Skript Hypothesentest, Signifikanztest

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die Wahrscheinlichkeit die Hypothese anzunehmen, obwohl nur 25 % der Schüler Hypothe- sentests verstanden haben (B-Fehler) a) Schritt 1: Nullhypothese und Zahlenstrahl Im 1. Schritt geht es ausschließlich darum, anhand der Textangabe die Wahrscheinlichkeit der Nullhy- pothese anzugeben sowie den Annahmebereich und Ablehnungsbereich am Zahlenstrahl darzustellen." Ho: p≥ 0,4 Ablehungsbereich 32 33 Annahmebereich 0 Schritt 2: Realität und Verhalten ,,Im 2. Schritt gilt es ausschließlich herauszufinden, ob die Nullhypothese wahr ist, aber abgelehnt wird, oder die Nullhypothese zwar falsch ist, aber dennoch angenommen wird." In Aufgabenstellung a) geht hervor, dass die Hypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Also: Ho ist wahr, wird abgelehnt 100 1 Schritt 3: Rechnung ,,Im 3. Schritt müssen nur noch die Erkenntnisse aus Schritt 1 und 2 in die unten stehende Formel übertragen und die Wahrscheinlichkeit berechnet werden." α = P(X ≤k) n = 100 und p = 0,4 (siehe Schritt 1) Da Ho abgelehnt wird (siehe Schritt 2) und der Ablehnungsbereich von 0 bis 32 geht, muss die Summe ebenfalls von 0 bis 32 laufen. Eingesetzt ergibt sich: (dieser Wert kann dem Tafelwerk entnommen werden!) P100 (X ≤ 32) ⇒a= 0,06150 ~ 6 % b) Zahlenstrahl bleibt gleich: 0 Ablehungsbereich 0 1 Stochastik Schritt 2: In Aufgabenstellung b) geht hervor, dass die Hypothese fälschlicherweise angenommen wurde, obwohl sie falsch ist, da nur 25 % aller Schüler Hypothesentests verstehen. Also: Ho ist falsch, wird angenommen Ablehnungsbereich Schritt 3: Rechnung n = 100 und p = 0,25 (da nur 25 % aller Schüler die Hypothesentests verstehen) Da Ho angenommen wird (siehe Schritt 2) und der Annahmebereich von 33 bis 100 geht, muss die Summe ebenfalls von 33 bis 100 laufen. Eingesetzt ergibt sich: B = P(X33) (dieser Wert kann noch nicht dem Tafelwerk entnommen werden!) Wie auch bei Bernoulli-Experimenten kann hier über das Gegenereignis weiter gerechnet werden: B = 1- P12(X ≤ 32) = 1-0,9554 = 0,0446 Beispiel: (Hypothesentest Typ II) Aufgrund der Befragung von 200 Abiturienten soll die Hypothese getestet werden, dass mindestens 40 % aller Prüflinge das Thema Hypothesentests verstanden haben. Bestimme den maximalen Ablehnungsbereich auf dem Signifikanzniveau (= Fehler 1. Art) von 5 %. Ansatz: Jetzt ist der a-Fehler (= Signifikanzniveau) gegeben und k gesucht! Schritt 1: Nullhypothese und Zahlenstrahl Ho p≥ 0,4 Schritt 2: Realität und Verhalten Ho ist wahr, wird abgelehnt Schritt 3: Rechnung H 32 33 P200 (X ≤k) ≤ 0,05 Annahmebereich ⇒k 68 (Siehe Tafelwerk!) Ā= {0,...,68}; A = {69,...,200} 100 k k+1 Annahmebereich 200 2 Bemerkung: • Mit folgendem Diagramm kann leicht festgestellt werden, ob es sich um den Fehler 1. Art oder um den Fehler 2. Art handelt. Entscheidung Wahrer Zustand 1 Stochastik Beibehaltung von Ho Ho Richtige Entscheidung a-Fehler (Fehler 1. Art) H₁ B-Fehler (Fehler 2. Art) Richtige Entscheidung Ablehnung von Ho • Signifikanzniveau: (wenn k gesucht ist) Mit Hypothesentests kann aber auch k berechnet werden, falls der Fehler 1. Art bzw. 2. Art vorgegeben sind. Sollte in der