Stochastik Abiturzusammenfassung

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→→ Alle Elemente von A Sind auch Elemente von B B A B Schnittmenge An B→ Schnittmenge von A und B Aist eine Teilmenge. bzw. Untermenge von B. BIA A vereinigungsmenge AUB →vereinigungsmenge von. A und B W A Komplementmenge Alle Elemente, die in A und B enthalten Sind Alle Elemente, die zu A oder B gehören Differenzmenge A Sind alle Elemente, die Inicht in A enthalten sind Alle Elemente, die in B liegen, aber nicht in A W (a) (h Pē (A) PIBĀ) Beispiel: B 5 b e in L Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt unter der Bedingung, da dass ein anderes Ereignis B eingetreten ist P(B) Für Zwei Ereignisse A und B mit (P(B) #0) ist P(ANB) PB(A) = die bedingte Wahrscheinlichkeit P.(B) für Ereignis A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. Baumdiagramm le -PB (A) PB(A) P(BNA) P(BOA) 19 Kugeln -5 rote \4 4 PB (A) = = = 1/2 = 50% 8 P (B) Orangene PB(A) = 62,5% 8 Darstellungsmöglichkeiten. B PB(A) P(BnA) Multiplikationssatz: PIAN B)=P(B)⋅ PB (A) → Zweimal ziehen ohne Zurücklegen 1. Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 2. Kugel rot ist, Wenn die 1. Kugel auch rot war 9 ţ e 2. Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 2. Kugel rot ist, Wenn die 1. Kugel orange war 2. Ziehen: Ereignis A: rote kugel 1. Ziehen: Ereignis B: Orangene Kugel 3. Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide kugeln rot sind P(ANB) = P(B) · P₁ (A) = 5/0 ₁2/23 - 12/10 - 12/12 = 27,78% 1/1.1/12 - 11/128 1 A A Summe B P(ANB) PAB) P(B) B P(ANB) P(ANB) P(B) Summe P(A) P(A) 1 Vierfeldertafel. 9 J|0 00/07) Zufallsvariablen Zufallsgrößel Zufallsvariable Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuches eine reele Zahl zu. X= x; ist das Ereignis, zu dem alle Ergebnisse des Zufallsversuches genören, deren Eintritt dazu führt, dass die Zufalls variable X den Wert x; annimmt Xi, Man Spricht von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X, wenn jedem Wert. den X annehmen kann, die Wahrscheinlichkeit P(X= x;) mit der X diesen Wert annimmt, "geordnet wird. Erwartungswert einer Zufallsgröße X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge x₁, ..., Xn Dann ist M = E(X)= X₁₂₁ · P(x=x₂₁) + X₂ · P ( X = x₂) + ... + X₁ • P(X= xn) M = E(X) U Erwartungswert Varianz einer Zufallsgröße X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge x₁, ..., xn und dem Erwartungswert μ = E(X) · V(x) = (x₁ -μ)². P(x = x₁) + (x₂¯M)². P ( x = x₂) + ... + (x₁ -M) ². P(x = x₂) Standardabweichung Die Standardabweichung 1st die Wurzel aus der varianz 0(x)=1V(x)' Zufallsgrößen einer Bernoulli-Kette X sei die Trefferzahl in einer Bernoulli-Kette der Länge n und der Treffer wahrscheinlichkeit p, dann gilt:. M = E(x)=n.p. und O(x)=₁h.p. (1-P) varianz Histogramme der Binomialverteilung und ihrer Eigenschaften Abhängigkeit der