Stochastik

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= (Auszahlung-Einsatz) Wahrscheinlichkeit Einsatz ändern für ein faires Spiel: f(e)= (k₁-e) P(x= k₁) +... (Kn-e) P(X=kn) = 0 My = n. Mx Oy = √n ox Versuch mit der Zufallsgröße X n-mal durchführen: Punktsumme Zufallsgröße Y Wahrscheinlichkeitsverteilung: P(X= k) = √sum (k-μ)².P(K) Simulation der Mittelwerte: Zufallsbereich (a,b) GTR randit (a,b,n) im GTR: k= L1; P(X=K)=L2₁ μ = e S:= √sum ((L1-e) ². L2) Auszahlung ändern für ein faires Spiel: M(a)= K, P(X=K₁)+... (a-Einsatz) P(X=Kn)=0 M=(randit (a.b.n)) ↳ Wahrscheinlichkeit Mittelwertbildung aus n-Messwerten: -Gesetz →→ je größer n, desto kleineres Prognoseintervall ↳ Länge des Intervalls halbieren = n vervierfachen Binomialkoeffizient : (R)= Anzahl der Pfade für k Treffer (ohne Reihenfolge) Pascallsches Dreieck GTR ncr (n,r) (R)= K (n-k)! != Fakultät Beispiel: (3)=3! (5-3)!= 54824 = 10 Regeln (8)=1=(n) (2) = n = (n-1) BERNI -zwei Möglichkeiten Treffer; nicht Treffer -Wahrscheinlichkeit bleibt gleich Pfade mit Pascall'schem Dreieck darstellbar Grundfunktionen Binomialverteilung: 1. Trefferzahl k: P(X= k) =B₁,p(k) binompdf (n.p.k) 2.kumulierte W.: P(X≤ k) = Fnip (k) binomcdf (n,p,k) 3. askeb Treffer: P(a≤x≤ b)= Fn₁p (a≤x≤ b) binomcdf (n,p,a,b) Erwertungswert: μ= np Standardabweichung: o = √n.p.(1-P) Aussagen über Unbekannte treffen: Suche nach n händisch: in P(X=K) = (R) pk (1-p)n-k einsetzen und auflösen Bsp. p=0,25; P(X=0) = 0,05 (8) 0,25° (1-0,25)-0 = 0,75" 0,75 0,05 0,75 = 0,05 11090,75 n (090,75 (0,05) = 10,41 => 11 im GTR: in der Tabelle = seq (a, a, Startwert, Endwert, Schrittweite) 1 2 3 4 Berechnung der Wahrscheinlichkeit: P(X=K) = (R)-pk-(1-p)n-k Binomialverteilung binompdf (01, p,k) binomcdf (a1,p, k) binomcdf (a1, p,k,a1) binomcdf (a1, p, a,b) Sigmaregel: 1. PM-0≤x≤μ + 0) = 68,3% 2.P(μ-20 ≤X≤M+20) ≈ 95,4% 3.P(μ-30 ≤X M +30) = 99,7% Prozentzahl der Ergebnisse die im jeweiligen Intervall liegen. je größer n (der Umfragenfragen-Umfang) ist, desto aussagekräftiger sind die Ergebnisse. Suche nach p in der Tabelle: =seq (a, a, 0, 1, Schrittweite) ↳Schrittweite 3x ändern (für genauere Werte p) 0,1 0,01 0,001 in der Tabelle: Bsp. = binomcdf (n,a1, k) → P(X=k)=Bn;p (k) → P(X≤k)=Fn₁p (k) → P(X²K)= Fnip (K≤n) →P(a≤x≤ b)=Fnip (a≤k≤b) nach der gegebenen Wahrscheinlichkeit P suchen und Werte davor und danach angeben. das Schwankungsintervall ist das 20-Intervall (95% aller zu erwartenden Ergebnisse h liegen im 20-Intervall) X liegt im Intervall μ± 20: [μ-20 ≤XM-20] (n-p)-2.(√n-p.(1-p) ) ≤ x ≤ (n⋅p) +2. (√n.p.(1-p)) IGSINTERVALL Schwankungsintervall der Häufigkeit h um die reale Wahrscheinlichkeit p: berechnetes: [p-2.JP-(-p) p+2. √P.(1-0 i geschätztes: [p-p+] => p= h± 2 relative Häufigkeit (h) berechnen: (n-p)-2.(√n-p.(1-P) ) ≤ x ≤ (n⋅p) +2·(√n⋅p. (1-p)) 1+h P-2. √(1-P) == n² p+2. P-2. √P.(1-P) <h²p+2. 品 √h. (1-h) √n => h= p± 2 √n VERTRAUENSINTERVALL berechnetes: [-2. Jh.(1-h) geschätztes [h-₁h+√] · das Vertrauensintervall ist das 20-Intervall, nur nach p umgestellt (p wird zu 95,4% in dem Intervall vermutet) √P-(1-P) √h.(1-h) ¡h+2. √n √n.p.