Stochastik

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von beiden. • Teilmenge: BCA (B ist Teilmenge von A) = Ā Gegenereignis Wahrscheinlichkeiten eines Gegenereignisses "A" be- zeichnet man P(A) = 1 - P(A) Reihenfolge Burücklegen Relative Häufigkeit: Anteil an geordnet: "Reihenfolge wichtig" ungeordnet, Reihenfolge egal" L> Zu beachten bei Aufgabenstellung mit Zuricklegen gleiches Objent mehrfach ohne Zunichlagen: Objekt nur Baumdiagramen PAL Absolute Häufigkeit: Anzahl an betrachteten ->Zählen PAT stochastische Unabhängigkeit. Wahrscheinlichkest gleichbleibend = Laplace Experiment Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt: unabhängig von einem weiteren P(An B) -PA). P(B) PAB absolute Häufigkeit Anzahl Gesamt BRP (ANB) B) O einmal stochastische Abhängigkeit. Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich (= bedingte Wahrscheinlichkeit) L> Anderenfalls nennt man die Ereignisse stochastisch abhängig abhängig von einem weiteren Faktor Tipp: betrachteten Objekten mit einem = O,... % PlanB) ⒸPUnB) Vienfeld tos fel: (8) ⒸPU) Bedingte Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis B eintritt unter der Bedingung, dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist berechnet man wie folgt: PA (B) = PAB) PA) PA (B) = P(AnB) P(A) A • Am Baumdiagramm erkennt man stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B an guichen Wahrscheinlichkeiten auf den Teilpfaden der 2. Stufe. • Sind zwei Ereignisse stochastisch abhängig, folgt daraus nicht zwangsläufig, dass das eine Ereignis Ursache des anderen ist. A gesamt In der Vierfeldertafel erkennt man die stochastische Unabhängigkeit daran, dass die Werte der inneren Felder die Produkte der Werte aus den Rand felden sind. B P(A und 2) P (AnB) PU und 1) -P(Ang) X P (8) B Objekten mit einem gescunt PlAnd -PANE) P (it und Pan) P (2) P(3) → P(A) 1 bestimmten Merkmal →>>> bestimmten Merkmal 1 diskret: auf ganze Zahlen bestimmbar (Bernoulli) stetig: unendlich genau bestimmbar (Normalverteilung) Fatutor Satz von Bayes: ↳ zum ausrechnen umgekehrten Baumdiagramms Die Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung B PB (1) berechnet man wie folgt: P₂ (4)=P(4) PA(S) PA) PA(B) + PLA). PĀ (B) Wahrscheinlichkeitsverteilungen- Zufallsgröße Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl k zu. Zufallsgrößen werden mit Großbuchstaben, z. B. X, Y, Z, bezeichnet. der bedingten Wahrscheinlichkeit des Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X ordnet jedem Wert k der Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeit P(X=k) des Ereignisses X-k zu. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse der Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt exakt 1. Nimmt eine Zufallsgröße X die Werte a, a, a, mit den Wahrscheinlichkeiten P(X-ai), P(X-a:)....P(X-a) an, dann wird der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung als Erwartungswert E(X) der Zufallsgröße X bezeichnet. Es gilt: E(X)= a₁∙ P(Xa₁) + a; · P(X=a;) + ... + an · P(X=a…). Statt E(X) schreibt man auch u (mü). Zufallsgröße: was Ergebnisse sein können P(x=k): Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis eintritt μ = L> wenn Ex) = 0 E(X): Erwartungswert ≈ Mittel wert L> gibt Durchschnittliches Ergebnis vom Wahrscheinlichkeitsexperiment Ex) = k₁P+k₂ P ist (beim