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 Grundbegriffe Stochastiu"
Zufallsexperiment: ein Versuch (vorgang) mit mehreren Ausgängen, bei den man nicht vorhersagen kann.
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- Grundbegriffe - Pfardregel und Summenregel - Baumdiagramm - Gegenereignis, Vereinigung und Schnitt - Vierfeldertafel - Laplace Experiment - Additionssatz - Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit - Kombinatorik und Abzählverfahren

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Grundbegriffe Stochastiu" Zufallsexperiment: ein Versuch (vorgang) mit mehreren Ausgängen, bei den man nicht vorhersagen kann. welcher Ausgang beim nächsten Versuch auftreten wird. Es kann unter gleichen Bedingungen mehrmals durchgeführt werden. Ergebnis: der (mögliche) Ausgang eines durchgeführten Zufallsexperiments. Ergebnismenge: sie fasst alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments zusammen. Schreibweise → = {1; 2; 33 → Die Ergebnismenge Omega besteht aus den Ergebnissen 1, 2 und 3. Ereignis: eine Möglichkeit, wie ein Zufallsexperiment ausgehen kann. Daher bestehen Ereignisse aus einem oder mehreren Ergebnissen des Zufallsexperiments. Ein Ereignis ist also eine Teilmenge der Ergebnismenge. Wenn ein Ereignis nur ein Ergebnis in der Menge enthält → Elementarereignis Wenn ein Ereignis alle Ergebnisse enthält → sicheres Ereignis Wenn ein Ereignis kein Ergebnis enthält → unmögliches Ereignis Schreibweise → E:.. Blau erscheint einmal" genau Wahrscheinlichkeit: ist die Chance, dass bei einem Zufallsexperiment eines bestimmten Ereignis auftritt. Schreibweise → P(A) = 0,5 (sprich: die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A 1st 0,6) absolute Häufigkeit: sie gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt (Anzahl) 2 Eine Schale enthalt vier rote und drei blaue kugeln. Es werden blind zwei Kugeln OHNE Zurück- legen entnommen. Baumdiagramm Pfardregel P(rr)= 4/7-3/6 P(rr) = ²/7 4/7 3/6. 316 3/7 Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine rote dabei. € = { rr; rb; br} Summenregel P(E) = ²/7 + 2/7 + 2/7 P(E)= %/7 P(E)= 85,71%. 416 P(+b) = 417.3/6 P(rb) = 2/7 F= {0; 2; 3; 83 ENF= {0; 2;33 P(E NF) =...

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1/3 Veranschaulichung: 216 Gegenereignis, Vereinigung, Schnitt Zu jedem Ereignis & gibt es ein Gegenereignis E, dass alle Ergebnisse enthält, die nicht zu E gehören. Formel P(E)= 1- P(Ē) Alle Ergebnisse, die zugleich in E und in F liegen, bilden die Schnittmenge ENF. Alle Ergebnisse, die in E oder in Fliegen, bilden die Vereinigungsmenge EUF. Bsp. E:.. Die Kugel trögt höchstens die Zahl 4" F:, Es ist eine blaue kugel" E = {0; 1; 2; 3; 43 P(br) = 317.4/6 P(br) = ²/7 217 5 EUF = {0; 1; 2; 3; 4;8} P(EUF)= 2/3 E 4 Schnittmenge 0 3 2 F 8 7 Vereinigungsmenge Vierfeldertafel Die Vierfeldertafel ist ein Hilfsmittel in der Stochastik, um Zusammenhänge zwischen zwei Ereignisse darzustellen. BIB A A P(ANB) P(ANB) P(ANB) P(ANB) P(A) P(A) D P(B) P(B) 1 Die Summe über die ersten beide Elemente einer Spalte/Zeile ergibt immer das letzte Element in der Spalte / Zeile. Bsp. Ein Konditormeister hat 200 Pralinen hergestellt. 80% von ihnen sind aus dunkler Schokolade, der Rest aus weißer Schokolade. 