(1-P) vn √P.(1-P) ] merken: h = h = = SIGNIFIKANZTEST • widerlegen / bestätigen der Nullhypothese durch überprüfen der Wahrscheinlichkeit eines Beispiels (Werte für n und k) beidseitige Betrachtung max. 2,5% 1 Beispiel: Signifikanzniveau 5% Ho: p= 0,5 (Bsp.) Linker Ablehnungsbereich: P(k<a) = 0,025 P(K) < 0,025 P(K₂) ≥ 0,025 mind. 957 Annahmebereich [a,b] Ablehnungsbereich Linksseitiger Test: einseitige Betrachtung Beispiel: Signifikanzniveau 5% P(k<a)<5/ Fnip (k) < 5% max. 5 % Ablehnungsbereich [0;b-1] Berechnung: Tabellenfunktion = seq (a, a, 0, n, 1) = binomcdf (n,p,a1) Bsp. => Annahmebereich [k₂ ik3] überprüfen ob k (gegeben) im Intervall liegt, um die Nullhypothese (nicht) zu widerlegen max. 2,5%. Ho: P mind. 95%. Annahmebereich [bin] P(k≥a) ≥ 95% Fnip (k≤x≤n) ² 95% Nullhypothese (Ho): Aussage Signifikanzniveau (<<): Genauigkeit der Überprüfung ↳ Bsp. 5% (5% Fehler erlaubt) rechter Ablehnungsbereich: P(k>b) ≥ 0,975 P(K₂) ≤ 0,975 P(ky) > 0,975 rechtsseitiger Test: Beispiel: Signifikanzniveau 5% Ho: P mind. 95%. max. 5%. Annahmebereich [0;b] Ablehnungsbereich [b+1;n] P(k≤ b) ≥ 957 Fnip (k) 2 95% P(k>b) < 5% Fn;p (k≤x≤n) < 5% => Annahmebereich [k₂ ik3] überprüfen ob k (gegeben) im Intervall liegt, um die Nullhypothese (nicht) zu widerlegen AT Wenn eine wahre Nullhypothese verworfen wird Wahrscheinlichkeit für Fehler berechnen: 1. Ablehnungsbereich bestimmen 2. Wahrscheinlichkeit für Ablehnungsbereich Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art FEHLER 2.ART Wenn eine falsche Nullhypothe akzeptiert wird Wahrscheinlichkeit für Fehler berechnen: 1. Annahmebereich der Nullhypothese (alte Trefferwahrscheinlichkeit) 2. Wahrscheinlichkeit für Annahmebereich mit neuer Trefferwahrs. Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art = Beispiel: Ho: 0,6 n= 50 A= [24.50] A= [0,23] F50;0,6 (r≤23)= Fehler 1. Art x = 5% Beispiel: Ho: 0,6 n= 50; A- [24.50] A = [0,235 p (real): 0.5 F50.0,5 (24≤ r ≤50)= Fehler 2. Art x = 5% Was ist eine normalverteilte Zufallsgröße ? binomialverteilt: P(X=K) o-Intervall X: Anzahl der ben Gauß'sche Glockenkurve HP bei M. WP bei Mo e't? GTR Funktionswerte: μ₁0 (x) = y К Pdf (x, M,0) Beispiel: HP/WP von 14,0,2 RTEILUNG r+0,5 Brip (r) = μ₁0 (x) r-0,5 binomial normal normalverteilt: Anzahl M CAR o WP X= M²0 X: Gewicht der Äpfel bzw. Anzahl Wahrscheinlichkeitsdichte Verschiebung um den Erwartungswert HP: 140,2 (4) = 1,99 normPdf (4,4,0.2) WP: 4,0₁2 (3,8) = 1,2 normPdf (3,8;4;0,2) → Krümmung um die Standardabweichung HP: M: 0 (M) WP: PM₁0 (μ±0) Normalverteilung als Näherung für binomialverteilte: Beispiel: X: Anzahl der ben, n= 100, p= 1/6 B600;16 (100) = 0,0437 zugehörige Funktion f: M= n p = 100 o= √n-p-(1-p) 9,13 Hmm. -(x-μ)² Home -(x-μ)² 20 Wahrscheinlichkeiten von a bis b: Integral von G(x) von a bis b => GTR normcdf (a, b, M,0) 100,S P(X=100) S 4₁ Beispiel: Wahrscheinl. von fo;1 von r²1,15 S10₁1(x) dx = 0,125 1,15 normcdf (1,15; 1000 ; 0; 1) G(x)= Pμ₁0 (x) P(10-Intervall) ✓ [90,87;109.13] [91; 109] 99,5 100; 9,13 (x) dx = 0.0437 normcdf (99.5; 100,5; 100; 9,13). 109,5 S. Im 90,5 100; 9,13 {μ, (x) dx O√Ze (x) dx = 0,701 -(x-μ)²