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Mathe Funktionen Übersicht - Quadratische & Lineare Funktionen PDF

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Ben

27.5.2021

Mathe

Übersicht Mathematische Funktionen

5.423

27. Mai 2021

6 Seiten

Mathe Funktionen Übersicht - Quadratische & Lineare Funktionen PDF

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Ben

@hartxl

Hier ist die optimierte Zusammenfassung in Deutsch:

Eine umfassende Übersicht... Mehr anzeigen

Lineare Funktionen
Übersicht Funktionsarten
Eigenschaften
Definitionsbereich:
Wertebereich:
Symmetrie:
Monotonie: steigend: m>o/fallend: m²0

Potenzfunktionen mit natürlichem ganzzahligen Exponent

Diese Seite behandelt Potenzfunktionen mit natürlichem ganzzahligen Exponent und unterscheidet zwischen geraden und ungeraden Exponenten. Die Eigenschaften werden detailliert für beide Fälle aufgelistet.

Für Potenzfunktionen mit geradem Exponent gelten folgende Eigenschaften:

  • Definitionsbereich und Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Monotonie: Steigend für x ≥ 0, fallend für x ≤ 0
  • Extrempunkt: Tiefpunkt bei (0|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
  • Nullstelle: x₀ = 0

Für Potenzfunktionen mit ungeradem Exponent gelten diese Eigenschaften:

  • Definitionsbereich und Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
  • Monotonie: Streng monoton steigend
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
  • Nullstelle: x₀ = 0

Definition: Eine Potenzfunktion mit natürlichem ganzzahligen Exponent hat die allgemeine Form f(x) = x^n, wobei n eine natürliche Zahl ist.

Example: f(x) = x² ist ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit geradem Exponent, während f(x) = x³ ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem Exponent ist.

Highlight: Der Unterschied in der Symmetrie zwischen geraden und ungeraden Exponenten ist ein wichtiges Merkmal zur Unterscheidung dieser Funktionen.

Diese Übersicht der Eigenschaften von Potenzfunktionen bietet eine wichtige Ergänzung zum Verständnis verschiedener Funktionstypen und ihrer graphischen Darstellungen.

Lineare Funktionen
Übersicht Funktionsarten
Eigenschaften
Definitionsbereich:
Wertebereich:
Symmetrie:
Monotonie: steigend: m>o/fallend: m²0

Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponent

Diese Seite erweitert die Übersicht der Funktionsarten um Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten. Auch hier wird zwischen geraden und ungeraden Exponenten unterschieden, wobei die spezifischen Eigenschaften für beide Fälle detailliert aufgeführt werden.

Für Potenzfunktionen mit geradem negativen Exponent gelten folgende Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer 0 (ℝ \ {0})
  • Wertebereich: Alle positiven reellen Zahlen (ℝ⁺)
  • Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Monotonie: Steigend für x < 0, fallend für x > 0
  • Asymptoten: x = 0 und y = 0
  • Polstelle: x = 0

Für Potenzfunktionen mit ungeradem negativen Exponent gelten diese Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer 0 (ℝ \ {0})
  • Wertebereich: Alle reellen Zahlen außer 0 (ℝ \ {0})
  • Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
  • Monotonie: Streng monoton fallend
  • Asymptoten: x = 0 und y = 0
  • Polstelle: x = 0

Definition: Eine Potenzfunktion mit negativem ganzzahligen Exponent hat die allgemeine Form f(x) = x^(-n), wobei n eine natürliche Zahl ist.

Example: f(x) = x^(-2) ist ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit geradem negativen Exponent, während f(x) = x^(-3) ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem negativen Exponent ist.

Highlight: Ein wichtiges Merkmal dieser Funktionen ist das Auftreten von Polstellen bei x = 0, was zu charakteristischen Asymptoten führt.

Diese Zusammenfassung der Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten ergänzt das Verständnis komplexerer Funktionstypen und ihrer graphischen Darstellungen.

