Stochastik - Abitur 2022

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der Wahrscheinlichkeit. an Zufallsvariable oder Zufallsgröße X Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist - absolute Häufigkeit Ergebnismenge - relative Häufigkeit LAPLACE- Experiment Zufalls experiment, bei dem alle Ergebnisse die selbe Wahrscheinlichkeit haben: Zuordnungsvorschrift, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Größe zuordnet. 0 Prergesnamengea der · LAPLACE-Formel zur Berechnung Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A Anzahl der Ergebnisse bei denen A Eintritt. ergesnismenge Р A Metustufige Zufallsexperimente. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrfach durchgeführten Zufallsexperimenten Darstellung im Baumdiagramm: Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. 6 ✔ - Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu . diesem Ereignis gehören. P (B) B PA (B) B P (B) PA (B) •bedingte Wahrscheinlichkeit P(A) A B B P(A) Ā Berechnung: P₂ (B) Sate Wahrscheinlichkeit des Eintreten eines. Ereignisses B unter der Bedingung, dass das Eintreten eines anderen PLANBI P(A) Ereignisses A bereits bekannt ist: PA (B) Darstellung 4-Felder - Tafel. A A [ P(ANB) PLANB) P(B) P(ANB) P(ANB) P(B) P(A) PLĀ) 1 = P (B) = P(A) P(ANB) PLA von Bayes PB (A) P(B) n B P(AB) B P(AB) P(ANB) PLANB) + PLANBI : B) stochastische Unabhängigkeit Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten eines Ereignisses keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des Statistik Erfassung, Auswertung und Darstellung von experimentell oder empirisch gewonnenen Daten - Eintretens des Eweiten Ereignisses hat. P(ANB) = P(A) · P₂ (B) = P(A) · P(B) Median: wert in der Mitte einer Datenverteilung Beispiel: X X X 8 7 8 10 12 15 15 16 = 8 3 Mittelwert bei gegebener Urliste Xn ;Xz ; X3 ; Хи alle Messwerte addieren und durch. Anzahl n teilen: xổ (X, + X +x₁) • bei gegebener Häufigkeitsverteilung Werte mai mai mzi ... jeweils zugehörigen relativen Häufigkeiten hai h₂ h₂: hn multiplizieren und anschließend addieren x = M₁ · h₁ + m₂. h₂ + m₂. hz +... . 2 + X, + ... mn mit den + m₂·hn Standardabweichung. • misst Streuung der Ergebnisse Mittelwert um den wenn viele Werte weit vom Mittelwert entfernt sind, erhöhen sie den Wert der * Standardabweichung s Berechnung bei Urlisten S = √Á · [(X₁₂ - X )² + (X₂ - \ )² + (x₂ −X ) ² + ... + (x₂ −X ₁²³ Berechnung bei Häufigkeitsverteilungen S = √(m₁-X 1². h₁ + (m₂-x) ². h₂ + · + (mn -x)² · hn Standardabweichungsintervall •S-Intervall mit dem Mittelpunkt = [X=S; X +S] Gauß'sche Faustregel zum Sinn der Standardabweichung • bei zufälligen Messfehlern weichen ca. 68,3%. der Messwerte höchstens um die Standardabweichung s vom. Mittelwert & as 68, 31. der Messwerte liegen Standardabweichungs intervall im Ein Spiel ist fair, wenn M=0 gilt! Stochastik Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ergebnisse in Zufallsexperimenten Wahrscheinlichkeitsverteilung. • Funktion, bei der jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments like bestimmte Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Erwartungswert . • Wert, den man auf lange bezüglich der Zufallsvariable ernortet. Prognose für den zu erwartenden Mittelwert " . Sicht Berechnung: - Zufallsvariable (West) multipliziert mit der dazugehöngen Wahrscheinlichkeit Addition mit dem nächsten Produkt - E(X) = μ (X) = X₂₁ · P(X²X₁₂ ) + ... + X₁ ·P(X= xn) prognostische Standardabweichung • Berechnung: - Summe der