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Rekonstruktion von Funktionen 2. und 3. Grades: Aufgaben und Übungen für Dich

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studywithme

8.4.2021

Mathe

Rekonstruktion von Funktionen

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Scheitelpunktform

2.195

•

8. Apr. 2021

•

5 Seiten

Rekonstruktion von Funktionen 2. und 3. Grades: Aufgaben und Übungen für Dich

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studywithme

@memyselfandi

Die Rekonstruktion von Funktionen 3. Gradesist ein wichtiges Konzept... Mehr anzeigen

Beispiel: Ein wichtiges Diagramm findet sich im Papierkorb wieder. Es ist zwar stark beschädigt, aber glückli- cherweise sind charakteristis

Rekonstruktion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit spezifischen Eigenschaften

Dieses Beispiel behandelt die Rekonstruktion einer Polynomfunktion 3. Grades mit einem gegebenen Wendepunkt W−2∣6-2|6, einem Maximum bei x = -4 und einer Wendetangentensteigung von -12. Der Lösungsansatz verwendet wieder die allgemeine Form fxx = ax³ + bx² + cx + d.

Definition: Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Funktion ihre Krümmungsrichtung ändert.

Die gegebenen Eigenschaften werden in folgende Gleichungen umgesetzt:

  1. f−2-2 = 6
  2. f'−4-4 = 0
  3. f'−2-2 = -12
  4. f"−2-2 = 0

Example: Das resultierende Gleichungssystem: -8a + 4b - 2c + d = 6 48a - 8b + c = 0 12a - 4b + c = -12 -12a + 2b = 0

Durch schrittweises Lösen dieses Systems erhält man a = 1, b = 6, c = 0 und d = -10. Die resultierende Funktion lautet fxx = x³ + 6x² - 10.

Highlight: Die Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades erfordert oft die Lösung von Gleichungssystemen mit 3 Unbekannten.

Beispiel: Ein wichtiges Diagramm findet sich im Papierkorb wieder. Es ist zwar stark beschädigt, aber glückli- cherweise sind charakteristis

Anwendungsbeispiel: Modellierung einer Skateboard-Bahn

In diesem praktischen Beispiel wird die Rekonstruktion von Funktionen genutzt, um das Profil einer Skateboard-Bahn zu modellieren. Die Aufgabe besteht darin, eine Polynomfunktion dritten Grades zu finden, die den gebogenen Teil der Bahn beschreibt.

Highlight: Anwendungsaufgaben wie diese zeigen die praktische Relevanz der Rekonstruktion von Funktionen in der realen Welt.

Aus der Skizze werden folgende Eigenschaften abgeleitet:

  1. Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung
  2. Sie geht durch den Punkt P0∣00|0
  3. Ein Tiefpunkt liegt bei T2∣−1,52|-1,5

Diese Informationen führen zu folgenden Bedingungen:

  1. b = 0 und d = 0 aufgrundderSymmetrieaufgrund der Symmetrie
  2. f00 = 0
  3. f'22 = 0
  4. f22 = -1,5

Example: Das resultierende Gleichungssystem: 12a + 4b + c = 0 8a + 4b + 2c + d = -1,5

Die Lösung ergibt a = 3/32 und c = -9/8. Die finale Funktion für das Profil der Skateboard-Bahn lautet fxx = 3/32x³ - 9/8x.

Vocabulary: Steckbriefaufgaben sind Aufgaben, bei denen aus gegebenen Eigenschaften einer Funktion ihre Gleichung bestimmt werden soll.

Diese praktische Anwendung demonstriert, wie Rekonstruktion von Funktionen Übungen in realen Szenarien eingesetzt werden können.

Beispiel: Ein wichtiges Diagramm findet sich im Papierkorb wieder. Es ist zwar stark beschädigt, aber glückli- cherweise sind charakteristis

Zusammenfassung der Methodik zur Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades

Die vorgestellten Beispiele zeigen die grundlegende Methodik zur Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades. Der Prozess lässt sich wie folgt zusammenfassen:

  1. Aufstellen eines allgemeinen Ansatzes: fxx = ax³ + bx² + cx + d
  2. Ableiten der Funktion zur Erfassung von Steigungseigenschaften
  3. Identifizieren charakteristischer Eigenschaften aus gegebenen Informationen
  4. Umsetzen dieser Eigenschaften in ein lineares Gleichungssystem
  5. Lösen des Gleichungssystems zur Bestimmung der Koeffizienten
  6. Einsetzen der gefundenen Werte in den ursprünglichen Ansatz

Highlight: Die Fähigkeit, Gleichungssysteme lösen zu können, ist entscheidend für die erfolgreiche Rekonstruktion von Funktionen.