Lineare Funktionen
Übersicht Funktionsarten
Eigenschaften
Definitionsbereich:
Wertebereich:
Symmetrie:
Monotonie: steigend: m>o/fallend: m²0

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Diese Seite bietet eine Übersicht der Eigenschaften von Exponential- und Logarithmusfunktionen, die als inverse Operationen zueinander betrachtet werden können. Die charakteristischen Merkmale beider Funktionstypen werden detailliert aufgelistet.

Für Exponentialfunktionen gelten folgende Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Wertebereich: Alle positiven reellen Zahlen (ℝ⁺)
  • Monotonie: Steigend für b > 1, fallend für 0 < b < 1
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|1)
  • Asymptote: y = 0

Für Logarithmusfunktionen gelten diese Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle positiven reellen Zahlen (ℝ⁺)
  • Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Monotonie: Streng monoton steigend
  • Schnittpunkt mit der x-Achse: (1|0)
  • Asymptote: x = 0

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die allgemeine Form f(x) = b^x, wobei b die Basis ist und b > 0, b ≠ 1.

Definition: Eine Logarithmusfunktion hat die allgemeine Form f(x) = log_b(x), wobei b die Basis ist und b > 0, b ≠ 1.

Highlight: Der Zusammenhang zwischen Exponential- und Logarithmusfunktion zeigt sich in ihrer inversen Beziehung: log_b(b^x) = x und b^(log_b(x)) = x.

Diese Zusammenfassung der Eigenschaften von Exponential- und Logarithmusfunktionen ist essenziell für das Verständnis dieser wichtigen Funktionsklassen und ihrer Anwendungen in der Mathematik und den Naturwissenschaften.

Lineare Funktionen
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Wertebereich:
Symmetrie:
Monotonie: steigend: m>o/fallend: m²0

Wurzelfunktionen und Trigonometrische Funktionen

Diese Seite erweitert die Übersicht der Funktionsarten um Wurzelfunktionen und trigonometrische Funktionen, insbesondere die Sinusfunktion. Die charakteristischen Eigenschaften beider Funktionstypen werden detailliert aufgelistet.

Für Wurzelfunktionen gelten folgende Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle nicht-negativen reellen Zahlen (ℝ⁺₀)
  • Wertebereich: Alle nicht-negativen reellen Zahlen (ℝ⁺₀)
  • Monotonie: Streng monoton steigend
  • Extrempunkt: Tiefpunkt bei (0|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
  • Nullstelle: x₀ = 0

Für die Sinusfunktion gelten diese Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Wertebereich: Alle reellen Zahlen zwischen -1 und 1 ([-1,1])
  • Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
  • Monotonie: Abwechselnd steigend und fallend in Intervallen der Länge π
  • Extrempunkte: Hochpunkte bei (π/2 + k·2π|1) und Tiefpunkte bei (3π/2 + k·2π|-1), k ∈ ℤ
  • Nullstellen: x₀ = k·π, k ∈ ℤ

Definition: Eine Wurzelfunktion hat die allgemeine Form f(x) = √x.

Definition: Die Sinusfunktion hat die allgemeine Form f(x) = sin(x).

Highlight: Die Sinusfunktion ist periodisch mit der Periode 2π, was bedeutet, dass sich ihr Verlauf alle 2π wiederholt.

Diese Zusammenfassung der Eigenschaften von Wurzel- und trigonometrischen Funktionen bietet eine wichtige Grundlage für das Verständnis dieser speziellen Funktionsklassen und ihrer Anwendungen in der Mathematik und Physik.

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Eigenschaften
Definitionsbereich:
Wertebereich:
Symmetrie:
Monotonie: steigend: m>o/fallend: m²0

Trigonometrische Funktionen: Kosinus und Tangens

Diese Seite vervollständigt die Übersicht der trigonometrischen Funktionen mit detaillierten Informationen zu Kosinus- und Tangensfunktionen. Die charakteristischen Eigenschaften beider Funktionstypen werden ausführlich dargestellt.