Glücksspiel) →z.B. Würfel 1-6 -> 2.B. Rad mit 3 Farben -> Zahlen zuordnen, damit vereinfacht es fair wenn Spiel fair sein sol k durch Variable ersetzen und = 0 setzen Wahrscheinlichkeitsverteilung von X k 0 1 2 mögliche Ergebnisse P(X=k) 0,25 0,375 0.25 0,125 Summe: 1 Varianz Ausmaß der Varianten I die zu erwartende Abweichung / wie breit gefächert ist. der Versuch V(x) = (K₁-E(x))² P(x=k) + (k₂= E(X)) ². P(x=K) k-P(X-k) 0 0,375 0,50 0,375 E(X)=1,25 Standardtabweichung durchschnittliche Abweichung des Erwartungswerts EX) Benoulli-Experiment: Benoulli Sn über k L> Wahrscheinlichkeit mit Baumdiagramm ausrechnen. 1. Pfadregel, der einzelnen Pfade in der gesuchtes Ereignis eintrifft Diese dann addieren für gesamte Wahrscheinlichkeit L> Wahrscheinlichkeit ohne Baumdiagramm ausrechnen mit Bernoulli - Formel über den Binomialkoeffizent Kette: Binomialkoeffizient: n= Anzahl der Versuche, k = Anzahl der Treffer Fakultät n (n-1)(n-2) 28.5 = 5.48.21 = 1₂0 L> beschreibt die Anzahl n. (n-1)·(n.2).... (n-(k-1)) = n! k! nur Erfolg oder Misserfolg betrachtet (Zufallsexperiment mit 2 Ergebnissen) wenn ein Bernoulli - Experiment n-mal durchführen ! Wahrscheinlichkeit darf sich nicht verändern! Bernoulli-Formel· P(x=k) = MIT TR BERECHNEN: je mehr n Erwartungswert bei: E = μ = n₁p Bernoulli - Versuchen love veli zieh ich/k-faches rows Ziehen Standardabweichung bei: o = √n.p Bernoulli- Versuchen n, desto = 0 k!·(n-k)! der Pfade, bei denen das Ereignis Eintritt k Stufen Erfolg P (2). ↑ Anzahl der Pfade mit geneuk Er følgen P untere obere i Schranke • Schranke Binomialverteilung: Wahrscheinlichkeitsverteilung mit allen Wahrscheinlichkeiten für k = 0,1,..., n L> Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse müssen = 1 sein 9 √n.p. (1-P) CAS für genau k Erfolge: binom pdf (n, Pik). Kumulierte Binomialverteilung: Aufsummierte Wahrscheinlichkeiten (bestimmtes Intervall) CAS für höchsten / mindestens usu. Erfolge: binom colf (n.P TR: n Cr (nik) menu-5-3 graphische Darstellungen im Hinblick auf Parameter und Kenngrößen n-kn-k Stufen Miss- erfolg Pfad wahrscheinlichkeit eines Pfades mit genau k Erfolgen breiter ist Binomialverteilung bis 1 genauer Prognose intervalle (1) Punktschätzung = μ = n₁p ● (2) mit Sigma-Regeln im Fall 03 folgende Prognose intervalle angeben Anzahl der Erfolge mit jeweiliger Sicherheitswahrscheinlichkeit liegt: ● ● Sigmaregeln: % innerhalb ≈ 68% 90% Sicherheitswahrscheinlichkeit 95% Sicherheitswahrscheinlichkeit 99% Sicherheitswahrscheinlichkeit Bereich ло 1,640 1.960 20 2,580 30 90% 95% 95.5% 99% 99.7% B hoch signifikante Abweichung von μ % außerhalb 32% - 10% 5% n-stufige Bernoullikette mit Erfolgswahrscheinlichkeit pi kann erwartende Anzahl an Erfolgen prognostiziert werden 4,5% 1% 0.3% Signifikante Abweichung von μ -> verträglich -> Signifikant abweichend [μ- 1,640μ + 1.640. м- лідь о; м+ 1,96 о M-2,58 0; M + 2,58 ->hochsignifikant abweichend μ-2.560 M-1,960 Stichprobenergebnis verträglich mit u Signifikante Abweichung von μ N+1,960 H4 2.580 Umsetzung: Laplace-Bedingung: 0 > 3! mit n und mit м mit Tabelle M (Erwartungswert). = [...] Intervall (1) n = (2) n = 2 (1.96)². p. (1-p). d = Um wie viel darf das Ereignis der Umfrage , wenn p unbekannt hoch signifikante Abweichung von u P -> μ ausrechnen und P -> ausrechnen den Bereich Wahl eines genügend großen