30% der 200 Pralinen enthalten Nüsse; unter den Pralinen aus weißer Scho- kolade haben jedoch nur 12,6%. einen Nussanteil. absolute Häufigkeit D 5 35 40 60 140 200 Die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen A und B inklusive Gegenereignissen und deren Schnitte werden übersichtlich dargestellt. N 55 N 105 160 D= Die Praline ist aus dunkler Schokolade" " N=₁, Die Praline hat einen Nussanteil" relative Formel Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse N z iz Häufigueit D D 0,275 0,025 0, 525 0,175 0,8 0,2 0,3 Laplace Experiment Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse gleich sind. Bsp. Ein Würfel wird geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse: E: eine durch 3 teilbare Zahl" E = {3;63 P(E)= ² ( ¹/3) ➜ 33,3% F:.. eine Zahl unter 3" F={1; 2} P(F) = ²/1 (¹/³) → 33,3% 0,7 2 Die erste Kugel wird nach dem Ziehen nicht zurückgelegt. Weisen Sie nach: P(Enf) # P(E) · P(F) E = {aa; ah} P(E)= 3/s. 2/4 + 3/5 2/4 P(E)= 3/10 + 3/10 P(E)= 3/5 P(ENT) # P(E). P(F) ગન # ગs • 2]s 3/10 6/25 2/4 یا 3/5 2/5 2/4 3/4 F = {ah; hn} P(F)= 3/5 2/4 + 2/5 1/4 P(F) = ³/10 + 1/10 P(F) = ²/5 Ja Permutation 1/4 Optional P₂ (F)= P(F) → 3/4 # ²/S 3/10 P₂(F) = 2/5 PE(F) = 3/4 Kombinatorik und Abzählverfahren Verfahren zur Bestimmung aller möglichen Ergebnisse eines Experiments. 3 Fälle: EnF= {an} PLENF)= 3/10 Ziehen mit Zurücklegen, mit Berücksichtigung der Reihefolge →n" Ziehen ohne Zurücklegen, mit Berücksichtigung der Reihefolge n! (n-M)! (Permutation) (npr) n! Ziehen ohne Zurüculegen, ohne Berücksichtigung der Reihefolge → (in) = n!-(n-k)! (Kombination) (nCr) n Anzahl der Elemente Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Die Ereignisse E und F sind voneinander abhängig. Variation Nein (Variation) Kombination relative Häufigkeit: sie beschreibt, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamt- zahl der Versuche ist. Formel Bsp. absolute und relative Häufigkeit Note Absolute Häufigkeit 1 2 3 4 5 6 absolute Häufigueit Anzahl der Versuche 1 3 2 1 2 1 Relative Häufiqueit = 0,1 = 10%. 17/10 4/7 3/7 A 417 313 3 10 = = 0,3 = 30%. 317 31/10 Pfardregel: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des dazugehörigen Pfades multipliziert. Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E erhält man, indem man die Wahrschein- lichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert. = 0,2 = 20./. 1/60 = 0,1 = 10%. 1/1/160 =0,2 = 20% 1/0 = 0,1 = 10%. Baumdiagramm und Vierfeldertafel Baumdiagram: eine graphische Darstellung, welche die möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ablaufs hierarchischer Entscheidungen zeigt. Bsp. Eine Schale enthalt vier rote und drei blaue Kugeln. Es werden blind zwei Kugeln MIT Zurück- legen entnommen. Baumdiagramm: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine rote dabei. ↳ E = { rr; rb; br} Pfardregel P(rr) = 4/7.417 P(rb) = 417.3/7 P(br) = 3/7.4/7 P(rr) = 16/49 P(rb)= ¹2/49 P(br) = 12/49 Summenregel P(E) = 16/49 + 12/49 + 12/49 = 40/49 → 81,63% Additionssatz Es berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass z.B. 2 Ereignissen mindestens eines eintritt. P(EUF) = P(E) + P(F)- P(ENF) Formel Bsp. Mit welcher Warscheinlichkeit wird beim Würfeln a Eine Gerade Zahl oder eine Sechs geworfen E:.. Gerade Zahl" F: Sechs" F= {6} E = {2;4;63 P(E)= 1/2 P(F) = 1/6 Additionssatz P(EUF) = P(E) + P(F)- P(EAF) = 1/2 + 1/6 - 1/6 P(EUF) = ¹/2 ⇒ 60%. → Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% wird eine gerade Zahl oder eine sechs geworfen. b keine Gerade Zahl und keine sechs geworfen. E. Keine Gerade Zahl" E= {1; 3; 5} P(E) = ¹/₂ EnF= {6} P(EOF)= 1/6 Additionssatz P(EUF) = D(E) + P(F) - P(ENF) 1/2 + 5/6 1/2 - F: Keine sechs" " F= {1; 2; 3; 4; 53 P(F) = 5/6 P(EUF)= 5/6 → 83,3% → Mit einer Wahrscheinlichkeit von 83,3% wird keine Gerade Zahl oder Keine sechs geworfen. ENF = {1;3; 5} P(E OF) = ¹/2 