Diese Methodik kann auf verschiedene Arten von Steckbriefaufgaben und Anwendungsaufgaben angewendet werden, von der Rekonstruktion beschädigter Diagramme bis hin zur Modellierung realer Objekte wie Skateboard-Bahnen.

Vocabulary: Lineare Gleichungssysteme lösen ist eine Schlüsselfertigkeit bei der Rekonstruktion von Funktionen.

Die Beispiele demonstrieren auch die Vielseitigkeit der Rekonstruktion von Funktionen Übungen, die sowohl theoretische als auch praktische Aspekte der Mathematik verbinden.

Beispiel: Ein wichtiges Diagramm findet sich im Papierkorb wieder. Es ist zwar stark beschädigt, aber glückli- cherweise sind charakteristis

Rekonstruktion einer Polynomfunktion 3. Grades aus einem beschädigten Diagramm

In diesem Beispiel wird gezeigt, wie man eine Polynomfunktion 3. Grades aus einem teilweise beschädigten Diagramm rekonstruieren kann. Der Ansatz fxx = ax³ + bx² + cx + d wird verwendet, wobei a = 1 gegeben ist. Aus dem Diagramm werden charakteristische Eigenschaften abgelesen und in ein lineares Gleichungssystem überführt.

Highlight: Der Ansatz für die Funktionsgleichung lautet fxx = x³ + bx² + cx + d mit f'xx = 3x² + 2bx + c.

Die abgelesenen Eigenschaften umfassen:

  1. Ein Extremum bei x = -1
  2. Der Punkt P−1∣2-1|2 liegt auf dem Graphen
  3. Der Punkt P0∣10|1 liegt auf dem Graphen

Diese Informationen werden in Gleichungen umgesetzt:

  1. f'−1-1 = 0
  2. f−1-1 = 2
  3. f00 = 1

Example: Das resultierende Gleichungssystem lautet: -2b + c = -3 b - c = 2 d = 1

Durch Lösen dieses Systems erhält man b = 1, c = -1 und d = 1. Das Endergebnis ist die Funktion fxx = x³ + x² - x + 1.

Vocabulary: Rekonstruktion von Funktionen bezeichnet den Prozess, bei dem aus gegebenen Eigenschaften oder Punkten die vollständige Funktionsgleichung ermittelt wird.

Beispiel: Ein wichtiges Diagramm findet sich im Papierkorb wieder. Es ist zwar stark beschädigt, aber glückli- cherweise sind charakteristis


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4.8/5

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Scheitelpunktform

 

Mathe

•

2.195

•

8. Apr. 2021

•

5 Seiten

Rekonstruktion von Funktionen 2. und 3. Grades: Aufgaben und Übungen für Dich

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studywithme

@memyselfandi

Die Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades ist ein wichtiges Konzept der höheren Mathematik, das besonders bei der Analyse von kubischen Funktionen zum Einsatz kommt.

Eine Polynomfunktion 3. Gradeslässt sich durch verschiedene charakteristische Eigenschaften eindeutig bestimmen. Dazu gehören Nullstellen, Extrempunkte,... Mehr anzeigen

Beispiel: Ein wichtiges Diagramm findet sich im Papierkorb wieder. Es ist zwar stark beschädigt, aber glückli- cherweise sind charakteristis

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Rekonstruktion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit spezifischen Eigenschaften

Dieses Beispiel behandelt die Rekonstruktion einer Polynomfunktion 3. Grades mit einem gegebenen Wendepunkt W−2∣6-2|6, einem Maximum bei x = -4 und einer Wendetangentensteigung von -12. Der Lösungsansatz verwendet wieder die allgemeine Form fxx = ax³ + bx² + cx + d.

Definition: Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Funktion ihre Krümmungsrichtung ändert.

Die gegebenen Eigenschaften werden in folgende Gleichungen umgesetzt:

  1. f−2-2 = 6
  2. f'−4-4 = 0
  3. f'−2-2 = -12
  4. f"−2-2 = 0

Example: Das resultierende Gleichungssystem: -8a + 4b - 2c + d = 6 48a - 8b + c = 0 12a - 4b + c = -12 -12a + 2b = 0

Durch schrittweises Lösen dieses Systems erhält man a = 1, b = 6, c = 0 und d = -10. Die resultierende Funktion lautet fxx = x³ + 6x² - 10.

Highlight: Die Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades erfordert oft die Lösung von Gleichungssystemen mit 3 Unbekannten.