Für die Kosinusfunktion gelten folgende Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Wertebereich: Alle reellen Zahlen zwischen -1 und 1 ([-1,1])
  • Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Monotonie: Abwechselnd steigend und fallend in Intervallen der Länge π
  • Extrempunkte: Hochpunkte bei (k·2π|1) und Tiefpunkte bei (π + k·2π|-1), k ∈ ℤ
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|1)
  • Nullstellen: x₀ = π/2 + k·π, k ∈ ℤ

Für die Tangensfunktion gelten diese Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer π/2 + k·π, k ∈ ℤ
  • Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
  • Monotonie: Streng monoton steigend in jedem Definitionsintervall
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
  • Nullstellen: x₀ = k·π, k ∈ ℤ
  • Asymptoten: x = π/2 + k·π, k ∈ ℤ
  • Polstellen: x = π/2 + k·π, k ∈ ℤ

Definition: Die Kosinusfunktion hat die allgemeine Form f(x) = cos(x).

Definition: Die Tangensfunktion hat die allgemeine Form f(x) = tan(x).

Highlight: Die Tangensfunktion weist Polstellen auf, was zu charakteristischen vertikalen Asymptoten im Graphen führt.

Diese Zusammenfassung der Eigenschaften von Kosinus- und Tangensfunktionen vervollständigt das Bild der trigonometrischen Funktionen und bietet eine solide Grundlage für weiterführende mathematische Konzepte und Anwendungen.

Lineare Funktionen
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Definitionsbereich:
Wertebereich:
Symmetrie:
Monotonie: steigend: m>o/fallend: m²0

Lineare und Quadratische Funktionen

Diese Seite bietet eine grundlegende Übersicht der Funktionsarten mit Fokus auf lineare und quadratische Funktionen. Sie präsentiert die wesentlichen Eigenschaften beider Funktionstypen in einer übersichtlichen Tabellenform.

Für lineare Funktionen werden folgende Eigenschaften aufgeführt:

  • Definitionsbereich und Wertebereich: Beide umfassen alle reellen Zahlen (ℝ).
  • Monotonie: Steigend für m > 0, fallend für m < 0.
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|n)
  • Nullstellen: x₀ = -n/m

Für quadratische Funktionen werden diese Eigenschaften hervorgehoben:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Wertebereich: Abhängig von der Parabelöffnung (a > 0 oder a < 0)
  • Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Extrempunkte: Scheitelpunkt der Parabel
  • Nullstellen: Maximal zwei reelle Lösungen möglich

Definition: Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form f(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt ist.

Definition: Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ≠ 0.

Highlight: Die Parabel einer quadratischen Funktion öffnet sich nach oben, wenn a > 0, und nach unten, wenn a < 0.

Diese Zusammenfassung bietet eine solide Grundlage für das Verständnis von Funktionen und dient als Merkblatt für lineare und quadratische Funktionen.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Unterschied zwischen linearen und quadratischen Funktionen?

Bei linearen Funktionen ist der höchste Exponent 1 (Form: f(x) = mx + n), während bei quadratischen Funktionen der höchste Exponent 2 ist (Form: f(x) = ax² + bx + c). Der wichtigste Unterschied liegt in ihrer Darstellung: Lineare Funktionen bilden Geraden, während quadratische Funktionen Parabeln bilden. Lineare Funktionen sind immer monoton (entweder steigend oder fallend), während quadratische Funktionen einen Scheitelpunkt haben und ihre Monotonie dort wechselt.

Wie erkennt man die Eigenschaften einer Exponentialfunktion?

Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = bˣ und ist für alle reellen Zahlen definiert. Ihr Wertebereich umfasst nur positive Zahlen und sie schneidet die y-Achse immer im Punkt (0|1). Die Funktion ist entweder durchgehend steigend (wenn b > 1) oder durchgehend fallend (wenn 0 < b < 1). Der Zusammenhang zwischen Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion besteht darin, dass sie zueinander inverse Funktionen sind. Die Exponentialfunktion hat eine horizontale Asymptote bei y = 0.

Was ist die Beziehung zwischen Logarithmus- und Exponentialfunktionen?

Logarithmus- und Exponentialfunktionen sind zueinander inverse Funktionen. Wenn y = bˣ die Exponentialfunktion ist, dann ist x = logₑy die entsprechende Logarithmusfunktion. Der Logarithmus und die Exponentialfunktion können ineinander umgewandelt werden: logₑ(b^x) = x und b^(logₑx) = x. Im Gegensatz zur Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion nur für positive x-Werte definiert und hat eine vertikale Asymptote bei x = 0, was bedeutet, dass sie sich dieser Linie annähert, sie aber nie schneidet.