quadrierten Abweichungen aller Messwerte vom Mittelwert mit der relativen Häufigkeit der Messwerte multiplizieren - vom Ergebnis die Wurzel zieken - 0 (x) = √(x₂₁-μ)² · P(X=x₂) + ... + (x₂ - μ)² · P(X=X₂) J Bernoulli - Experimente und Binomialverteilung Bernoulli-Experimente. P - Binomialverteilung. • Zufallsexperimente mit nur zwei möglichen Ausgängen: Treffer vs. Nicht-Treffer diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung D - malige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments Wiederholungen sind stochastisch unabhängig Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei allen wiederholungen gleich • Aufsummierung mehrerer Bernoulli-Wahrscheinlich keiten Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Treffers mit der Bernoulli - Formel: X: binomial verfeilte Zufallsgröße P(X= k) = (k) p² .gnok = gn=k = Brip (k) A = (2) Binomial koeffizient 9 A.R. p: Treffer wahrscheinlichkeit 9: Nicht-Treffer wahrscheinlichkeit (1-p=9) k: Anzahl der Treffer n-k: Anzahl der Nicht-Treffer - mit GTR- Einsatz: P(X= k) = binom Polf (nip; k ) menu; 5; 5; A U.G: untere Grenze ⒸG: obere Grenze 7. . Berechnung der kommulierten Treffer wahrscheinlichkeit: X: binomial verteilte Zufallsgröße -P(X ≤ k ) » & (i) · p¹.q jo • P ( X = k) = binom Colf (n₁ p₁i, k) menu; 5; 5; B - P(X = k) = 2 (²).pk . qn-* k - - P(u. 6 ≤ X ≤0. G.) = binom Cdf (n₁ p. u. 6, 0.6.) graphische Darstellung auf dem GTR 3 P ( X = k) = binom Cdf ( n, p, k₁. (n) P (1.6 ≤ x ≤ 0.G.) = ≤ (u.G.).p² 0.6. u. 6 n-u.G. u. G. = Seq (i, i, u. G., o. G.) - B: binut List & Spreadsheet An - - binom Pdf (n, p. menu, 3 8 } k Treffern Berechnung: GTR: menu, 5, 3: per Hand: n! (2) = =k! (n-k)! Binomialkoeffizient • A = (2) Anzahl der Pfade mit genau A) (Daten-> . • 9 $ • Ergebnisdiagramin) nCr (n₁ k) 4 1 vereinfacht: im Nenner im Zähler von n runter multiplizieren Beispiel: (§) = 5: * ? nik- O von Pascal'sches Dreieck 1 bis k hoch multiplizieren gleich viele Faktoren 1 2 3 4 Binomial verteilungen als Histogramme darstellen /0/1/2/3/4/5/ 11 /^/^/ /1/2/1 /1/3/3/1 /1/4/6/4/1 5/1/5/10/10/5/1 Balkendiagramme Erwartungswert M: Wert der x-Achse beim höchsten Balken • Standardabweichung o: Wende stellen der Glocke im Abstand o zum Maximum. • Veränderung von n - je größer n, desto flacher die Balken mit wachsendem in werden die Verteilungen ..symmetrischer Veränderung von р · für p und 1-p sind die Histogramme Spiegel symmetrisch 11 42 8.16 0.16 0.12 0.1 1.00 0:00 9.04 0.02 (914 9.12 0.04 0.10 0.15 6.14 BI 0.00 0:38 ↓ Vergrößerung von n → flachee Balken Binomialverteilung: Histogramm 0.50 0.14 8.12 0.1 600 0.00 $ 10.00 - p<0,5 Verteilung linkslastig -p>0,5: Verteilung rechts lastig a Auffälligkeiten für p= 0,5 -Verteilung in Form einer in Form einer gleichmäßigen Glocke -Erfolg und Misserfolg sind gleich wahrscheinlich. Binomialverteilung: Histogramm Binomialverteilung: Histogramm n = 40 p=0.5 Erwartungswert: = 20 Standardabweichung: 3.16 n = 60 p=0.5 Erwartungswert: 4= 30 A Standardabweichung: 3.87 ↓ Vergrößerung von p ; spiegelsymmetrisch Binomialverteilung: Histogramm n = 40 p=0.3 Erwartungswert: = 12 Standardabweichung: 2.9 n = 40 p=0.7 Erwartungswert: = 28 ・ gleichmäßige Verteilung Standardabweichung: 2.9 4 gleichmäßige Verteilung • links lastige Verteilung rechtslastige Verteilung 2 2 e Erwartungswart im Durchschnitt zu erwartender Wert bei Vielen versuchen . Standardabweichung Berechnung bei Binomial verteilungen: 0= √n-p・ (1-P) 3 Berechnung bei Binomial verteilungen: M = n · p Standardabweichungsintervall • [μ=0; μ+0] - 0 wenn die Intervallgrenzen nicht ganzzahlig sind, berücksichtigt nur die ganzen Zahlen, die näher am Erwartungswert liegen als innere Intervallgrenze Beispiel: ju= 3 0= 1,55 man [3-1,55; 3 + 1,55] = [1,45; 4,55] => [24] Sigmaregeln • mit Vergrößerung des Intervalls nimmt die Aussagekraft ab ・ geben an mit welcher Wahrscheinlich keit die Werte einer binomialverteilten Zufallsgröße in bestimmten Intervallen um den Erwartungswert in liegen. 