Binomialverteilung von p (n=5= konst.): B5, p p=0,35 P=0,65 h LLL L je größer p, umso weiter rechts liegt das Maximum der verteilung p=gs → symmetrische Verteilung Es gilt: Bn;p 0 P=0,1 fürk ist das gleiche wie Bn₁1-p für m=n-k (→Bn; q und Bn, 1-p Sind Spiegel symmetrisch zueinander) Abhängigkeit der Binomialverteilung von n (p=0,4 = Konst.): Bn, 0, 4 n=3 dh dh dh 4 p= 0,5 0 mit wachsendem n→ verteilung flacher Mit wachsendem n →verteilung symmetrischer 10 Stochastische Unabhängigkeit Zwei Ereignisse Sind Stochastisch unabhängig, wenn gilt. PB(A) = P(A) (P(A) #0, P(B) + 0) Beispiel: Aus einer Urne werden zwei Kugeln gezogen. A: rote Kugel im 1. Zug B: rote Kugel im 2. Zug Sind A und B stochastisch unabhängig? 6 10 a) Ziehen mit Zurücklegen Baumdiagramm 6 10 alf 1. Zug 2.Zug Gleichwertige Bedingungen für Stochastische Unabhängigkeit 1) PB (A) = P(A) 2) PA (B) = P(B) 3) P(ANB)=P(A). P(B) 019 4 10 →P(B) = P₁ (B) Die Ereignisse A und B Sind Stochastisch unabhängig TONIG ∙P (B) = (1/10 · 46 ) + (40 - 4) = ²/3/ P₁ (B) = = ² (grün markiert). b) Ziehen ohne Zurücklegen Baumdiagramm colut 6 10 عام 0 1. Zug 9 2. Zug P₁(B) = 6 P(B) = 11871 colf color. 4 + cla O 10 g (grün markiert) →P (B) = PA (B). Die Ereignisse A und B Sind nicht Stochastisch unabhängig allgemeine Form: S ड P = Vierfeldertafel Vierfeldertafeln dienen zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse Beispiel: Bei einer Reisegruppe von Touristen, tragen 60 von 200 Männern keine Sonnenbrille und von den Frauen tragen 10 eine Sonnenbrille und 40 tragen keine. M A А B P(ANB) PAB) P(B) 40 250 B. P(ANB) P(ANB) P(B) P(A) P(A) Summe P(MOS) 140 P(S) 150 (140) 10 M 60 200. 50 = 0,16 = 16% 40 150 100 250 Sonnenbrille Eine beliebige Person der Reisegruppe mit Sonnenbrille geht verloren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Person männlich? P₂ (M)= 0,9333=93,33 % In die 5 Randfelder werden die zeilen- und Spaltensummen eingetragen. ( bedingte Wahrscheinlichkeit. PB (A) = tragen keine Sonnenbrille Sonnenbrille keine 200-60=140 M: die Person ist männlich M: die Person ist weiblich 200 Männer + 50 Frauen = 250 Menschen Wie wahrscheinlich ist es, dass eine beliebige Person der Reisegruppe eine Frau ist und keine Sonnenbrille trägt?. S: die Person trägt eine Sonnenbrille S: die Person keine Sonnenbrille Sonnenbrille Sonnenbrille 60 10 P(ANB) P(B) keine Sonnenbrille 40 Binomialverteilung Bernoulli-Experiment. man spricht von einem Bernoulli- Experiment, wenn bei einem Zufallsexperiment nur 2 Ausgänge möglich sind, E und E. E gilt als Erfolg und E als Misserfolg. Die Treffer wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten von E. Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment n-mal, Spricht man von einer Bernoulli-kette der Längen mit der Trefferwahrscheinlichkeit p... Formel von Bernoulli Liegt eine Bernoulli-kette der Länge in mit der Trefferwahrscheinlichkeit p vor, so wird die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer mit B(n; p; k) bezeichnet. P(x = k) = B(n;p;k) = (2).pk. (1-p)n-k Bsp Binomialverteilte Zufallsgrößen Binomialverteilung Es sein eine natürliche Zahl und pe [0,1] line reele Zahl. Binomial koeffizienl Eine Zufallsgröße X heißt Binomialverteilung mit den Parametern in unap, (n) = n. In-^)... (n-k+1) wenn fürk = 0, 1, 2, n gilt: P(x = k) = B(n; p; k) = (2).pk. (1-p) ^-k n! Es werden 4 Kugeln nacheinander mit Zurücklegen gezogen. L binomial verteilt, da clie Bedingungen bei jedem Ziehen gleich sind X Anzahl der gezogenen. roten kugeln Berechne P(x=k) für k = 0,...,4 geg: n = 4 k = 0, 1, 2, 3, 4 p.= 0,4 (=, da 2 von 5 Kugeln rot sina). Wahrscheinlichkeit. k Anzahl der Treffer / Erfolge. Lsg: P(x=0) = (6)·0,4⁰ (1-0,4) 4-0 = 0₁1296 = 12, 96 % ·P(x=1) = (4) · 04 · (1-0,4)4-1 = 0₁ 3456 = 34,56% P(x=2) = (2) 0,4² (1-0,4) 4-2 = 0₁ 3456 = 34,561 P(x=3) = (3) 0,4³. (1-0,4) 4-3 = 0,1536 = 15,36% P(x=4) =(4) 04 (1-0,4) 4-4 = 0,0256 = 2,56% Punkt wahrscheinlichkeit Beispiel: p=9514 n=6 k=3 B(6; 0,514; 3) = (3) 0,514³. (1-0,514) 6-3 0,312 31,2%. Intervall wahrscheinlichkeiten -linksseitige Intervallwahrscheinlichkeit PL x P(x ≤k)=P(x=0) + P(x=1) + ... + P(x = k) Bnig ({0;...; }) Beispiel: p = 0,23 n = 6 k = 0,1,2 P(x≤k)=P(x=0) + P(x = 1) +P(x=2) = 0,2084 +0,3735 +0,2789 = 0,860886,08% 6-2 =(6)-0,23 (1-0,23) 60+ (5) -0,23² (1-0,23) 6+ (2)-0,23² (1-0,23) 6 Beispiel: p=0,3 n=12 ≤k) kumulierte Wahrscheinlichkeit X nimmt genau einen wert an und Zwar k -rechtsseitige Intervallwahrscheinlichkeit P(x2k) = P(x=k) + P(x=k+1) + ... + P(x=h) P(k≤x≤m) k<m Zusammensetzung":"kumuliert bis m P(K≤x≤m) = P(x≤m) - P(x².K-1) Beispiel: S.12117 k=4,5,6,7,8,9, 10, 11, 12 P(x24)=P(x=4) + P(x = 5) + P(x=6) + ... + P(X= 12) = 1- P(X≤3) = 1-0,4925= 0,5075 = 50,75% eventuelles Gegenereignis: P(x≥k) = 1- P(x ≤k-1) -klassische Intervall wahrscheinlichkeit kumulielt bis k-1" oder Punktwahrscheinlichkeiten addieren n=12 P = 0,7 7≤k≤10 P(7≤k≤10)=P( X = 7) + P ( X = 8) + P(x =9) + P(x=10) = P(x ≤10) - P(x≤6) 97971 = 79,71%. P(x >k)=P(x >k + 1) = 1 - P ( x≤k) P(x <k) = P(x ≤k -1) 13- mal mindestens → Berechnung der Länge einer Bernoulli-kette um die Ansatzgleichung zu erfüllen → 3 Bedingungen mit mindestens Vorgehensweise: 1. Ungleichung für den Sachverhalt aufstellen P(X= k) = Wahrscheinlichkeit 2. Ungleichung mit Gegenereignis aufstellen 1- P(x=0) 2. Wahrscheinlichkeit 3. um formen nach ? 4. einsetzen in Bernoulli Formel → (Gegenwahrscheinlichkeit)" = (1-Wahrscheinlichkeit) 5. umstellen nach n (mit Logarithmus) Beispiel 1.: Wie oft muss ein Würfel mindestens geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit. von mindestens 98% mindestens einmal die Sechs fällt?. 1. P(x ≥ 1) 2.0,98 1-P.(x=0). 2.0,98 1 + PCX=0) 1-0,98 P.(x=0) P.