Mathe

23. Nov. 2025

940

5 Seiten

Grundlagen der Vektoren in R2 und R3

Heidi @heidihaas_uifl

Vektoren sind dein neues mathematisches Werkzeug für den dreidimensionalen Raum! Du lernst hier, wie du mit diesen Pfeilen... Mehr anzeigen

$# Vektoren im Raum Dimision Def Ein Vektor ist ein n'-Tupel. 6.10.21 im R²: A ($\binom{ax}{ay}$) = (ax | ay) → Ortsvektor $\vec{a}$ = $\b$

Vektoren im Raum - Die Grundlagen

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wo sich dein Handy im Raum befindet - genau dafür brauchst du Vektoren! Ein Vektor ist einfach ein n-Tupel, also eine Liste von Zahlen.

Im R² $2D-Ebene$ hast du zwei Koordinaten Ortsvektoren wie A(ax|ay) zeigen dir einen festen Punkt, während Richtungsvektoren wie $\vec{a}$ die Richtung angeben. Im R³ $3D-Raum$ kommt einfach eine dritte Koordinate dazu - die z-Komponente.

Um einen Richtungsvektor zwischen zwei Punkten zu finden, rechnest du ganz simpel $\vec{AB}$ = B - A. Das heißt "Spitze minus Schaft" oder "Endpunkt minus Anfangspunkt". Bei A(1,-3,-5) und B(5,-2,3) wird $\vec{AB}$ zu (4,1,8).

Tipp In GeoGebra kannst du mit der 3D-Grafik deine Vektoren visualisieren - das macht alles viel anschaulicher!

$# Vektoren im Raum Dimision Def Ein Vektor ist ein n'-Tupel. 6.10.21 im R²: A ($\binom{ax}{ay}$) = (ax | ay) → Ortsvektor $\vec{a}$ = $\b$

Grundrechenarten mit Vektoren

Rechnen mit Vektoren ist eigentlich ziemlich entspannt - du machst alles komponentenweise! Beim Addieren und Subtrahieren rechnest du einfach jede Koordinate für sich erste mit erster, zweite mit zweiter, und so weiter.

Skalare Multiplikation bedeutet, dass du jeden Wert im Vektor mit einer Zahl multiplizierst. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor - nur länger oder kürzer. Bei 5 · (-1,3,5) bekommst du (-5,15,25).

Beim Skalarprodukt multiplizierst du entsprechende Komponenten und addierst alles zusammen - das Ergebnis ist eine einzige Zahl! Zum Beispiel (3,-4,-1) · (2,5,7) = 6 + (-20) + (-7) = -21.

Wichtig Skalarprodukt gibt dir eine Zahl zurück, nicht einen Vektor!

$# Vektoren im Raum Dimision Def Ein Vektor ist ein n'-Tupel. 6.10.21 im R²: A ($\binom{ax}{ay}$) = (ax | ay) → Ortsvektor $\vec{a}$ = $\b$

Kreuzprodukt und Vektorbetrag

Das Kreuzprodukt gibt's nur im R³ und ist super praktisch! Das Ergebnis ist ein Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht. Das ist mega nützlich, wenn du Normalvektoren zu Flächen brauchst.

Der Betrag eines Vektors ist einfach seine Länge - wie lang der Pfeil ist. Im R² rechnest du | $\vec{a}$ | = $\sqrt{ax² + ay²}$ , im R³ kommt die z-Komponente dazu | $\vec{a}$ | = $\sqrt{ax² + ay² + az²}$ .

In GeoGebra findest du das Kreuzprodukt mit "Kreuzprodukt((3,-4,-1), (2,5,7))" und die Länge mit "Länge(( ))". So kannst du deine Rechnungen schnell überprüfen.

Cool Das Kreuzprodukt zeigt dir immer die Richtung, die zu beiden Vektoren orthogonal ist!

$# Vektoren im Raum Dimision Def Ein Vektor ist ein n'-Tupel. 6.10.21 im R²: A ($\binom{ax}{ay}$) = (ax | ay) → Ortsvektor $\vec{a}$ = $\b$

Winkel und Einheitsvektoren

Den Winkel zwischen zwei Vektoren findest du mit der Formel $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ . Du brauchst also das Skalarprodukt und die Beträge beider Vektoren.

Wenn du cos(α) = 0,95 rausbekommst, dann ist α = cos⁻¹(0,95) ≈ 18,19°. Das funktioniert sowohl im R² als auch im R³ - die Formel bleibt dieselbe!

Einheitsvektoren haben immer die Länge 1 und zeigen nur die Richtung an. Du berechnest sie mit $\vec{a}_0 = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$ - du teilst also den Vektor durch seine eigene Länge.

Praktisch Einheitsvektoren sind perfekt, wenn du nur die Richtung brauchst, nicht die Länge!