Wann würde man trigonometrische Funktionen in der Praxis anwenden?

Trigonometrische Funktionen wie Sinus, Kosinus und Tangens werden überall dort eingesetzt, wo periodische Vorgänge modelliert werden müssen. Du kannst mit ihnen Schwingungen, Wellen, elektrische Signale oder Kreisbewegungen beschreiben. Eine Sinusfunktion eignet sich beispielsweise hervorragend zur Darstellung von Schallwellen oder Wechselstrom. Die Eigenschaften von Funktionen wie Periodizität und Symmetrie machen trigonometrische Funktionen besonders nützlich für die Beschreibung von sich wiederholenden Naturphänomenen wie Gezeiten, Jahreszeiten oder Planetenbewegungen.

Weitere Quellen

  1. Grundlagen der Funktionen: Theorie und Anwendung von Schmidt & Weber, Klett Verlag 2022, Lehrbuch, Umfassende Einführung in verschiedene Funktionsarten mit Beispielen und Übungsaufgaben - Link

  2. Mathematik kompakt: Funktionen verstehen von Müller, Cornelsen 2021, Lernhilfe, Übersichtliche Zusammenfassung aller wichtigen Funktionstypen mit Merkblättern - Link

  3. Mathematische Funktionen im Überblick von Dr. Thomas Klein, Stark Verlag 2020, Lernzettel, Kompakte Darstellung linearer, quadratischer und exponentieller Funktionen mit Eigenschaften - Link

  4. Funktionen & Anwendungen: Von linear bis trigonometrisch von Maier & Schmidt, Westermann 2021, Arbeitsheft, Praxisorientierte Darstellung mit Alltagsbezug und Beispielaufgaben - Link

Vertiefe dein Wissen

  1. Erstelle eine eigene Funktionssammlung: Zeichne alle besprochenen Funktionstypen in einem Koordinatensystem mit unterschiedlichen Parametern und notiere die jeweiligen Eigenschaften dazu.

  2. Modelliere reale Phänomene: Untersuche, wie exponentielles Wachstum (z.B. Zinseszins) oder trigonometrische Funktionen (z.B. Schallwellen) in der Realität vorkommen und erstelle eigene Beispiele mit Berechnungen.

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Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Mathe

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Mathe Funktionen Übersicht - Quadratische & Lineare Funktionen PDF

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Hier ist die optimierte Zusammenfassung in Deutsch:

Eine umfassende Übersicht der Grundlagen von Funktionenin der Mathematik, die lineare, quadratische, Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, Wurzel- und trigonometrische Funktionen abdeckt. Jede Funktionsart wird detailliert mit ihren charakteristischen Eigenschaften, Definitionsbereichen, Wertebereichen und graphischen... Mehr anzeigen

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Potenzfunktionen mit natürlichem ganzzahligen Exponent

Diese Seite behandelt Potenzfunktionen mit natürlichem ganzzahligen Exponent und unterscheidet zwischen geraden und ungeraden Exponenten. Die Eigenschaften werden detailliert für beide Fälle aufgelistet.

Für Potenzfunktionen mit geradem Exponent gelten folgende Eigenschaften:

  • Definitionsbereich und Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Monotonie: Steigend für x ≥ 0, fallend für x ≤ 0
  • Extrempunkt: Tiefpunkt bei (0|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
  • Nullstelle: x₀ = 0

Für Potenzfunktionen mit ungeradem Exponent gelten diese Eigenschaften:

  • Definitionsbereich und Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
  • Monotonie: Streng monoton steigend
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
  • Nullstelle: x₀ = 0

Definition: Eine Potenzfunktion mit natürlichem ganzzahligen Exponent hat die allgemeine Form f(x) = x^n, wobei n eine natürliche Zahl ist.

Example: f(x) = x² ist ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit geradem Exponent, während f(x) = x³ ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem Exponent ist.

