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Mathe Funktionen Übersicht - Quadratische & Lineare Funktionen PDF

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Mathe Funktionen Übersicht - Quadratische & Lineare Funktionen PDF

Ben

@hartxl

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Hier ist die optimierte Zusammenfassung in Deutsch:

Eine umfassende Übersicht der Grundlagen von Funktionen in der Mathematik, die lineare, quadratische, Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, Wurzel- und trigonometrische Funktionen abdeckt. Jede Funktionsart wird detailliert mit ihren charakteristischen Eigenschaften, Definitionsbereichen, Wertebereichen und graphischen Merkmalen erläutert.

Lineare und quadratische Funktionen bilden die Basis für das Verständnis komplexerer Funktionstypen.
Potenzfunktionen werden sowohl mit natürlichen als auch mit negativen ganzzahligen Exponenten betrachtet.
Exponential- und Logarithmusfunktionen werden als inverse Operationen zueinander vorgestellt.
Wurzelfunktionen und trigonometrische Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens) runden die Übersicht ab.
Für jede Funktion werden wichtige Eigenschaften wie Symmetrie, Monotonie, Extrempunkte und Nullstellen angegeben.

27.5.2021

4385

Lineare Funktionen
Übersicht Funktionsarten
Eigenschaften
Definitionsbereich:
Wertebereich:
Symmetrie:
Monotonie: steigend: m>o/fallend: m²0

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Diese Seite bietet eine Übersicht der Eigenschaften von Exponential- und Logarithmusfunktionen, die als inverse Operationen zueinander betrachtet werden können. Die charakteristischen Merkmale beider Funktionstypen werden detailliert aufgelistet.

Für Exponentialfunktionen gelten folgende Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Wertebereich: Alle positiven reellen Zahlen (ℝ⁺)
Monotonie: Steigend für b > 1, fallend für 0 < b < 1
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|1)
Asymptote: y = 0

Für Logarithmusfunktionen gelten diese Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle positiven reellen Zahlen (ℝ⁺)
Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Monotonie: Streng monoton steigend
Schnittpunkt mit der x-Achse: (1|0)
Asymptote: x = 0

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die allgemeine Form f(x) = b^x, wobei b die Basis ist und b > 0, b ≠ 1.

Definition: Eine Logarithmusfunktion hat die allgemeine Form f(x) = log_b(x), wobei b die Basis ist und b > 0, b ≠ 1.

Highlight: Der Zusammenhang zwischen Exponential- und Logarithmusfunktion zeigt sich in ihrer inversen Beziehung: log_b(b^x) = x und b^(log_b(x)) = x.

Diese Zusammenfassung der Eigenschaften von Exponential- und Logarithmusfunktionen ist essenziell für das Verständnis dieser wichtigen Funktionsklassen und ihrer Anwendungen in der Mathematik und den Naturwissenschaften.

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Lineare und Quadratische Funktionen

Diese Seite bietet eine grundlegende Übersicht der Funktionsarten mit Fokus auf lineare und quadratische Funktionen. Sie präsentiert die wesentlichen Eigenschaften beider Funktionstypen in einer übersichtlichen Tabellenform.

Für lineare Funktionen werden folgende Eigenschaften aufgeführt:

Definitionsbereich und Wertebereich: Beide umfassen alle reellen Zahlen (ℝ).
Monotonie: Steigend für m > 0, fallend für m < 0.
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|n)
Nullstellen: x₀ = -n/m

Für quadratische Funktionen werden diese Eigenschaften hervorgehoben:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Wertebereich: Abhängig von der Parabelöffnung (a > 0 oder a < 0)
Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
Extrempunkte: Scheitelpunkt der Parabel
Nullstellen: Maximal zwei reelle Lösungen möglich

Definition: Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form f(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt ist.

Definition: Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ≠ 0.

Highlight: Die Parabel einer quadratischen Funktion öffnet sich nach oben, wenn a > 0, und nach unten, wenn a < 0.

Diese Zusammenfassung bietet eine solide Grundlage für das Verständnis von Funktionen und dient als Merkblatt für lineare und quadratische Funktionen.

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Wurzelfunktionen und Trigonometrische Funktionen

Diese Seite erweitert die Übersicht der Funktionsarten um Wurzelfunktionen und trigonometrische Funktionen, insbesondere die Sinusfunktion. Die charakteristischen Eigenschaften beider Funktionstypen werden detailliert aufgelistet.

