Sinussatz und Kosinussatz: Grundlagen und Anwendung

Der Sinussatz und der Kosinussatz helfen dir, Dreiecke vollständig zu berechnen, auch wenn sie keinen rechten Winkel haben. Die wichtigsten Formeln sind:

Kosinussatz:

• a² = b² + c² - 2bc·cos(α)
• b² = a² + c² - 2ac·cos(β)
• c² = a² + b² - 2ab·cos(γ)

Sinussatz:

• a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)
• Oder anders ausgedrückt: a·sin(β) = b·sin(α)

💡 Merkhilfe: Der Kosinussatz ist eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras für nicht-rechtwinklige Dreiecke!

Wann benutzt du welchen Satz? Der Kosinussatz eignet sich, wenn du:

• alle drei Seiten kennst und einen Winkel suchst
• zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst und die dritte Seite suchst

Für alle anderen Fälle nutzt du den Sinussatz oder die Winkelsumme $α+β+γ = 180°$.

Beispiel 1: In einem Dreieck mit a = 3 cm, b = 5 cm und γ = 94° können wir c mit dem Kosinussatz berechnen: c² = a² + b² - 2ab·cos(γ) = 9 + 25 - 2·3·5·cos(94°) ≈ 36,05 → c ≈ 6,00 cm

Alternativ lässt sich das auch mit dem Sinussatz lösen, wenn wir mit der Formel c = b·sin(α)/sin(β) rechnen und vorher einen weiteren Winkel bestimmen.