Potenzregel und Summenregel der Integralrechnung
Die Potenzregel ist eine grundlegende Regel in der Integralrechnung, die es ermöglicht, Potenzen zu integrieren. Sie besagt, dass das Integral von x^n gleich 1/(n+1) * x^n+1 ist, wobei n ≠ -1.
Definition: Die Potenzregel Integral lautet: ∫x^n dx = 1/(n+1) * x^n+1 + C, für n ≠ -1.
Ein konkretes Beispiel verdeutlicht die Anwendung:
Beispiel: Für fx = x^2 ist die Stammfunktion Fx = ∫x^2 dx = 1/3 * x^3.
Die Probe durch Ableiten bestätigt die Korrektheit: F'x = 1/3 * 3x^2 = x^2 = fx.
Die Summenregel Integral ist eine weitere wichtige Regel, die besagt, dass das Integral einer Summe gleich der Summe der einzelnen Integrale ist.
Definition: Die Summenregel Integral lautet: ∫f(x + gx) dx = ∫fx dx + ∫gx dx.
Ein Beispiel zur Veranschaulichung:
Beispiel: Für fx = x^2 + x^3 ist die Stammfunktion Fx = ∫x2+x3 dx = 1/3x^3 + 1/4x^4.
Die Faktorregel Integral erlaubt es, Konstanten aus dem Integral herauszuziehen:
Definition: Die Faktorregel Integral lautet: ∫a * fx dx = a * ∫fx dx, wobei a eine Konstante ist.
Ein Beispiel zur Verdeutlichung:
Beispiel: Für fx = 5x^2 ist die Stammfunktion Fx = ∫5x^2 dx = 5 * ∫x^2 dx = 5 * 1/3x^3 = 5/3x^3.
Diese Regeln bilden die Grundlage für komplexere Integrationsaufgaben und sind essentiell für jeden Integralrechner.