11 Sigmaregeln Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p, dem Erwartungs- wert un.p und der Standardabweichung o= √n-p (1-p) erhält man folgende Näherungen: 10-, 20-, 30-Regel 1. P(u-osxsu+σ) = 68,3% 2. Ρ(μ-205X5μ +20) = 95,4% 3. P(u-30≤x≤μ+30) = 99,7% P(X=r) AF 0,08 0,07- 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 30 99,7% 95,4% 45 68% 50 bzw. für ,glatte" Wahrscheinlichkeiten 4. P(u-1,640≤x≤μ+1,640) = 90% 5. Ρ(μ-1,960s Xsu+1,966) = 95% 6. P(u - 2,586 ≤X <μ +2,58 σ) = 99% + 10 n 125 P=0,4 20 farbenblind sind? 3σ 65 fehlende Parameter bestimmen. ·P bestimmen: Anzahl r 70 -Aufgabe: Aus einer Statistik geht hervor, dass 3% aller Kugelschreiber defekt sind. Mit welcher Wahrscheinlich keit 15 Schreibern keiner defekt? ist von - P(X= 0) = binom Polf (15, 0,03, 0) = 63,33% •n bestimmen. · Aufgase: In einem Land sind 51. der mämlichen Bevölkerung farbenblind. groß Gruppe von Männern mindestens sein, damit mit Wie muss eine in mit mindesters 90%. anzeigen für n=157: P(X= 5) = 0,897 Wahrscheinlichkeit mindestens 5 Leute für n= 158: P(X= 5) = 0, 900 => n = 158 Fig. 2 - P(X ≥ 5) = 0,9 > f(x) = binom (df (n. 0,05, 5, n) tabellarisch lassen: p bestimmen -Aufgabe: Jedes Bauteil in einer Produktionsserie fällt mit einer Wahrschein- lichkeit höchstens aus. Wie darf p P groß sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% mindestens, höchstens 10 von 100 Bauteilen ausfallen? P ( X = 10) ≥ 0,8 binom Colf (100, Pi => p≈ 0, 082 354 ≈ 0,08 - * Hypothesentests Vermutung der Treffer wahrscheinlichkeit wird überprüft mithilfe des Signifikanzniveaus um von Stichprobe auf Gesamtheit zu schließen Vorgehen, 0₁ 10) = 0,8 Insolve Aufstellen der Hypothesen: Null hypothese Ho Hypothese, die getestet wird L wird erst verworfen, wenn die Ergebnisse aus der Stichprobe nicht dazu passen но: p=po - - Alternativhypothese H₁.. Gegenteil der Null hypothese Zweiseitiger signifikana test • Mill hypothese und Alternativ hypothese H₁: p& Po • Stichprobenumfang In und Signifikuneniveaux festlegen Annahmebereich [a; b] der Millhypothose festlegen bei bestimme : GTR menu; 5; S; C inv Binom (kum. W'keit in;p) bei berechne 0 festlegen: H₂ = p=po * - n : tabellarische Darstellung von: f(x) = binom Colf (n. Po, 0₁x) untere Intervallgrenze a: für x ≤a (bei x = 5%) obere Intervallgrenze b für x ≤5 PCX ≤ b) > 0,975 (bei x = 54.) P(x ≤a) > 0,025 Durchführung bei einer Stichprobe Umfang n vom - Ho wird angenommen, wenn das Stichprobenergebnis im Arrahmebereich liegt Irrtumswahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit Ho zu verwerfen, obwohl Ho entrifft. • Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs. Einseitiger Signifikanztest . n und Signifikanz- Stichprobenumfung niveau & festlegen Als Testgröße X wird die Trefferzahl verwendet Linksseitiger Test • Nullhypothese und Alternativhypothese fest legen Ho: p = po 4 oder p = po H₁: p< po Annahmebereich [a; n] der Millhypothese festlegen: - tabellarische Darstellung von fcx) = binom (df (ni po, 0₁ x) a: - untere Intervallgrenze für x≤ a (bei x = 51₁: P(X ≤a) > 0,05 - obere Intervallgrenze Stichprobenumfung n H₁: papo. P(X≤ a) > X R Rechtsseitiger Test • Will hypothese und Alternativ hypothese festlegen: Ho: p=Po oder p= po • Annahme bereich [0; 6.] der Millhypothose festlegen: - tabellarische Darstellung von fax)" binom Cdf (n. Po, 0₁x) - untere Intervallgrenze 0. 