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STOCHASTIK [WAHRSCHEINLICHKEITEN]
GRUNDLAGEN
✓ = Ereignismenge alle Möglichkeiten
2 {1; 2; 3; 4; 5; 63
Ergebnis ein möglicher Ausgang
x = {2
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x = {2

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STOCHASTIK [WAHRSCHEINLICHKEITEN] GRUNDLAGEN ✓ = Ereignismenge alle Möglichkeiten 2 {1; 2; 3; 4; 5; 63 Ergebnis ein möglicher Ausgang x = {2} A = Ereignis Teilmenge der Ergebnismenge z. B. A. {2,4,6} A = Gegenereignis: alle Ausgange, die nicht in A enthalten sind X = P(B) • absolute Häufigkeit gibt an, wie oft das Ergebnis bei n Versuchen vorkam • relative Häufigkeit der Quotient aus absoluter Häufigkeit und der Anzahl n der Durchführungen des Experiments ● Laplace-Experiment: alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich PFADREGELN Darstellung mithilfe eines Baumdiagrammes P(B) PRODUKTREGEL → Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert B SUMMENREGEL → Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zu E gehörenden Ergebnisse addiert B PB (A) PB (A) PB (A) PB (A) A: EREIGNISBESCHREIBUNG P (BnA) -A P(BOA) A. P(BNA) MENGENSCHREIBWEISE A. P(BnA) Alle Ereignisse aus, die A sind Vereinigung von A B Vereinigungsmenge Alle Ereignisse aus, die nicht in A sind (Gegenereignis zu A) Z.B. Sowohl Ereignis A als auch B treten ein → Schnittmenge z. B. Keines der beiden Ereignissen tritt ein Genau eines der beiden Ereignissen tritt ein z. B. Ā: {1,3,5} P(ANB)=P(B). PB(A) Produktregel MENGENSCHREIBWEISE IAI P(A) = 102²1 P(A) = P(BNA) + P(BNA) → Summenregel A = A ,,ohne AnB schnitt zwischen" höchstens X < mindestens: X> Au beide zusammen 21 AUB weniger als: X < X > mehr als : (ANB) u (ANB) MENGENDIAGRAMM BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, unter der Bedingung, dass auch A eintrat „Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A" Bsp: → zweimal ziehen ohne zurücklegen 1....

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Alternativer Bildtext:

Wahrscheinlichkeit, dass die 2. Kugel rot ist, wenn die 1. Kugel auch rot war P (A) == 1 5 rote 9 Kugeln 4 orangene 2. Wahrscheinlichkeit, dass die 2. Kugel rol ist, wenn die 1. Kugel orange war PB (A) = / Allg.. PA (B) B B P(ANB) P(ANB) P(A) P(ANB) P(ANB) P(A) WP(B) PIB) SUMME (1) A A 1. Eine beliebige Person der Reisegruppe mit Sonnenbrille geht verloren. Mit welcher Wahrsch. ist die Person mannlich? VIERFELDERTAFEL dient zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignissen P(ANB) P(A) B 140 150 1. Ziehen B- orangene Kugel 2. Ziehen : A= rote Kugel 0,9333 2) Ziehen mit Zurücklegen P(B) = 음음 PA (B) = ? BEISPIEL: Aus einer Ume werden zwei kugeln gezogen Sind A und B stochastisch unabhängig? 10 + 10 10 A um. A A W 200 STOCHASTISCHE (UN)ABHÄNGIGKEIT BEDINGUNGEN FÜR STOCH. UNABHÄNGIGKEIT: A) PB(A) = P(A) / PA (B) = P(B) 2) P(ANB) = P(A). P(B) B 140 P(B)= PA (B) B 10 40 50 Bsp.: Bei einer Reisegruppe tragen 60 von 200 Männern keine Sonnenbrille. Von den Frauen tragen 10 eine und 40 keine. Sonnen- brille 200-60= 140 keine Sonnenbrille 60 (150 100 250 B P(B) = PA (B) = A => PA (B) = P(AnB) P(A) Sonnenbrille 10 200 Männer + 50 Frouen = 250 Personen keine Sonnenbrille 40 PA (B) P(B) → A und B sind stochastisch abhängig A: rote Kugel im 1. Zug B. rote Kugel im 2. Zug A 응 5 B A b) Ziehen ohne zurücklegen A B: Person ist männlich B: Person ist weiblich A trägt Sonnenbrille A trögt keine Sonnenbrille 웅 A + 1/1/03/= 3/2/20 • ohne Zurücklegen = Abhängigkeit mit Zurücklegen = Unabhängigkeit →P(B) PA (B) KOMBINATORIK n Anzahl auswählbarer Objekte k: Treffer (ausgewählte Objekte Mit Reihenfolge (Variation) Ohne Reihenfolge (Kombination) Anordnung/Vertauschung (Permutation) mit Wiederholung (mit zurücklegen" > nk (naked) BERNOULLI-EXPERIMENT n! k₁! ·k₂!.- km! "n aber k" EIGENSCHAFTEN > Experiment mit zwei Ausgängen (Treffer A + Niete à = 1) Experiment wird n-mal durchgeführt > Wahrscheinlichkeit bleibt immer gleich (mit Zurücklegen ") FORMEL VON BERNOULLI Liegt eine Bernoulli-Kette der Längen mit der Trefferwahrscheinlichkeit p vor, so wird die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer (wenn die Zufallsgröße X die Anzahl der Treffer beschreibt) mit Bn;p (k) bezeichnet Bn;p (k)= P(x=k) = (2). pk. (^-p) ^-k ohne Wiederholung (ohne zurücklegen") (2). k (2) n! Treffer wahrscheinlichkeit KUMULIERTE WAHRSCHEINLICHKEIT Summe mehrerer Wahrscheinlichkeiten zur Trefferzahl k Nicht-Trefferwahrscheinlichkeit P(xsk) = P(x=0) + P(x=1) + .... P(x = k) A. genau k Treffer P(x=k) binomial pdf 2. höchstens k Treffer P(xsk) → binomialcdf 3. mindestens k Treffer P(x=k) = 1- P(xs k-1)→ binomialcdf 4. weniger als k Treffer P(x<k) = P(x≤k-1)→ binomialcdf 5. mehr als k Treffer P(x >k) = 1 - P(xsk) → binomialcdf 6. mind. k, höchstens h Treffer P(ksxsh) = P(xsh) - P(xs k-1)→ binomialcdf einzelne Wahrscheinlichkeiten →binomial pdf kumulierte Wahrscheinlichkeiten binomial cdf HISTOGRAMME Abhängigkeit der Binomialverteilung von p (n=5 = konstant.) Bsp.: #4 1 p= 0,1 2 3 3 n=3 di 0 1 2 0 1 Abhängigkeit der Binomiolverteilung von n (p=04 = konst.) 2 2 4 3 p=0,35 ERWARTUNGSWERT + STANDARTABWEICHUNG ERWARTUNGSWERT M gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung zu erwarten ist Bsp.: Gewinn / Verlust auf lange Sicht (<0 = unfair ; > 0 fair) th 2 STANDARTABWEICHUNG 6 ist eine Maßzahl zur Charakterisieru einer Wahrscheinlichkeitsverteilun p=0,5 o = √n.p. (1-P) Je größer p, umso weiter rechts Liegt das Maximum der Verteilung p=0,5 mit wachsendem n M = n • p •Symmetrische Verteilung Verteilung flacher Verteilung symmetrischer Je größero, desto breiter der Graph