Aufgabenstellung das Wort „Signifikanzniveau" auftreten, so ist damit prinzipiell der Fehler 1. Art gemeint. • Die Nullhypothese erkennt man stets am "größer-gleich"- oder "kleiner-gleich"-Zeichen! Aufgabe 1: Durch Befragung der 200 Prüflinge soll die Hypothese getestet werden, dass höchstens 25% (Nullhypothese) der Prüflinge dieses Abiturjahrgangs in Bayern noch nicht wissen, wie sie sich nach der Abiturprüfung beruflich orientieren sollen. Sollten mehr als 64 der 200 Schüler noch unentschlossen sein, wird die Hypothese abgelehnt. a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Hypothese abgelehnt wird, obwohl 25% der Prüflinge in Bayern noch nicht wissen, wie sie sich beruflich orientieren sollen. b) Schildere eine Situation, die bei obigen Test einen Fehler 2. Art beschreibt (Ohne Rechnung!). Aufgabe 2: Eine Firma vermutet, dass in der IT-Branche mindestens 60 % der Bewerber einen Eignungstest einem herkömmlichen Bewerbungsgespräch vorziehen würden. Kann diese Hypothese auf dem Signifikanzniveau von 5% abgelehnt werden, wenn bei einer Befragung von 200 zufällig ausgewählten Bewerbern nur 109 einen Eignungstest bevorzugen? Verwende die Nullhypothese Ho: p2 0,6 Aufgabe 3: Für die Abschätzung der Zuschauerquote werden 200 repräsentativ ermittelte Personen befragt. Es wird vermutet, dass höchstens 25 % der Befragten die Quizshow verfolgt haben. Sollten weniger als 50 der befragten Personen die Quizshow gesehen haben, so soll diese abgesetzt werden. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Quizshow abgesetzt wird, obwohl in Wirklichkeit die Zuschauerquote bei 30 % liegt. Aufgabe 4: Es wird behauptet, ein Faxgerät hat eine Ausschussquote von mehr als 4 %. Um diese Behauptung auf dem Signifikanzniveau von 5 % zu testen, werden 200 Faxe versendet. Ermittle die zugehörige Entscheidungsregel. 3 S. 4 S. 5 S. 5 S. 5 Lösungen Lösung 1: a) Ho: p ≤ 0,25 Annahmebereich H 64 65 Ablehnungsbereich 0 Ho ist wahr, wird abgelehnt. a = P22(X>65) = a = 1 - P22(X ≤ 64) = 1-0,98967 = 0,01033 ≈ 1,0 % 200 b) Ho ist falsch, wird angenommen Es wird angenommen, dass höchstens 25 % aller Abiturienten nicht wissen, was sie nach dem Abitur machen möchten, obwohl in Wirklichkeit mehr als 25 % nicht über ihre Zukunft Bescheid wissen. 4 S. 3 Lösung 2: Ho: p≥ 0,6 Ablehnungsbereich 0 Ho ist wahr, wird abgelehnt P200 (X ≤k) ≤ 0,05 0,6 Lösung 3: Ho: p ≤ 0,25 0 ⇒ k = 108 Ā= {0,...,108}; A = {109,...,200} Die Nullhypothese kann bei 109 Bewerbern, welche einen Eignungstest bevorzugen, nicht abgelehnt werden, da ab 109 angenommen wird. Annahmebereich 0 Annahmebereich k k+1 Ho ist wahr, wird abgelehnt p200 Pö4(X > k+1)<0,05 1-P2004 (X ≤k) ≤ 0,05 -1 49 50 Lösungen Lösung 4: Da in der Angabe nicht explizit die Nullhypothese angebeben wurde, richtet sich die Nullhypothese immer gegen die Behauptung. Ho: p ≤ 0,04 ⇒k = 13 A = {0,...,13}; A = {14,...,200} Ho ist falsch, wird angenommen Da die Nullhypothese falsch ist, muss hier mit der wahren Wahrscheinlichkeit, also p = 30% weitergerechnet werden! B = P20 (X ≤49) = 0,05059 ≈ 5,1 % k -P2004 (X ≤k) ≤ -0,95 (-1) P2004 (X ≤k) ≥ 0,95 Annahmebereich Ablehnungsbereich k+1 200 Ablehnungsbereich 200 200 5 S. 3 S. 3 S. 3