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen können sich verändern, wenn bereits andere Ereignisse eingetre- ten sind. Um diesen Einfluss zu untersuchen, wird der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit eingefünit. Die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit, weil sie be- dingt sind durch die Ergebnisse beim ersten Zug. P(A NB) O. (9) (PLA) OF P(ANB) P(ANB) PLĀ NB) O P(ANB) Formel PB(A)= P(B) Bsp. Unter den 20 Schülern einer 11. klasse sind 4 Raucher. Von dem 12 männlichen Schülern sind 3 Raucher. Wie groß ist der Anteil der Männer unter der Bedingung, dass es sich um einen Raucher handelt? R:.. Raucher" M: „ männlich" M R R 3 9 12 P(MOR) P₁₂(M)= P(R) Pa (M)= // P₁(M)= 75% 1 7 8 4 16 20 € = {aa; ah } P(E) = 3/5. 3/5 + 3/5.2/5 P(E)= 9/25 + 6/25 P(E)= 3/5 P(E NF)= P(E). P(F) 6/25 3/52/5 6/25= 6/25 كا » R M 0,15 0,45 0,6 P₂(M) = P(MAR) P(R) 15 PRIM)= 0,2 PRIM)= 0,75 → 75% Der Anteil der Männer unter der Bedingung, dass es sich um einen Raucher handelt, beträgt 76%. Optional P(F)=P(F) 6125) P₂ (F) = 215 PE(F)= 3/5 0,05 0,35 0,4 Unabhängigkeit Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst. Das Ziehen mit Zurücklegen führt zu unabhängigen Ereignissen. Das Ziehen ohne Zurücklegen führt zu abhängigen Ereignissen. Zwei Ereignisse E und F heißen unabhängig, wenn P: (F) = P(F) bzw. P₂(E) = P(E) Zwel Ereignisse E und F sind genau unabhängig, wenn P(ENF) = P(E). P(F) 0,2 0,8 1 Bsp. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugel entnommen. Es sei E: „Die erste kugel trägt den Buchstaben a" und F:,, Die zweite Kugel trägt den Buchstaben hª. a Die erste Kugel wird nach dem Ziehen zurückgelegt. Weisen Sie nach: P(ENF)= P(E). P(F). F = { ah; hh} EnF = {ah} P(F) = 3/5. 2/5 + 2/5. 2/5 P(ENF) = 6/25 P(F)= 6/25+ 4/25 P(F) = ²/s 3/5 = 3/5 Die Ereignisse E und F sind voneinander unabhängig.

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Grundbegriffe Stochastiu" Zufallsexperiment: ein Versuch (vorgang) mit mehreren Ausgängen, bei den man nicht vorhersagen kann. welcher Ausgang beim nächsten Versuch auftreten wird. Es kann unter gleichen Bedingungen mehrmals durchgeführt werden. Ergebnis: der (mögliche) Ausgang eines durchgeführten Zufallsexperiments. Ergebnismenge: sie fasst alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments zusammen. Schreibweise → = {1; 2; 33 → Die Ergebnismenge Omega besteht aus den Ergebnissen 1, 2 und 3. Ereignis: eine Möglichkeit, wie ein Zufallsexperiment ausgehen kann. Daher bestehen Ereignisse aus einem oder mehreren Ergebnissen des Zufallsexperiments. Ein Ereignis ist also eine Teilmenge der Ergebnismenge. Wenn ein Ereignis nur ein Ergebnis in der Menge enthält → Elementarereignis Wenn ein Ereignis alle Ergebnisse enthält → sicheres Ereignis Wenn ein Ereignis kein Ergebnis enthält → unmögliches Ereignis Schreibweise → E:.. Blau erscheint einmal" genau Wahrscheinlichkeit: ist die Chance, dass bei einem Zufallsexperiment eines bestimmten Ereignis auftritt. Schreibweise → P(A) = 0,5 (sprich: die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A 1st 0,6) absolute Häufigkeit: sie gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt (Anzahl) 2 Eine Schale enthalt vier rote und drei blaue kugeln. Es werden blind zwei Kugeln OHNE Zurück- legen entnommen. Baumdiagramm Pfardregel P(rr)= 4/7-3/6 P(rr) = ²/7 4/7 3/6. 316 3/7 Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine rote dabei. € = { rr; rb; br} Summenregel P(E) = ²/7 + 2/7 + 2/7 P(E)= %/7 P(E)= 85,71%. 416 P(+b) = 417.3/6 P(rb) = 2/7 F= {0; 2; 3; 83 ENF= {0; 2;33 P(E NF) =...