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Anwendungsbeispiel: Modellierung einer Skateboard-Bahn

In diesem praktischen Beispiel wird die Rekonstruktion von Funktionen genutzt, um das Profil einer Skateboard-Bahn zu modellieren. Die Aufgabe besteht darin, eine Polynomfunktion dritten Grades zu finden, die den gebogenen Teil der Bahn beschreibt.

Highlight: Anwendungsaufgaben wie diese zeigen die praktische Relevanz der Rekonstruktion von Funktionen in der realen Welt.

Aus der Skizze werden folgende Eigenschaften abgeleitet:

  1. Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung
  2. Sie geht durch den Punkt P0∣00|0
  3. Ein Tiefpunkt liegt bei T2∣−1,52|-1,5

Diese Informationen führen zu folgenden Bedingungen:

  1. b = 0 und d = 0 aufgrundderSymmetrieaufgrund der Symmetrie
  2. f00 = 0
  3. f'22 = 0
  4. f22 = -1,5

Example: Das resultierende Gleichungssystem: 12a + 4b + c = 0 8a + 4b + 2c + d = -1,5

Die Lösung ergibt a = 3/32 und c = -9/8. Die finale Funktion für das Profil der Skateboard-Bahn lautet fxx = 3/32x³ - 9/8x.

Vocabulary: Steckbriefaufgaben sind Aufgaben, bei denen aus gegebenen Eigenschaften einer Funktion ihre Gleichung bestimmt werden soll.

Diese praktische Anwendung demonstriert, wie Rekonstruktion von Funktionen Übungen in realen Szenarien eingesetzt werden können.

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Zusammenfassung der Methodik zur Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades

Die vorgestellten Beispiele zeigen die grundlegende Methodik zur Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades. Der Prozess lässt sich wie folgt zusammenfassen:

  1. Aufstellen eines allgemeinen Ansatzes: fxx = ax³ + bx² + cx + d
  2. Ableiten der Funktion zur Erfassung von Steigungseigenschaften
  3. Identifizieren charakteristischer Eigenschaften aus gegebenen Informationen
  4. Umsetzen dieser Eigenschaften in ein lineares Gleichungssystem
  5. Lösen des Gleichungssystems zur Bestimmung der Koeffizienten
  6. Einsetzen der gefundenen Werte in den ursprünglichen Ansatz

Highlight: Die Fähigkeit, Gleichungssysteme lösen zu können, ist entscheidend für die erfolgreiche Rekonstruktion von Funktionen.

Diese Methodik kann auf verschiedene Arten von Steckbriefaufgaben und Anwendungsaufgaben angewendet werden, von der Rekonstruktion beschädigter Diagramme bis hin zur Modellierung realer Objekte wie Skateboard-Bahnen.

Vocabulary: Lineare Gleichungssysteme lösen ist eine Schlüsselfertigkeit bei der Rekonstruktion von Funktionen.

Die Beispiele demonstrieren auch die Vielseitigkeit der Rekonstruktion von Funktionen Übungen, die sowohl theoretische als auch praktische Aspekte der Mathematik verbinden.

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Rekonstruktion einer Polynomfunktion 3. Grades aus einem beschädigten Diagramm

In diesem Beispiel wird gezeigt, wie man eine Polynomfunktion 3. Grades aus einem teilweise beschädigten Diagramm rekonstruieren kann. Der Ansatz fxx = ax³ + bx² + cx + d wird verwendet, wobei a = 1 gegeben ist. Aus dem Diagramm werden charakteristische Eigenschaften abgelesen und in ein lineares Gleichungssystem überführt.

Highlight: Der Ansatz für die Funktionsgleichung lautet fxx = x³ + bx² + cx + d mit f'xx = 3x² + 2bx + c.

Die abgelesenen Eigenschaften umfassen:

  1. Ein Extremum bei x = -1
  2. Der Punkt P−1∣2-1|2 liegt auf dem Graphen
  3. Der Punkt P0∣10|1 liegt auf dem Graphen

Diese Informationen werden in Gleichungen umgesetzt:

  1. f'−1-1 = 0
  2. f−1-1 = 2
  3. f00 = 1

Example: Das resultierende Gleichungssystem lautet: -2b + c = -3 b - c = 2 d = 1

Durch Lösen dieses Systems erhält man b = 1, c = -1 und d = 1. Das Endergebnis ist die Funktion fxx = x³ + x² - x + 1.

Vocabulary: Rekonstruktion von Funktionen bezeichnet den Prozess, bei dem aus gegebenen Eigenschaften oder Punkten die vollständige Funktionsgleichung ermittelt wird.

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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