Satz von Bayes und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diese Seite behandelt fortgeschrittene Konzepte der Stochastik, die oft in Stochastik Aufgaben für das Abitur mit Lösungen vorkommen. Der Satz von Bayes wird als Methode zur Berechnung umgekehrter bedingter Wahrscheinlichkeiten vorgestellt.

Formel: Der Satz von Bayes lautet: P_B(A) = [P(A) · P_A(B)] / [P(A) · P_A(B) + P(Ā) · P_Ā(B)]

Die Seite führt das Konzept der Zufallsgröße ein, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden als Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten einer Zufallsgröße erklärt.

Definition: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem Wert k einer Zufallsgröße X die Wahrscheinlichkeit P(X=k) zu, wobei die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.

Der Erwartungswert E(X) wird als wichtige Kenngröße einer Wahrscheinlichkeitsverteilung eingeführt. Er repräsentiert den Mittelwert der Verteilung und gibt das durchschnittliche Ergebnis eines Wahrscheinlichkeitsexperiments an.

Highlight: Der Erwartungswert E(X) wird berechnet als Summe der Produkte jedes möglichen Wertes mit seiner Wahrscheinlichkeit: E(X) = Σ (a_i · P(X=a_i))

Example: Bei einem fairen Würfel wäre der Erwartungswert E(X) = (1+2+3+4+5+6) · (1/6) = 3,5

Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis komplexerer Stochastik-Aufgaben im Abitur und bilden die Basis für weiterführende Themen wie die Binomial- und Normalverteilung.