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1/3 Veranschaulichung: 216 Gegenereignis, Vereinigung, Schnitt Zu jedem Ereignis & gibt es ein Gegenereignis E, dass alle Ergebnisse enthält, die nicht zu E gehören. Formel P(E)= 1- P(Ē) Alle Ergebnisse, die zugleich in E und in F liegen, bilden die Schnittmenge ENF. Alle Ergebnisse, die in E oder in Fliegen, bilden die Vereinigungsmenge EUF. Bsp. E:.. Die Kugel trögt höchstens die Zahl 4" F:, Es ist eine blaue kugel" E = {0; 1; 2; 3; 43 P(br) = 317.4/6 P(br) = ²/7 217 5 EUF = {0; 1; 2; 3; 4;8} P(EUF)= 2/3 E 4 Schnittmenge 0 3 2 F 8 7 Vereinigungsmenge Vierfeldertafel Die Vierfeldertafel ist ein Hilfsmittel in der Stochastik, um Zusammenhänge zwischen zwei Ereignisse darzustellen. BIB A A P(ANB) P(ANB) P(ANB) P(ANB) P(A) P(A) D P(B) P(B) 1 Die Summe über die ersten beide Elemente einer Spalte/Zeile ergibt immer das letzte Element in der Spalte / Zeile. Bsp. Ein Konditormeister hat 200 Pralinen hergestellt. 80% von ihnen sind aus dunkler Schokolade, der Rest aus weißer Schokolade. 30% der 200 Pralinen enthalten Nüsse; unter den Pralinen aus weißer Scho- kolade haben jedoch nur 12,6%. einen Nussanteil. absolute Häufigkeit D 5 35 40 60 140 200 Die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen A und B inklusive Gegenereignissen und deren Schnitte werden übersichtlich dargestellt. N 55 N 105 160 D= Die Praline ist aus dunkler Schokolade" " N=₁, Die Praline hat einen Nussanteil" relative Formel Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse N z iz Häufigueit D D 0,275 0,025 0, 525 0,175 0,8 0,2 0,3 Laplace Experiment Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse gleich sind. Bsp. Ein Würfel wird geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse: E: eine durch 3 teilbare Zahl" E = {3;63 P(E)= ² ( ¹/3) ➜ 33,3% F:.. eine Zahl unter 3" F={1; 2} P(F) = ²/1 (¹/³) → 33,3% 0,7 2 Die erste Kugel wird nach dem Ziehen nicht zurückgelegt. Weisen Sie nach: P(Enf) # P(E) · P(F) E = {aa; ah} P(E)= 3/s. 2/4 + 3/5 2/4 P(E)= 3/10 + 3/10 P(E)= 3/5 P(ENT) # P(E). P(F) ગન # ગs • 2]s 3/10 6/25 2/4 یا 3/5 2/5 2/4 3/4 F = {ah; hn} P(F)= 3/5 2/4 + 2/5 1/4 P(F) = ³/10 + 1/10 P(F) = ²/5 Ja Permutation 1/4 Optional P₂ (F)= P(F) → 3/4 # ²/S 3/10 P₂(F) = 2/5 PE(F) = 3/4 Kombinatorik und Abzählverfahren Verfahren zur Bestimmung aller möglichen Ergebnisse eines Experiments. 3 Fälle: EnF= {an} PLENF)= 3/10 Ziehen mit Zurücklegen, mit Berücksichtigung der Reihefolge →n" Ziehen ohne Zurücklegen, mit Berücksichtigung der Reihefolge n! (n-M)! (Permutation) (npr) n! Ziehen ohne Zurüculegen, ohne Berücksichtigung der Reihefolge → (in) = n!-(n-k)! (Kombination) (nCr) n Anzahl der Elemente Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Die Ereignisse E und F sind voneinander abhängig. Variation Nein (Variation) Kombination relative Häufigkeit: sie beschreibt, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamt- zahl der Versuche ist. Formel Bsp. absolute und relative Häufigkeit Note Absolute Häufigkeit 1 2 3 4 5 6 absolute Häufigueit Anzahl der Versuche 1 3 2 1 2 1 Relative Häufiqueit = 0,1 = 10%. 17/10 4/7 3/7 A 417 313 3 10 = = 0,3 = 30%. 317 31/10 Pfardregel: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des dazugehörigen Pfades multipliziert. Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E erhält man, indem man die Wahrschein- lichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert. = 0,2 = 20./. 