Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Der Sinussatz und der Kosinussatz sind unverzichtbare Werkzeuge für die Trigonometrie im allgemeinen Dreieck. Diese Seite erklärt die Anwendung beider Sätze anhand von Beispielen und gibt praktische Tipps zur Lösung von Aufgaben.
Sinussatz
Der Sinussatz wird verwendet, um Winkel oder Seiten in einem beliebigen Dreieck zu berechnen, wenn zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel bekannt sind. Die Formel lautet:
Definition: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
Dabei stehen a, b und c für die Seitenlängen und A, B und C für die gegenüberliegenden Winkel.
Beispiel: In einem Dreieck mit b = 5cm, B = 56° und y = 94° soll die Seite c berechnet werden.
Die Lösung erfolgt in vier Schritten:
- Überflüssigen Teil weglassen
- Nach gesuchter Größe umstellen
- Werte einsetzen
- Fertig!
In diesem Fall ergibt sich: c = (5cm * sin(94°)) / sin(56°) ≈ 6,02 cm
Kosinussatz
Der Kosinussatz kommt zum Einsatz, wenn entweder drei Seiten gegeben sind und ein Winkel gesucht wird, oder wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind und die dritte Seite gesucht wird.
Definition: c² = a² + b² - 2ab * cos(C)
Beispiel: In einem Dreieck mit a = 3cm, b = 5cm und y = 94° soll die Seite c berechnet werden.
Die Lösung erfolgt wieder in vier Schritten:
- Überflüssigen Teil weglassen
- Nach gesuchter Größe umstellen
- Werte einsetzen
- Fertig!
Das Ergebnis lautet: c ≈ 6,00772 cm
Highlight: Es ist wichtig zu wissen, wann welcher Satz anzuwenden ist. Der Kosinussatz wird verwendet, wenn drei Seiten gegeben sind und ein Winkel gesucht wird. Für alle anderen Fälle kommt der Sinussatz oder die Winkelsumme zum Einsatz.
Diese Formeln und Beispiele zeigen, wie vielseitig und nützlich der Sinussatz und der Kosinussatz in der Trigonometrie im allgemeinen Dreieck sind. Mit etwas Übung können Sinussatz Aufgaben und Kosinussatz Aufgaben effizient gelöst werden.