11 Ho ablehnen -ta/2 O Zweiseitig - obere Untervallgrenze b: für x ≤ b P(X≤5) > 1-x (bei x=51: P(X≤6) > 0,95 Ho beibehalten * Durchführung bei einer Stichprobe vom Umfang in - Ho wird angenommen, wenn die Trefferzahl X im Annahmebereich. liegt ta/2 Ho ablehnen Ho ablehnen -ta Nullhypothese wird ... Linksseitig Ho beibehalten verworfen akzeptiert Rechtsseitig Ho beibehalten Fehler beim Testen von Hypothesen Eine Hypothese kann nie zu 100%. widerlegt bzw. bestätigt werden. Demnach kann jede Entscheidung, die auf Basis der Mullhypothese getroffen wurde, falsch sein es gibt 4 Fälle: Zustand der Wirklichkeit Nullhypothese wahr Fehler 1. Art (α) richtige Entscheidung ta/2 Nullhypothese falsch richtige Entscheidung Fehler 2. Art (3) • Einfluss des Stichprobenumfangs. -Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art. Ho ablehnen von n erhöht sich bei Vergrößering -Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art verringert sich bei Vergrößerung von n 2 . Einfluss des Annahmebereichs. -Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art. verringert sich bei vergrößerung des Annahmebereichs Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art vergrößert sich bei Vergrößerung des Annahmebereichs - der Annahmebereich wird durch eine Verringerung des Signifikanz niveaus & Vergrößert Berechnung der Wahrscheinlichkeit des x-Fehlers (Irrtumswahrscheinlichkeit - Festlegen - von Enfalls variable X, Stichprobenumpang n und Signifikaneniveaux Aufstellen von Mullhypothese and Alternativhypothose Berechnung des Annahmebereichs - Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit P(x-Fehler) = 1-P(Annahmebereich) P(x-Fehler) = P(Ablehnungsbereich) Beispiel: - H₂: Po ≤0, S H₁: P₁>0₁5 x = 5% n=25 X = # Anzahl der Stücke, deren Qualität richtig erkannt wurde Annahmebereich [0:17] P(x-Fehler) = 1 - P ( X ≤ 17 ) = 0,021643... ≈ 2, 16%. P(x-Fehler) = P ( X = 18 ) = 0,021643.. ~ 2, 164. . Berechnung des ß-Fehlers -Festlegen von Zufallsvariable & Stichproben- umping in and signifikanzniveaux - Aufstellen von Willhypothese und Alternativhypothese der Wahrscheinlichkeit -Berechnung des Annahmebereichs - Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit mit alternativer Trefferwahrscheinlichkeit P(B-Fehler) = P(Annahmebereich trotz anderer Treffernah scheinlichkeit) -Beispiel: Wie Ho p≤as H₁ p₁>0₁5 x=51₁ n = 25 A: [0; 17] groß list die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn Friedrich die Musikqualität tatsächlich mit 70-prozentiger Wahrscheinlichkeit kennt ? P (ß-Fehler) = P(X0₁7 ≤ 17 ) = 0,488151... ~ 48,82%. 2 37 1. Stetige Zufallsgrößen und Normalverteilung • Zufallsgrößen sind reellwertig mit beliebig cielen Nachkommastellen wahrscheinlichkeitsdichte / Dichte funktion • Funktion f. aus der man wahrscheinlich- keiten durch Integration erhält • Funktionswerte fox) sind keine • D Wahrscheinlichkeiten. Wahrscheinlichkeit für den exakten Wert x der Zufallsgröße X ist immer 0 Wahrscheinlichkeiten zu offenen und geschlossenen Intervallen gleich: P(r≤x≤s) = P(r<x<s) Bedingungen Eine Funktion of heißt Dichte funktion über einem Intercall