1/60 = 0,1 = 10%. 1/1/160 =0,2 = 20% 1/0 = 0,1 = 10%. Baumdiagramm und Vierfeldertafel Baumdiagram: eine graphische Darstellung, welche die möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ablaufs hierarchischer Entscheidungen zeigt. Bsp. Eine Schale enthalt vier rote und drei blaue Kugeln. Es werden blind zwei Kugeln MIT Zurück- legen entnommen. Baumdiagramm: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine rote dabei. ↳ E = { rr; rb; br} Pfardregel P(rr) = 4/7.417 P(rb) = 417.3/7 P(br) = 3/7.4/7 P(rr) = 16/49 P(rb)= ¹2/49 P(br) = 12/49 Summenregel P(E) = 16/49 + 12/49 + 12/49 = 40/49 → 81,63% Additionssatz Es berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass z.B. 2 Ereignissen mindestens eines eintritt. P(EUF) = P(E) + P(F)- P(ENF) Formel Bsp. Mit welcher Warscheinlichkeit wird beim Würfeln a Eine Gerade Zahl oder eine Sechs geworfen E:.. Gerade Zahl" F: Sechs" F= {6} E = {2;4;63 P(E)= 1/2 P(F) = 1/6 Additionssatz P(EUF) = P(E) + P(F)- P(EAF) = 1/2 + 1/6 - 1/6 P(EUF) = ¹/2 ⇒ 60%. → Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% wird eine gerade Zahl oder eine sechs geworfen. b keine Gerade Zahl und keine sechs geworfen. E. Keine Gerade Zahl" E= {1; 3; 5} P(E) = ¹/₂ EnF= {6} P(EOF)= 1/6 Additionssatz P(EUF) = D(E) + P(F) - P(ENF) 1/2 + 5/6 1/2 - F: Keine sechs" " F= {1; 2; 3; 4; 53 P(F) = 5/6 P(EUF)= 5/6 → 83,3% → Mit einer Wahrscheinlichkeit von 83,3% wird keine Gerade Zahl oder Keine sechs geworfen. ENF = {1;3; 5} P(E OF) = ¹/2 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen können sich verändern, wenn bereits andere Ereignisse eingetre- ten sind. Um diesen Einfluss zu untersuchen, wird der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit eingefünit. Die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit, weil sie be- dingt sind durch die Ergebnisse beim ersten Zug. P(A NB) O. (9) (PLA) OF P(ANB) P(ANB) PLĀ NB) O P(ANB) Formel PB(A)= P(B) Bsp. Unter den 20 Schülern einer 11. klasse sind 4 Raucher. Von dem 12 männlichen Schülern sind 3 Raucher. Wie groß ist der Anteil der Männer unter der Bedingung, dass es sich um einen Raucher handelt? R:.. Raucher" M: „ männlich" M R R 3 9 12 P(MOR) P₁₂(M)= P(R) Pa (M)= // P₁(M)= 75% 1 7 8 4 16 20 € = {aa; ah } P(E) = 3/5. 3/5 + 3/5.2/5 P(E)= 9/25 + 6/25 P(E)= 3/5 P(E NF)= P(E). P(F) 6/25 3/52/5 6/25= 6/25 كا » R M 0,15 0,45 0,6 P₂(M) = P(MAR) P(R) 15 PRIM)= 0,2 PRIM)= 0,75 → 75% Der Anteil der Männer unter der Bedingung, dass es sich um einen Raucher handelt, beträgt 76%. Optional P(F)=P(F) 6125) P₂ (F) = 215 PE(F)= 3/5 0,05 0,35 0,4 Unabhängigkeit Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst. Das Ziehen mit Zurücklegen führt zu unabhängigen Ereignissen. Das Ziehen ohne Zurücklegen führt zu abhängigen Ereignissen. Zwei Ereignisse E und F heißen unabhängig, wenn P: (F) = P(F) bzw. P₂(E) = P(E) Zwel Ereignisse E und F sind genau unabhängig, wenn P(ENF) = P(E). P(F) 0,2 0,8 1 Bsp. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugel entnommen. Es sei E: „Die erste kugel trägt den Buchstaben a" und F:,, Die zweite Kugel trägt den Buchstaben hª. a Die erste Kugel wird nach dem Ziehen zurückgelegt. Weisen Sie nach: P(ENF)= P(E). P(F). F = { ah; hh} EnF = {ah} P(F) = 3/5. 2/5 + 2/5. 2/5 P(ENF) = 6/25 P(F)= 6/25+ 4/25 P(F) = ²/s 3/5 = 3/5 Die Ereignisse E und F sind voneinander unabhängig.