$# Vektoren im Raum Dimision Def Ein Vektor ist ein n'-Tupel. 6.10.21 im R²: A ($\binom{ax}{ay}$) = (ax | ay) → Ortsvektor $\vec{a}$ = $\b$

Normalvektoren konstruieren

Normalvektoren stehen senkrecht zu deinem ursprünglichen Vektor - super wichtig für Geraden und Ebenen! Im R² ist's easy Koordinaten tauschen und ein Vorzeichen ändern. Aus (3,5) wird (-5,3) oder (5,-3).

Im R³ wird's interessanter Du setzt eine Koordinate auf 0, tauschst die anderen beiden und änderst ein Vorzeichen. Aus (8,-9,1) kannst du (-9,-8,0) oder (-1,0,8) machen.

Das Coole ist Du hast unendlich viele Möglichkeiten für Normalvektoren! Jeder Vektor, der senkrecht steht, ist richtig - manche sind nur länger oder kürzer als andere.

Merkhilfe Im R² tauschst du und änderst ein Vorzeichen - im R³ machst du das gleiche, aber setzt eine Koordinate auf null!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Grundlagen der Vektoren in R2 und R3

Heidi

@heidihaas_uifl

Vektoren sind dein neues mathematisches Werkzeug für den dreidimensionalen Raum! Du lernst hier, wie du mit diesen Pfeilen im R² und R³ rechnest und dabei coole Sachen wie Winkel zwischen Objekten bestimmst.

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Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wo sich dein Handy im Raum befindet - genau dafür brauchst du Vektoren! Ein Vektor ist einfach ein n-Tupel, also eine Liste von Zahlen.

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Um einen Richtungsvektor zwischen zwei Punkten zu finden, rechnest du ganz simpel: $\vec{AB}$ = B - A. Das heißt "Spitze minus Schaft" oder "Endpunkt minus Anfangspunkt". Bei A(1,-3,-5) und B(5,-2,3) wird $\vec{AB}$ zu (4,1,8).

Tipp: In GeoGebra kannst du mit der 3D-Grafik deine Vektoren visualisieren - das macht alles viel anschaulicher!

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Grundrechenarten mit Vektoren

Rechnen mit Vektoren ist eigentlich ziemlich entspannt - du machst alles komponentenweise! Beim Addieren und Subtrahieren rechnest du einfach jede Koordinate für sich: erste mit erster, zweite mit zweiter, und so weiter.

Beim Skalarprodukt multiplizierst du entsprechende Komponenten und addierst alles zusammen - das Ergebnis ist eine einzige Zahl! Zum Beispiel: (3,-4,-1) · (2,5,7) = 6 + (-20) + (-7) = -21.

Wichtig: Skalarprodukt gibt dir eine Zahl zurück, nicht einen Vektor!

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Der Betrag eines Vektors ist einfach seine Länge - wie lang der Pfeil ist. Im R² rechnest du | $\vec{a}$ | = $\sqrt{ax² + ay²}$ , im R³ kommt die z-Komponente dazu: | $\vec{a}$ | = $\sqrt{ax² + ay² + az²}$ .

In GeoGebra findest du das Kreuzprodukt mit "Kreuzprodukt((3,-4,-1), (2,5,7))" und die Länge mit "Länge(( ))". So kannst du deine Rechnungen schnell überprüfen.

Cool: Das Kreuzprodukt zeigt dir immer die Richtung, die zu beiden Vektoren orthogonal ist!

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Den Winkel zwischen zwei Vektoren findest du mit der Formel: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ . Du brauchst also das Skalarprodukt und die Beträge beider Vektoren.

Wenn du cos(α) = 0,95 rausbekommst, dann ist α = cos⁻¹(0,95) ≈ 18,19°. Das funktioniert sowohl im R² als auch im R³ - die Formel bleibt dieselbe!

Praktisch: Einheitsvektoren sind perfekt, wenn du nur die Richtung brauchst, nicht die Länge!

$# Vektoren im Raum Dimision Def Ein Vektor ist ein n'-Tupel. 6.10.21 im R²: A ($\binom{ax}{ay}$) = (ax | ay) → Ortsvektor $\vec{a}$ = $\b$

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Normalvektoren konstruieren

Normalvektoren stehen senkrecht zu deinem ursprünglichen Vektor - super wichtig für Geraden und Ebenen! Im R² ist's easy: Koordinaten tauschen und ein Vorzeichen ändern. Aus (3,5) wird (-5,3) oder (5,-3).

Im R³ wird's interessanter: Du setzt eine Koordinate auf 0, tauschst die anderen beiden und änderst ein Vorzeichen. Aus (8,-9,1) kannst du (-9,-8,0) oder (-1,0,8) machen.

Das Coole ist: Du hast unendlich viele Möglichkeiten für Normalvektoren! Jeder Vektor, der senkrecht steht, ist richtig - manche sind nur länger oder kürzer als andere.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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