Für Wurzelfunktionen gelten folgende Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle nicht-negativen reellen Zahlen (ℝ⁺₀)
Wertebereich: Alle nicht-negativen reellen Zahlen (ℝ⁺₀)
Monotonie: Streng monoton steigend
Extrempunkt: Tiefpunkt bei (0|0)
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
Nullstelle: x₀ = 0

Für die Sinusfunktion gelten diese Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Wertebereich: Alle reellen Zahlen zwischen -1 und 1 ([-1,1])
Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
Monotonie: Abwechselnd steigend und fallend in Intervallen der Länge π
Extrempunkte: Hochpunkte bei (π/2 + k·2π|1) und Tiefpunkte bei (3π/2 + k·2π|-1), k ∈ ℤ
Nullstellen: x₀ = k·π, k ∈ ℤ

Definition: Eine Wurzelfunktion hat die allgemeine Form f(x) = √x.

Definition: Die Sinusfunktion hat die allgemeine Form f(x) = sin(x).

Highlight: Die Sinusfunktion ist periodisch mit der Periode 2π, was bedeutet, dass sich ihr Verlauf alle 2π wiederholt.

Diese Zusammenfassung der Eigenschaften von Wurzel- und trigonometrischen Funktionen bietet eine wichtige Grundlage für das Verständnis dieser speziellen Funktionsklassen und ihrer Anwendungen in der Mathematik und Physik.

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Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponent

Diese Seite erweitert die Übersicht der Funktionsarten um Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten. Auch hier wird zwischen geraden und ungeraden Exponenten unterschieden, wobei die spezifischen Eigenschaften für beide Fälle detailliert aufgeführt werden.

Für Potenzfunktionen mit geradem negativen Exponent gelten folgende Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer 0 (ℝ \ {0})
Wertebereich: Alle positiven reellen Zahlen (ℝ⁺)
Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
Monotonie: Steigend für x < 0, fallend für x > 0
Asymptoten: x = 0 und y = 0
Polstelle: x = 0

Für Potenzfunktionen mit ungeradem negativen Exponent gelten diese Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer 0 (ℝ \ {0})
Wertebereich: Alle reellen Zahlen außer 0 (ℝ \ {0})
Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
Monotonie: Streng monoton fallend
Asymptoten: x = 0 und y = 0
Polstelle: x = 0

Definition: Eine Potenzfunktion mit negativem ganzzahligen Exponent hat die allgemeine Form f(x) = x^(-n), wobei n eine natürliche Zahl ist.

Example: f(x) = x^(-2) ist ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit geradem negativen Exponent, während f(x) = x^(-3) ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem negativen Exponent ist.

Highlight: Ein wichtiges Merkmal dieser Funktionen ist das Auftreten von Polstellen bei x = 0, was zu charakteristischen Asymptoten führt.

Diese Zusammenfassung der Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten ergänzt das Verständnis komplexerer Funktionstypen und ihrer graphischen Darstellungen.

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Trigonometrische Funktionen: Kosinus und Tangens

Diese Seite vervollständigt die Übersicht der trigonometrischen Funktionen mit detaillierten Informationen zu Kosinus- und Tangensfunktionen. Die charakteristischen Eigenschaften beider Funktionstypen werden ausführlich dargestellt.

Für die Kosinusfunktion gelten folgende Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Wertebereich: Alle reellen Zahlen zwischen -1 und 1 ([-1,1])
Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
Monotonie: Abwechselnd steigend und fallend in Intervallen der Länge π
Extrempunkte: Hochpunkte bei (k·2π|1) und Tiefpunkte bei (π + k·2π|-1), k ∈ ℤ
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|1)
Nullstellen: x₀ = π/2 + k·π, k ∈ ℤ

Für die Tangensfunktion gelten diese Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer π/2 + k·π, k ∈ ℤ
Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
Monotonie: Streng monoton steigend in jedem Definitionsintervall
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
Nullstellen: x₀ = k·π, k ∈ ℤ
Asymptoten: x = π/2 + k·π, k ∈ ℤ
Polstellen: x = π/2 + k·π, k ∈ ℤ

Definition: Die Kosinusfunktion hat die allgemeine Form f(x) = cos(x).