Stichprobenumfang Mindestumfang für eine Stichprobe bestimmen- 1,96 ². 0.25₁ I ist; in denen die -/+ Bereich der prozentualen Anteil von realen Wert abweichen wenn eine Schätzung von p vorliegt ausrechnen Grenzen der Säulen Daten Häufigkeitsdichte (Anteil: klassenbreite) Data & statistics. • Daten der x-Achse zuordnen (y-Ache nicht beschriften Plot-Typ. Histogram. Plot - Eigenschaft - Maßstab - Dichte Plot Eigenschaft - Säuleneinstellung-variable Säulen breiten Grenze / → bei gleichen Abständen Gleich in Säuleneinstellung Säulengrenzen r O 20 40 50 preis 49 55 39 22 49 HISTOGRAMM klassifizierter Daten als Liste anlegen (,, rechts & links", 2.B. 0,20,40.50) 49 39 rel. H. h * 10+ 18 * Klassenbreite kb 20 10 30 Häufigkeits- d =h/kb Fichte Häufigkeitsdichte 0,05 a04 003 0,02 0.01 * countif (preis, 20 ≤ ? ≤ 40) + Countif (preis, 40 < ? ≤ 50) *countif (preis, 50 < ? ≤ 80) visualisiert die (Häufigkeits-) Verteilung der Daten 23 Dichte 10 Die Notwendigkeit von Histogrammen: - Statistische Daten klassiert darzustellen. 0.02 20 rel. H.. = 20.0.02 20 30 40 50 60 70 Normalverteilung: /Gaußverteilung / Glockenkurve f(x) / Pμ₁0 = Gaußeglocken funktion: fix = (x) 20 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -5 L> meistens ablesbar -1 ↳> CAS: invnom (P, M₁ Dichtefunktion: stellt Häufigkeit von Ereignissen dar 1/(x=-1² ^ √2.TT. Häufigkeit Von X 0 X WENN: f(x) = - 1 o) - bis Grenze (also nur eine Grene bestimmen) k für 0≤x≤4 0 sonst e μ=0, σ²=0.2, μ=0, ²=1.0, μ=0, 0²-5.0. μ=-2, 0²=0.5, 3 1. f(x) 0für allexe R Les gibt keine negativen. Wahrscheinlichkeiten Parameter bestimmen für Dichtefunktion a) Bestimmen Sie den Wert von k für den feine Dichtefunktion ist. per Hand: Wert k so bestimmen, dass 4 xor dx = [2 kur] =BK_Aus 3x = 1, Folgt k = || =8k 8 8k= 1 3 ⒸP (1 ≤ x ≤ 3) = ¹x dx = [76 1=1 OPTCX43)= P, auch für % Umgebung aus Informationen über Anteile auf die Parameter und o einer normal verteilten Zufallsgröße schließen · 3% kleiner als 96cm 10<x< 100 м делам чи. 96 и. лист · o.x solve (0,03= normcdf (-∞, 96, 103.5, x)₁ x X Beispiel 1: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = - OP(X23)=P(3 ≤x≤4)= (54) = [ { rok = } x dx Is da Grensen [94] 3 stetige Zufallsgröße X, wenn für alle a, be R mit -> beschreibt immer eine Normalverteilung | F(x) dx = 1 Eine auf R definierte Funktion fheißt Dichtefunktion, wenn gilt: 2. jf 2. f(x) dx = 1 =1 gilt. -> = und ke R mit CAS: solve mit CAS: solve b) Berechnen Sie OP(1 ≤X ≤3) P(X23) P (a ≤ x ≤ b) = (f(x) dx Fur 0≤x≤4 gittf(x) = {x. Stetige Zufallsgröße: unendlich. Hochpunkt 3 P(a≤ x ≤ b) = • = Breite der Kurve je kleiner die Standardabweichung, desto kleiner die Häufigkeit von anderen Werten als dem Erwartungswert = Schmalere Kurve Flächeninhalt unter den Kurven immer = 1 Flächen zw. zwei Werten = Wahrscheinlichkeit, dass x in diesem Bereich liegt ->x mit größter Häufigkeit L> CAS nomcdf (a, b, μ₁0) oder mit -00/00 als Grenze menu-6-5-2 SYMIC k = ({(k-x) dx = 1, k) = K² / / = (1 k dr = 1₁ k) dx Wahrscheinlichkeiten mit Dichte funktion berechnen: kx für 0≤x≤4 0 sonst genau bestimmbar asb gilt P(a sx ≤ b) = f(x) dx |kle) ox Mio (x) dx und ke R Grenzen von 0 bis 4 integrieren - Integral ausrechnen Integrieren laufleiten + oben - unten) Funktion=1 setzen nach (k) bzw. ges. auflösen CAS: Integral ausrechnen mit menu, 4,3