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Satz des Pythagoras

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8/9/10

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Satz des Pythagoras Der Satz des Pythagoras erklärt den mathematischen Zusammenhang von den beiden Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Definition beschreibt ihn wie folgt: In allen rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Flächen der Katheten- Quadrate gleich der Fläche des Quadrates der Hypotenuse. Mit Hilfe der rechten Abbildung, lässt sich dies einfacher erklären: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche a² (Quadrat über der Kathete a) ist zusammen mit der Fläche b² (Quadrat über der Kathete b) genauso groß wie die Fläche c² (Quadrat über der Hypotenuse c). Packt man diese Definition in eine mathematische Formel, lautet der Satz des Pythagoras: a² + b² = c² Die linke Abbildung zeigt dies anhand von Zahlenbeispielen. Du kannst die Punkte A, B und C verschieben. Mit dieser Formel kann man nun, falls nur zwei Längen von Seiten in einem Dreieck gegeben sind, die dritte Seitenlänge berechnen. Dafür muss man sie nach der gesuchten Seite umstellen. Das Beispiel zeigt die Berechnung von der Seitenlänge a: Kannst du die Formel für die anderen Seitenlängen umstellen? Übrigens, die Umkehrung des Satzes des Pythagoras gilt auch: Wenn für die Seiten a,b und c eines Dreiecks ABC die Gleichung a² + b² = c² gilt, ist das Dreieck rechtwinklig mit c als Hypotenuse! 6² b b² A q c/c q hc c.p a B B Kathetensatz hc² с ←⇒ Thc a² + b² = c² Р Р a² =...

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c² - b² √c²-b² a .q = Bevor uns dem Beweis des Satzes widmen, werfen wir, da einige Aspekte hilfreich sind um den ein oder anderen Beweis nachzuvollziehen, einen kurzen Blick auf die Satzgruppe des Pythagoras. | - b² IVO Die Satzgruppe des Pythagoras besteht aus drei Teilen: dem bereits erläuterten Satz des Pythagoras (inklusive der Umkehrung), dem Kathetensatz und dem Höhensatz. Die zwei Letzteren werden im folgenden kurz genannt: Der Kathetensatz Im rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über einer Kathete gleich dem Flächeninhalt des Rechteckes aus der Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt. In einer Formel sieht dies wie folgt aus (q und p sind die Hypotenusenabschnitte, die durch die Höhe auf c geteilt werden): a² = c.p b² = c.q Die Abbildung links veranschaulicht dies. Der Höhensatz Im rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrats über der Höhe gleich dem Flächeninhalt des Rechteckes aus den beiden Hypotenusenabschnitten. Auch hierfür gibt es eine Formel (q und p sind die Hypotenusenabschnitte, die durch die Höhe auf c geteilt werden): hc² = pq Die Abbildung links veranschaulicht dies. B Höhensatz