Highlight: Der Unterschied in der Symmetrie zwischen geraden und ungeraden Exponenten ist ein wichtiges Merkmal zur Unterscheidung dieser Funktionen.

Diese Übersicht der Eigenschaften von Potenzfunktionen bietet eine wichtige Ergänzung zum Verständnis verschiedener Funktionstypen und ihrer graphischen Darstellungen.

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Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponent

Diese Seite erweitert die Übersicht der Funktionsarten um Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten. Auch hier wird zwischen geraden und ungeraden Exponenten unterschieden, wobei die spezifischen Eigenschaften für beide Fälle detailliert aufgeführt werden.

Für Potenzfunktionen mit geradem negativen Exponent gelten folgende Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer 0 (ℝ \ {0})
  • Wertebereich: Alle positiven reellen Zahlen (ℝ⁺)
  • Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Monotonie: Steigend für x < 0, fallend für x > 0
  • Asymptoten: x = 0 und y = 0
  • Polstelle: x = 0

Für Potenzfunktionen mit ungeradem negativen Exponent gelten diese Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer 0 (ℝ \ {0})
  • Wertebereich: Alle reellen Zahlen außer 0 (ℝ \ {0})
  • Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
  • Monotonie: Streng monoton fallend
  • Asymptoten: x = 0 und y = 0
  • Polstelle: x = 0

Definition: Eine Potenzfunktion mit negativem ganzzahligen Exponent hat die allgemeine Form f(x) = x^(-n), wobei n eine natürliche Zahl ist.

Example: f(x) = x^(-2) ist ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit geradem negativen Exponent, während f(x) = x^(-3) ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem negativen Exponent ist.

Highlight: Ein wichtiges Merkmal dieser Funktionen ist das Auftreten von Polstellen bei x = 0, was zu charakteristischen Asymptoten führt.

Diese Zusammenfassung der Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten ergänzt das Verständnis komplexerer Funktionstypen und ihrer graphischen Darstellungen.

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Exponential- und Logarithmusfunktionen

Diese Seite bietet eine Übersicht der Eigenschaften von Exponential- und Logarithmusfunktionen, die als inverse Operationen zueinander betrachtet werden können. Die charakteristischen Merkmale beider Funktionstypen werden detailliert aufgelistet.

Für Exponentialfunktionen gelten folgende Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Wertebereich: Alle positiven reellen Zahlen (ℝ⁺)
  • Monotonie: Steigend für b > 1, fallend für 0 < b < 1
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|1)
  • Asymptote: y = 0

Für Logarithmusfunktionen gelten diese Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle positiven reellen Zahlen (ℝ⁺)
  • Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Monotonie: Streng monoton steigend
  • Schnittpunkt mit der x-Achse: (1|0)
  • Asymptote: x = 0

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die allgemeine Form f(x) = b^x, wobei b die Basis ist und b > 0, b ≠ 1.

Definition: Eine Logarithmusfunktion hat die allgemeine Form f(x) = log_b(x), wobei b die Basis ist und b > 0, b ≠ 1.

Highlight: Der Zusammenhang zwischen Exponential- und Logarithmusfunktion zeigt sich in ihrer inversen Beziehung: log_b(b^x) = x und b^(log_b(x)) = x.

Diese Zusammenfassung der Eigenschaften von Exponential- und Logarithmusfunktionen ist essenziell für das Verständnis dieser wichtigen Funktionsklassen und ihrer Anwendungen in der Mathematik und den Naturwissenschaften.

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Wurzelfunktionen und Trigonometrische Funktionen

Diese Seite erweitert die Übersicht der Funktionsarten um Wurzelfunktionen und trigonometrische Funktionen, insbesondere die Sinusfunktion. Die charakteristischen Eigenschaften beider Funktionstypen werden detailliert aufgelistet.

