Mathe /

Stochastik (Leistungsfach)

Stochastik (Leistungsfach)

 Teil A ohne Hilfsmittel
i.
ii.
Beachte: Der Lösungsweg muss nachvollziehbar
sein!
Aufgabe 1:
a) Bilde die erste Ableitung der Funktion f mi

Stochastik (Leistungsfach)

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Nico

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11/12/13

Klausur

Wahrscheinlichkeiten, Hypothesentests

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Teil A ohne Hilfsmittel i. ii. Beachte: Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein! Aufgabe 1: a) Bilde die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = 4x² sin(e²x). b) Löse die Gleichungen: Aufgabe 2: e 5x 6e³x + 5e* = 0 (x2 − 4) · sin (x − z) = 0 xe[0;2r] Untersuche rechnerisch, ob der Wert des Integrals größer als 7 ist: (/5 VP) dx /1,5 VP) Aufgabe 3: /2 VP) In einer Urne sind 4 weiße und eine unbekannte Anzahl roter Kugeln. Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Anzahl roter Kugeln, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind, beträgt. Aufgabe 4: ( / 3,5 VP) Eine Urne U1 enthält drei schwarze, zwei rote und eine grüne Kugel. Es werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Kugeln aus U1 gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgernder Ereignisse: a) A: „Beide Kugeln haben verschiedene Farben." b) B: „Die zweite Kugel ist schwarz oder grün." In einer zweiten Urne U2 befinden sich drei rote und zwei grüne Kugeln, in einer Urne U3 befindet sich eine schwarze Kugel. Betrachtet wird folgender Vorgang: Aus U1 wird zufällig eine Kugel entnommen und in U2 gelegt. Anschließend wird aus U2 eine Kugel zufällig entnommen und in U3 gelegt. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in U3 dann eine schwarze und eine grüne Kugel befindet. Teil B: mit Hilfsmitteln Aufgabe 5: ( /5 VP) Ein Glücksrad besitzt zehn gleich große Sektoren, von denen...

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vier gelb und sechs schwarz gefärbt sind. a) Das Glücksrad wird 40-mal gedreht. Bestimmen Sie für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit: Es erscheint mindestens 20-mal ,,schwarz". Die Anzahl der Drehungen mit dem Ergebnis „schwarz" weicht um höchstens 20% vom Erwartungswert dieser Anzahl ab. A: B: b) Bei einem Spiel dreht ein Spieler das Glücksrad dreimal. Erhält er genau zweimal „gelb", dann werden ihm 5 Euro ausbezahlt. Erhält er dreimal „gelb", dann werden ihm 15 Euro ausbezahlt. Ansonsten wird ihm nichts ausbezahlt. Untersuchen Sie, bei welchem Einsatz dieses Spiel fair ist. Aufgabe 6: /13 VP) Ein Restaurant bietet seinen Gästen verschiedene Menüs an. Neben fleischhaltigen Menüs gibt es zwei vegetarische Menüs M1 und M2. Im Durchschnitt entscheiden sich 15 % aller Gäste für das Menü M1 und 10 % aller Gäste für das Menü M2. Vereinfachend geht man davon aus, dass die Bestellungen unabhängig voneinander sind. a) An einem Tag kommen 120 Gäste, von denen jeder ein Menü bestellt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Genau 20 Gäste entscheiden sich für das Menü M1. B: Mehr als 25 und weniger als 40 Gäste wählen ein vegetarisches Menü. C: Die ersten 10 Gäste bestellen ein fleischhaltiges Menü und insgesamt werden an diesem Tag 25 vegetarische Menüs bestellt. b) Geben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment und ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit dem folgenden Term berechnen lässt: 1-0,7510 -10.0,75⁹ -0,25 c) Das Restaurant hat Zutaten für die Zubereitung von genau 50 Menüs M1 gelagert. Bestimmen Sie, wie viele Gäste höchstens im Restaurant essen dürfen, damit die Vorräte für das Menü M1 mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % ausreichen. d) Neben dem Restaurant soll in einiger Zeit eine Baustelle eingerichtet werden. Es wird befürchtet, dass aufgrund des Lärms weniger Gäste kommen werden. Deshalb soll die Nullhypothese Ho: „Mindestens 10 % der Gäste werden aufgrund des zu erwartenden Lärms nicht mehr ins Restaurant kommen." auf Basis einer Umfrage unter 200 Gästen auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. e). Vor der Konzeption des Tests zog die Restaurantleitung in Erwägung einen Lärmschutz errichten zu lassen und stellte folgende Überlegungen an: 1: Wenn der Lärmschutz errichtet wird, obwohl der Lärm weniger als 10 % der Gäste stört, entstehen unnötige Ausgaben. II: Wenn der Lärmschutz nicht errichtet wird, obwohl der Lärm mindestens 10 % der Gäste stört, entgehen dem Restaurant Einnahmen. Erläutern Sie, für welchen dieser beiden Fälle die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens mit obigem Test auf % begrenzt werden kann. Beurteile folgende Aussage: Liegt beim obigen Test das Umfrageergebnis im Ablehnungsbereich, dann trifft die Nullhypothese mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht zu. VIEL ERFOLG!!! a) f(x) = 4x². sin(e²x) f'(x) = 8x. sin(e²x) + 4x² cos (e²x). 2e²x < 8x (sin(e²x) + xe ²x. cos (e²x)) r esx-6e³x + Sex=0 ex. (eux-6e²x+5)=0 tor =0 eux - 6e²x + 5 = 0 2= ²x 2²-62 +5=0 MUE= 20 = 6 + √(-6) 2-4.1.51 2 Subst. Resubst.: x²-4=0 44 2x = in5 1:2 ins xn= 2 t=453 π₁ (x²-4). sin (x-17-0 TL 2 For x²=4 1+√7 *₁ = 2 x ₂ = -2 6±4 2 24=5 e²x = 5 1ln Xy = 3π 2 X₂ [0₁2] (= { //12, 313 sin (x-1)=0 X3 = 12 L e²x=116 2x = ln 1 1:2 In 1 X=0 r X= [0₁2] Skizze sin(x) A 515 nudl 1.5/15 2/2 Nr. 2 } { 4 dx = [4 (nx Je² = (4. (ne²) - (4 (1) Nr.3 4 lne? > 7 4. ((ne & (ne) 57 4. (1+1) >7 837 W.A. Ja, der Wert des Integrals ist größer als Sieben. 4 weiße E: 2mal weiß P(E)= 4² MWF: x rote Kugeln X1127 4+x . 2 Kugeln ohne zurücklegen (2x) Зах 12 (4+x). (3+x) 12 12+4x+3x+x2 72 12+7x+x2 The -4 하 = 1 -7 ± √72-4-(-60) 2 = −7+17 2 72= 12+7x+x² 1-17 7x+x² = 60 x² +7x-60 =0 1.(12+7x+x²) r (-60 4 lne? W 4. гид & 2. Zug X₂₁₂ = -12 x₂ = 5 A: Es sind 5 rote Kugeln, da die Anzahl der Kugeln nicht negativ sein kann r

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