I= [a; b], wenn - f(x) = @ für alle x aus I Funktion schneidet & -Achse nie - · {fox) dx = 1 eine reellwertige Zufallsgröße mit Werten im Intervall I heißt stetig verteilt mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f, wenn für alle v.s. P(r≤ x ≤s) = $for dx aus I gilt: Erwartungswert •Berechnung: M = {x・ f∞x) dx gilt: von Stetig verteilten Zufallsvariablen 14 * Beispiel: f(x) = 30x ILO, 103 10 10 M² M. √x. 50x dr = $$x ² dx = [X²+c] 10 fox olu * Standardabweichung von stetigen Zufallsvariables Berechnung 0= √² (x-μ)². f(x) dx Beispiel: f(x) = 50x μ = 6 3 0² = √√√ ₁² ( x − 6 ²³3² ) ²³². 50°x dx' = √2,36 = $ Gaußsche Glockenfunktion Dichte funktion, durch welche sich die Wahrscheinlichkeiten zufälliger Messfehler beschreiben lassen Wahrscheinlichkeitschichte der Normal verteilung • Formel: A Pμ₁0 (X) == 0 -√²T o 1 4 I LO 101 e $&mia (x) dx = Eigenschaften: Maximal Hochpunkt: H GU LOVET :) - Wendepunkte bei x = μ1± 0: W(μzo love.e-²) W(M=0 20²2 Graph ist achsensymmetrisch zu x= μ 8 $40 (x) dx = 1 & b-u 5 Yoin (x) dx (Standard - Glochen- 916 & funktion) 0 J Standard - Glocken funktion -1=0 ● - Poin (X) = Normalverteilung Eine stetige Enfallsgröße & heißt normal verteilt mit den Parametern M und o wenn sie eine Gaußische Glockenfunktion als Wahrscheinlichkeits- dichte besitzt. • Erwartungswert +00 M = 5x. Qμ₁0 (x) dx -8 1 7 27 5 Standardabweichung 0 = √5 (x-μ)². Qμ; 0 (x) dx Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten. - stetige Zufallsgröße X ist normalverteilt P(X=R) = $ 4μ; & (x) dx P ( X = k) = √ 44 ₁0 (x) dx -Berechnung mit GTR : norm (df (u.s, o.S, μ, 0) menu 5,2 Berechnung von Intervallgrenzen - stetige Zufallsgröße X ist normalverteilt - Beispiel: e 1 2 -4² menu, 55, 3 P(X < C) = 0₁7 10 M=8 0=2 $ 48:2 (x) dx = 0,7 C = inv Norm (Fläche, µ, o ) = inv/brm (0,7; 8; 2) = 9,0488 79,05 U.S. untere Schranke o. S obere Schanke 11 Satz von de Moivre - Laplace • zur Beschreibung ganzzahliger Zufallsgrößen (binomialverteilt) Ste tigkeitskortektur: Vergrößerung des Integrations intervalls (Scheunte 10 M=n·P e & € 0= √n.p・ (-p)' P(X= k) = Brip (k) ~ 4 μ; 0 (k) 9+05 P(a≤x≤ b) ≈ PM: 0 (x) dx P(X=k) • Beispiel: Die Anzahl & der Resinen in Rosinenbrötchen lässt sich näherungsweise durch eine Normalverteilung mit M = 14,2 und 0 = 3,5 beschreiben. Wie groß ist die Wahrscheinlich keit dass ein Brötchen genau 14 Rosinen enthalt: P(X= 14 ) = √ {₁,5 414,2 13,5 (x) dx = 0, 11 x 17. 14,5 03 0.25 0.2 0.15 0,1 0.05 0 0 1 2 3 k a-0,5 4 - Normalverteilung Binomialverteilung 5 Mittelwerte bei Normalverteilungen • wenn eine Zufallsgröße X normalverteilt ist mit μ und ox, dam sind auch die Mittelwert & normalverteilt gleicher Erwartungswert 뜸 Hypothesentest bei normalverteilten Zufallsgrößen • nur zweiseitiger signifikana test • man verwirft Hypothese über den Erwartungswert M, wenn der statistische Mittelwert zu weit vom Erwartungswert entfernt ist • Vorgehen. Stichprobenumfang wählen Mittelwert x aus n Daten bestimmen: + x n ) - Signifikanzniveau festlegen · Annahmebereich A Berechnen - = . A = [μ-Faktor · F; M + Faktor fo] nach außen runden bei x = 51. = A = [µμ- 1,96 FiM + 1,96 to ] - Hypothese testen: Hypothese wird angenommen, wenn & I imerhalb des Annahme bereichs liegt. Es liegt also eine Normalverteitung vor. nützliche Werte beim zweiseitigen Signifikanztest (→Bestimmung des Faktors) Intervall radius angehänge wil schlichkeit Signifikanzniveau 2,5760 99% 11. 1,960 o 95% 5% 1,6450 90% 1,2810 80% 0,674 0 50%. 101. 20% 50%