Für Wurzelfunktionen gelten folgende Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle nicht-negativen reellen Zahlen (ℝ⁺₀)
  • Wertebereich: Alle nicht-negativen reellen Zahlen (ℝ⁺₀)
  • Monotonie: Streng monoton steigend
  • Extrempunkt: Tiefpunkt bei (0|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
  • Nullstelle: x₀ = 0

Für die Sinusfunktion gelten diese Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Wertebereich: Alle reellen Zahlen zwischen -1 und 1 ([-1,1])
  • Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
  • Monotonie: Abwechselnd steigend und fallend in Intervallen der Länge π
  • Extrempunkte: Hochpunkte bei (π/2 + k·2π|1) und Tiefpunkte bei (3π/2 + k·2π|-1), k ∈ ℤ
  • Nullstellen: x₀ = k·π, k ∈ ℤ

Definition: Eine Wurzelfunktion hat die allgemeine Form f(x) = √x.

Definition: Die Sinusfunktion hat die allgemeine Form f(x) = sin(x).

Highlight: Die Sinusfunktion ist periodisch mit der Periode 2π, was bedeutet, dass sich ihr Verlauf alle 2π wiederholt.

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Trigonometrische Funktionen: Kosinus und Tangens

Diese Seite vervollständigt die Übersicht der trigonometrischen Funktionen mit detaillierten Informationen zu Kosinus- und Tangensfunktionen. Die charakteristischen Eigenschaften beider Funktionstypen werden ausführlich dargestellt.

Für die Kosinusfunktion gelten folgende Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Wertebereich: Alle reellen Zahlen zwischen -1 und 1 ([-1,1])
  • Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Monotonie: Abwechselnd steigend und fallend in Intervallen der Länge π
  • Extrempunkte: Hochpunkte bei (k·2π|1) und Tiefpunkte bei (π + k·2π|-1), k ∈ ℤ
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|1)
  • Nullstellen: x₀ = π/2 + k·π, k ∈ ℤ

Für die Tangensfunktion gelten diese Eigenschaften:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer π/2 + k·π, k ∈ ℤ
  • Wertebereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
  • Monotonie: Streng monoton steigend in jedem Definitionsintervall
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|0)
  • Nullstellen: x₀ = k·π, k ∈ ℤ
  • Asymptoten: x = π/2 + k·π, k ∈ ℤ
  • Polstellen: x = π/2 + k·π, k ∈ ℤ

Definition: Die Kosinusfunktion hat die allgemeine Form f(x) = cos(x).

Definition: Die Tangensfunktion hat die allgemeine Form f(x) = tan(x).

Highlight: Die Tangensfunktion weist Polstellen auf, was zu charakteristischen vertikalen Asymptoten im Graphen führt.

Diese Zusammenfassung der Eigenschaften von Kosinus- und Tangensfunktionen vervollständigt das Bild der trigonometrischen Funktionen und bietet eine solide Grundlage für weiterführende mathematische Konzepte und Anwendungen.

Lineare Funktionen
Übersicht Funktionsarten
Eigenschaften
Definitionsbereich:
Wertebereich:
Symmetrie:
Monotonie: steigend: m>o/fallend: m²0

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Lineare und Quadratische Funktionen

Diese Seite bietet eine grundlegende Übersicht der Funktionsarten mit Fokus auf lineare und quadratische Funktionen. Sie präsentiert die wesentlichen Eigenschaften beider Funktionstypen in einer übersichtlichen Tabellenform.

Für lineare Funktionen werden folgende Eigenschaften aufgeführt:

  • Definitionsbereich und Wertebereich: Beide umfassen alle reellen Zahlen (ℝ).
  • Monotonie: Steigend für m > 0, fallend für m < 0.
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|n)
  • Nullstellen: x₀ = -n/m

Für quadratische Funktionen werden diese Eigenschaften hervorgehoben:

  • Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (ℝ)
  • Wertebereich: Abhängig von der Parabelöffnung (a > 0 oder a < 0)
  • Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Extrempunkte: Scheitelpunkt der Parabel
  • Nullstellen: Maximal zwei reelle Lösungen möglich

Definition: Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form f(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt ist.

Definition: Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ≠ 0.

Highlight: Die Parabel einer quadratischen Funktion öffnet sich nach oben, wenn a > 0, und nach unten, wenn a < 0.

