zeigt. Die gebogenen Teile sollen ohne Knick an die geraden Teile anschließen. Ermitteln Sie für die Konstruktion die Gleichung einer Polynomfunktion, deren Graph dem gebogenen Teil nahe kommt. Entnehmen Sie die Maße der Skizze. Lösung: Der Skizze können wir entnehmen, dass die gesuchte Polynomfunktion dritten Grades ist, die die folgenden Bedingungen erfüllen muss: Ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Ur- sprung des eingezeichneten Koordinaten- systems und geht durch den Punkt P(0|0). Ein Tiefpunkt der Polynomfunktion liegt bei T(2-1,5). Somit ergibt sich folgende Rechnung: Ansatz für f: f(x) = ax³ + bx² +cx+d f'(x)=3ax² +2bx+c 3m Eigenschaften von f: (1) symmetrisch zu O (2) f(0) = 0 (3) f'(2)=0 (4) f(2)=-1,5 4m Gleichungssystem: 12a +4b+c b=0 d=0 = 0 8a+4b+2c+d=-1,5 Ах Lösung: b=0 d=0 a = 3/32 c = - 9/8 Resultat: X Das Profil der Skateboard-Bahn wird durch die Funktion f(x) = 32x³ −²x beschrieben. Beispiel: Aus Beton soll eine Skateboard-Bahn für den Park so gebaut werden, wie es die Abbildung zeigt. Die gebogenen Teile sollen ohne Knick an die geraden Teile anschließen. Ermitteln Sie für die Konstruktion die Gleichung einer Polynomfunktion, deren Graph dem gebogenen Teil nahe kommt. Entnehmen Sie die Maße der Skizze. Lösung: Der Skizze können wir entnehmen, dass die gesuchte Polynomfunktion dritten Grades ist, die die folgenden Bedingungen erfüllen muss: Ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Ur- sprung des eingezeichneten Koordinaten- systems und geht durch den Punkt P(0|0). Ein Tiefpunkt der Polynomfunktion liegt bei T(2-1,5). Somit ergibt sich folgende Rechnung: Ansatz für f: f(x) = ax³ + bx² +cx+d f'(x)=3ax² +2bx+c 3m Eigenschaften von f: (1) symmetrisch zu O (2) f(0) = 0 (3) f'(2)=0 (4) f(2)=-1,5 4m Gleichungssystem: b=0 d=0 = 0 12a + 4b+c 8a+4b+2c+d=-1,5 Ах Lösung: b=0 d=0 a = 3/32 c = - 9/8 Resultat: X Das Profil der Skateboard-Bahn wird durch die Funktion f(x) = 32x³ - ²x beschrieben. Beispiel: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Wendepunkt W(-216), die an der Stelle x = -4 ein Maximum hat. Außerdem ist die Steigung der Wen- detangente (Tangente im Wendepunkt) bekannt. Sie ist gleich - 12. Lösung: (1) Ansatz für die Funktionsgleichung Wir setzen die ganzrationale Funktion dritten Grades unter Verwendung der Parameter a, b, c und d allgemein an. Außerdem notieren wir die Funktionsterme von f' und f". f(x) = ax³ + bx² +cx+d f'(x) = 3ax² +2bx+c f"(x)=6ax+2b (2) Eigenschaften der Funktion f 1. Wendepunkt W(-2|6) (Wendestelle x = -2, Funktionswert y = 6) 2. Maximum bei x = -4 3. Steigung im Wendepunkt: -12 (4) Lösen des Gleichungssystems I: II: -12a+2b III: 48a-8b+ c IV: 12a-4b+ c -8a+4b-2c+d=6 (5) Resultat f(x)= x³ +6x² - 10 = 0 =0 = -12 2.II III-IV (3) Umsetzen der Eigenschaften in Gleichungen 1. f(-2) = 6 -8a+4b-2c+d=6 -12a + 2b f"(-2)=0 2. f'(-4)=0 48a-8b+ c 12a-4b+ c 3. f'(-2) = -12 V: -24 a + 4b = 0 VI: 36a-4b = 12 V+VI VII: 12a 12 in II: a = 1 =0 =0 = -12 b=6 in III: c = 0 in IV: d=-10 hat die geforderten Eigenschaften, was man leicht überprüfen kann.