Potenzregel und Summenregel der Integralrechnung

Die Potenzregel ist eine grundlegende Regel in der Integralrechnung, die es ermöglicht, Potenzen zu integrieren. Sie besagt, dass das Integral von x^n gleich (1/(n+1)) * x^(n+1) ist, wobei n ≠ -1.

Definition: Die Potenzregel Integral lautet: ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C, für n ≠ -1.

Ein konkretes Beispiel verdeutlicht die Anwendung:

Beispiel: Für f(x) = x^2 ist die Stammfunktion F(x) = ∫x^2 dx = (1/3) * x^3.

Die Probe durch Ableiten bestätigt die Korrektheit: F'(x) = (1/3) * 3x^2 = x^2 = f(x).

Die Summenregel Integral ist eine weitere wichtige Regel, die besagt, dass das Integral einer Summe gleich der Summe der einzelnen Integrale ist.

Definition: Die Summenregel Integral lautet: ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx.

Ein Beispiel zur Veranschaulichung:

Beispiel: Für f(x) = x^2 + x^3 ist die Stammfunktion F(x) = ∫(x^2 + x^3) dx = (1/3)x^3 + (1/4)x^4.

Die Faktorregel Integral erlaubt es, Konstanten aus dem Integral herauszuziehen:

Definition: Die Faktorregel Integral lautet: ∫a * f(x) dx = a * ∫f(x) dx, wobei a eine Konstante ist.

Ein Beispiel zur Verdeutlichung:

Beispiel: Für f(x) = 5x^2 ist die Stammfunktion F(x) = ∫5x^2 dx = 5 * ∫x^2 dx = 5 * (1/3)x^3 = (5/3)x^3.

Diese Regeln bilden die Grundlage für komplexere Integrationsaufgaben und sind essentiell für jeden Integralrechner.