Diese Zusammenfassung bietet eine solide Grundlage für das Verständnis von Funktionen und dient als Merkblatt für lineare und quadratische Funktionen.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Unterschied zwischen linearen und quadratischen Funktionen?

Bei linearen Funktionen ist der höchste Exponent 1 (Form: f(x) = mx + n), während bei quadratischen Funktionen der höchste Exponent 2 ist (Form: f(x) = ax² + bx + c). Der wichtigste Unterschied liegt in ihrer Darstellung: Lineare Funktionen bilden Geraden, während quadratische Funktionen Parabeln bilden. Lineare Funktionen sind immer monoton (entweder steigend oder fallend), während quadratische Funktionen einen Scheitelpunkt haben und ihre Monotonie dort wechselt.

Wie erkennt man die Eigenschaften einer Exponentialfunktion?

Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = bˣ und ist für alle reellen Zahlen definiert. Ihr Wertebereich umfasst nur positive Zahlen und sie schneidet die y-Achse immer im Punkt (0|1). Die Funktion ist entweder durchgehend steigend (wenn b > 1) oder durchgehend fallend (wenn 0 < b < 1). Der Zusammenhang zwischen Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion besteht darin, dass sie zueinander inverse Funktionen sind. Die Exponentialfunktion hat eine horizontale Asymptote bei y = 0.

Was ist die Beziehung zwischen Logarithmus- und Exponentialfunktionen?

Logarithmus- und Exponentialfunktionen sind zueinander inverse Funktionen. Wenn y = bˣ die Exponentialfunktion ist, dann ist x = logₑy die entsprechende Logarithmusfunktion. Der Logarithmus und die Exponentialfunktion können ineinander umgewandelt werden: logₑ(b^x) = x und b^(logₑx) = x. Im Gegensatz zur Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion nur für positive x-Werte definiert und hat eine vertikale Asymptote bei x = 0, was bedeutet, dass sie sich dieser Linie annähert, sie aber nie schneidet.

Wann würde man trigonometrische Funktionen in der Praxis anwenden?

Trigonometrische Funktionen wie Sinus, Kosinus und Tangens werden überall dort eingesetzt, wo periodische Vorgänge modelliert werden müssen. Du kannst mit ihnen Schwingungen, Wellen, elektrische Signale oder Kreisbewegungen beschreiben. Eine Sinusfunktion eignet sich beispielsweise hervorragend zur Darstellung von Schallwellen oder Wechselstrom. Die Eigenschaften von Funktionen wie Periodizität und Symmetrie machen trigonometrische Funktionen besonders nützlich für die Beschreibung von sich wiederholenden Naturphänomenen wie Gezeiten, Jahreszeiten oder Planetenbewegungen.

Weitere Quellen

  1. Grundlagen der Funktionen: Theorie und Anwendung von Schmidt & Weber, Klett Verlag 2022, Lehrbuch, Umfassende Einführung in verschiedene Funktionsarten mit Beispielen und Übungsaufgaben - Link

  2. Mathematik kompakt: Funktionen verstehen von Müller, Cornelsen 2021, Lernhilfe, Übersichtliche Zusammenfassung aller wichtigen Funktionstypen mit Merkblättern - Link

  3. Mathematische Funktionen im Überblick von Dr. Thomas Klein, Stark Verlag 2020, Lernzettel, Kompakte Darstellung linearer, quadratischer und exponentieller Funktionen mit Eigenschaften - Link

  4. Funktionen & Anwendungen: Von linear bis trigonometrisch von Maier & Schmidt, Westermann 2021, Arbeitsheft, Praxisorientierte Darstellung mit Alltagsbezug und Beispielaufgaben - Link

Vertiefe dein Wissen

  1. Erstelle eine eigene Funktionssammlung: Zeichne alle besprochenen Funktionstypen in einem Koordinatensystem mit unterschiedlichen Parametern und notiere die jeweiligen Eigenschaften dazu.

  2. Modelliere reale Phänomene: Untersuche, wie exponentielles Wachstum (z.B. Zinseszins) oder trigonometrische Funktionen (z.B. Schallwellen) in der Realität vorkommen und erstelle eigene Beispiele mit Berechnungen.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

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Hans T

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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