Definition: Die Tangensfunktion hat die allgemeine Form f(x) = tan(x).

Highlight: Die Tangensfunktion weist Polstellen auf, was zu charakteristischen vertikalen Asymptoten im Graphen führt.

Diese Zusammenfassung der Eigenschaften von Kosinus- und Tangensfunktionen vervollständigt das Bild der trigonometrischen Funktionen und bietet eine solide Grundlage für weiterführende mathematische Konzepte und Anwendungen.

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Potenzfunktionen mit natürlichem ganzzahligen Exponent

Diese Seite behandelt Potenzfunktionen mit natürlichem ganzzahligen Exponent und unterscheidet zwischen geraden und ungeraden Exponenten. Die Eigenschaften werden detailliert für beide Fälle aufgelistet.

Für Potenzfunktionen mit geradem Exponent gelten folgende Eigenschaften:

Definitionsbereich und Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
Monotonie: Steigend für x ≥ 0, fallend für x ≤ 0
Extrempunkt: Tiefpunkt bei (0|0)
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
Nullstelle: x₀ = 0

Für Potenzfunktionen mit ungeradem Exponent gelten diese Eigenschaften:

Definitionsbereich und Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
Monotonie: Streng monoton steigend
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
Nullstelle: x₀ = 0

Definition: Eine Potenzfunktion mit natürlichem ganzzahligen Exponent hat die allgemeine Form f(x) = x^n, wobei n eine natürliche Zahl ist.

Example: f(x) = x² ist ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit geradem Exponent, während f(x) = x³ ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem Exponent ist.

Highlight: Der Unterschied in der Symmetrie zwischen geraden und ungeraden Exponenten ist ein wichtiges Merkmal zur Unterscheidung dieser Funktionen.

Diese Übersicht der Eigenschaften von Potenzfunktionen bietet eine wichtige Ergänzung zum Verständnis verschiedener Funktionstypen und ihrer graphischen Darstellungen.

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Exponential- und Logarithmusfunktionen

Für Exponentialfunktionen gelten folgende Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Wertebereich: Alle positiven reellen Zahlen (ℝ⁺)
Monotonie: Steigend für b > 1, fallend für 0 < b < 1
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|1)
Asymptote: y = 0

Für Logarithmusfunktionen gelten diese Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle positiven reellen Zahlen (ℝ⁺)
Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Monotonie: Streng monoton steigend
Schnittpunkt mit der x-Achse: (1|0)
Asymptote: x = 0

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die allgemeine Form f(x) = b^x, wobei b die Basis ist und b > 0, b ≠ 1.

Definition: Eine Logarithmusfunktion hat die allgemeine Form f(x) = log_b(x), wobei b die Basis ist und b > 0, b ≠ 1.

Highlight: Der Zusammenhang zwischen Exponential- und Logarithmusfunktion zeigt sich in ihrer inversen Beziehung: log_b(b^x) = x und b^(log_b(x)) = x.

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Lineare und Quadratische Funktionen

Für lineare Funktionen werden folgende Eigenschaften aufgeführt:

Definitionsbereich und Wertebereich: Beide umfassen alle reellen Zahlen (ℝ).
Monotonie: Steigend für m > 0, fallend für m < 0.
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|n)
Nullstellen: x₀ = -n/m

Für quadratische Funktionen werden diese Eigenschaften hervorgehoben:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Wertebereich: Abhängig von der Parabelöffnung (a > 0 oder a < 0)
Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
Extrempunkte: Scheitelpunkt der Parabel
Nullstellen: Maximal zwei reelle Lösungen möglich

Definition: Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form f(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt ist.

Definition: Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ≠ 0.

Highlight: Die Parabel einer quadratischen Funktion öffnet sich nach oben, wenn a > 0, und nach unten, wenn a < 0.

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Wurzelfunktionen und Trigonometrische Funktionen

Für Wurzelfunktionen gelten folgende Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle nicht-negativen reellen Zahlen (ℝ⁺₀)
Wertebereich: Alle nicht-negativen reellen Zahlen (ℝ⁺₀)
Monotonie: Streng monoton steigend
Extrempunkt: Tiefpunkt bei (0|0)
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
Nullstelle: x₀ = 0

Für die Sinusfunktion gelten diese Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Wertebereich: Alle reellen Zahlen zwischen -1 und 1 ([-1,1])
Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
Monotonie: Abwechselnd steigend und fallend in Intervallen der Länge π
Extrempunkte: Hochpunkte bei (π/2 + k·2π|1) und Tiefpunkte bei (3π/2 + k·2π|-1), k ∈ ℤ
Nullstellen: x₀ = k·π, k ∈ ℤ

Definition: Eine Wurzelfunktion hat die allgemeine Form f(x) = √x.