(x=0) ≤ 0,02 = (-/-) " (5) ≤0,02 llg 19 (2) ≤ 19 0,02 n. 1g / ≤ 19 0,02 n ) 19 0,02 195/65 n Aufgaben 1:198/20 2 21,5 Das Vergleichszeichen dreht sich, da durch eine negative Zahl dividiert wird (der log* für 0<x< ₁ ist immer negativ) Das Ergebnis wird immer aufgerundet →Der Würfel muss mindestens 22-mal geworfen werden damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98% mindestens einmal die Sechs fällt •Prognoseintervalle Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe -Umgebung des Erwartungswertes μ der Trefferzahl -Wahrscheinlichkeit, mit der die Trefferzahl in die Umgebung des Erwartungswertes fallen wird (=vertrauens wahrscheinlichkeit) - häufige verwendung: 10- • Umgebungen 168,3%) 20-Umgebungen (95,5%) 30-Umgebungen (99,7%) 90%-Prognose intervall → [μ(x) -1,646 ≤ x ≤ M(x) + 1,640] 95%-Prognose intervall → [M(x)-1,96 0 ≤ x ≤ μ(x) +1,960] 99% - Prognose intervall → [M(x)-2,580 ≤ x ≤ M(x) + 2,580] merkmale:-wahrscheinlichkeit p ist gegeben ·Strichpoben umfang n ist gegeben - Prognose für Ergebnisse eines Bernoulli-versuchs ist gesucht Beispiel: Eine Bäckerei bestelt 800 Brötchen, von denen ein Brötchen mit einer Wahrscheinlichkeit von 15% verbrannt ist. Die Bäckerin will eine Prognose über die Anzahl der verbrannten Brötchen, die mit einer Sicherheit von 95%.. lintritt. geg: n = 800 p = 0,15 95% 1,960-Umgebung Lsg: E(x) = μ(x) = p.p=800-0,15 = 120 5(x)=1n-p.(1-p) =1120-0, 15- (1-0,15) 3,9115> 3 Intervall CM(x) - 4,960 = X= Mix) + 1,960] [120-1,96-3,9115 ≤ x ≤ 120+1,96.3,9115] [112,33 ≤ x ≤ 127,67] [112 ≤ x ≤128] LaPlace-Bedingung erfüllt Anwendung der Sigma-Regeln. . Mit einer Wahrscheinlichkeit von circa 95% werden zwischen 112 und 128 Brötchen verbrannt sein. . VERTRAVENSINTERVALLE Bestimmung von vertrauens intervallen Merkmale:-p ist unbekannt hn = X n Strichpobenumfang n ist gegeben relative Häufigkeit Ihn-pl = 6 | A-pl [m.p (1-p) n ↳ Intervall in dem (Konfidenzintervalle) nachp auflösen Näherungsformer: [hn- ; hnta] ni gilt nur für 0,3≤p≤0,7 [ha- 17. n. (1-₂) hn- n n mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3% liegt: Lsg.: h₂ = Näherungsformel: 171 1710 3500 350 Beispiel: Eine Münze wird 3500-mal geworfen, wobei 1710-mal kopf oben liegt. Entscheide, ob die Münze mit einer vertrauenswahrscheinlichkeit von 95,5% echt ist.. 1-pl ≤20/0 n nn 0,4886 1n-hn-(1-hn) n ·95,5% 20 Umgebung X = 1710 n = 3500 n.hn (1-hn) | 171-pl ≤ 0,0169 350 ·10 - Umgebungen (68,3%) 20-Umgebungen (95,5%) 30-Umgebungen (99,7%) 1-pl ≤ 2. | 171-pl = 2.1/3500-350 (1-10) 350 90%-Intervall → 1,640 95%-Intervall → 1,960 99%-Intervall → 2,580 n 3500 Vertrauensintervall: [0,4886-0,0169 ≤p ≤ 0,4886-0,0169] [0,4717 Sp ≤ 0,5055] Die Münze ist mit einer vertrauenswahrscheinlichkeit von 95,5% echt, da die Wahrscheinlichkeit, dass kopf oben liegt bei einer Münze 0,5 beträgt und diese Wahrscheinlichkeit innerhalb des Vertrauensintervalls liegt.