Definition: Die Sinusfunktion hat die allgemeine Form f(x) = sin(x).

Highlight: Die Sinusfunktion ist periodisch mit der Periode 2π, was bedeutet, dass sich ihr Verlauf alle 2π wiederholt.

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Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponent

Für Potenzfunktionen mit geradem negativen Exponent gelten folgende Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer 0 (ℝ \ {0})
Wertebereich: Alle positiven reellen Zahlen (ℝ⁺)
Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
Monotonie: Steigend für x < 0, fallend für x > 0
Asymptoten: x = 0 und y = 0
Polstelle: x = 0

Für Potenzfunktionen mit ungeradem negativen Exponent gelten diese Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer 0 (ℝ \ {0})
Wertebereich: Alle reellen Zahlen außer 0 (ℝ \ {0})
Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
Monotonie: Streng monoton fallend
Asymptoten: x = 0 und y = 0
Polstelle: x = 0

Definition: Eine Potenzfunktion mit negativem ganzzahligen Exponent hat die allgemeine Form f(x) = x^(-n), wobei n eine natürliche Zahl ist.

Example: f(x) = x^(-2) ist ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit geradem negativen Exponent, während f(x) = x^(-3) ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem negativen Exponent ist.

Highlight: Ein wichtiges Merkmal dieser Funktionen ist das Auftreten von Polstellen bei x = 0, was zu charakteristischen Asymptoten führt.

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Trigonometrische Funktionen: Kosinus und Tangens

Für die Kosinusfunktion gelten folgende Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Wertebereich: Alle reellen Zahlen zwischen -1 und 1 ([-1,1])
Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
Monotonie: Abwechselnd steigend und fallend in Intervallen der Länge π
Extrempunkte: Hochpunkte bei (k·2π|1) und Tiefpunkte bei (π + k·2π|-1), k ∈ ℤ
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|1)
Nullstellen: x₀ = π/2 + k·π, k ∈ ℤ

Für die Tangensfunktion gelten diese Eigenschaften:

Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer π/2 + k·π, k ∈ ℤ
Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
Monotonie: Streng monoton steigend in jedem Definitionsintervall
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
Nullstellen: x₀ = k·π, k ∈ ℤ
Asymptoten: x = π/2 + k·π, k ∈ ℤ
Polstellen: x = π/2 + k·π, k ∈ ℤ

Definition: Die Kosinusfunktion hat die allgemeine Form f(x) = cos(x).

Definition: Die Tangensfunktion hat die allgemeine Form f(x) = tan(x).

Highlight: Die Tangensfunktion weist Polstellen auf, was zu charakteristischen vertikalen Asymptoten im Graphen führt.

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Potenzfunktionen mit natürlichem ganzzahligen Exponent

Für Potenzfunktionen mit geradem Exponent gelten folgende Eigenschaften:

Definitionsbereich und Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
Monotonie: Steigend für x ≥ 0, fallend für x ≤ 0
Extrempunkt: Tiefpunkt bei (0|0)
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
Nullstelle: x₀ = 0

Für Potenzfunktionen mit ungeradem Exponent gelten diese Eigenschaften:

Definitionsbereich und Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
Monotonie: Streng monoton steigend
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
Nullstelle: x₀ = 0

Definition: Eine Potenzfunktion mit natürlichem ganzzahligen Exponent hat die allgemeine Form f(x) = x^n, wobei n eine natürliche Zahl ist.

Example: f(x) = x² ist ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit geradem Exponent, während f(x) = x³ ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem Exponent ist.

Highlight: Der Unterschied in der Symmetrie zwischen geraden und ungeraden Exponenten ist ein wichtiges Merkmal zur Unterscheidung dieser Funktionen.

Diese Übersicht der Eigenschaften von Potenzfunktionen bietet eine wichtige Ergänzung zum Verständnis verschiedener Funktionstypen und ihrer graphischen Darstellungen.