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Mathematik

Vektorraumoperationen

Kreuzprodukt

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1. Feb. 2026

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Das Vektorprodukt: Erklärung und Beispielaufgabe

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Barne Koep

@barne_kp

Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) ist ein mächtiges Werkzeug in... Mehr anzeigen

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# Das Vektor- bzw. Kreuzprodukt Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spannen eine Ebene aus. Gesucht ist ein Vektor $\vec{n}$ der auf den b

Das Vektorprodukt verstehen

Stell dir vor, du hast zwei Vektoren a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b}, die eine Ebene aufspannen. Das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) hilft dir dabei, einen dritten Vektor zu finden, der senkrecht auf beiden steht – den Normalvektor n⃗\vec{n}.

Die Formel für das Vektorprodukt sieht erstmal kompliziert aus, folgt aber einem klaren Muster: a⃗×b⃗=(a2b3−a3b2\a3b1−a1b3\a1b2−a2b1)\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2\a_3 b_1 - a_1 b_3\a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}. Du rechnest dabei kreuzweise die Komponenten durch.

Das Besondere: Der entstehende Normalvektor steht orthogonal zu beiden ursprünglichen Vektoren und bildet mit ihnen ein Rechtssystem. Falls das Kreuzprodukt den Nullvektor ergibt, sind die beiden Vektoren kollinear (also Vielfache voneinander).

💡 Merktipp: Das Vektorprodukt ist nicht nur für Normalvektoren da – sein Betrag entspricht auch dem Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms!

# Das Vektor- bzw. Kreuzprodukt Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spannen eine Ebene aus. Gesucht ist ein Vektor $\vec{n}$ der auf den b

Volumenberechnungen mit dem Spatprodukt

Mit dem Spatprodukt kannst du ganz einfach Volumen verschiedener 3D-Körper berechnen. Das Grundprinzip: Du kombinierst das Vektorprodukt mit dem Skalarprodukt zu ∣(a⃗×b⃗)∘c⃗∣|(\vec{a} \times \vec{b}) \circ \vec{c}|.

Für verschiedene Körper multiplizierst du einfach mit dem passenden Faktor: Spat (Faktor 1), Dreiecksprisma Faktor1/2Faktor 1/2, viereckige Pyramide Faktor1/3Faktor 1/3 und dreieckige Pyramide Faktor1/6Faktor 1/6.

Diese Formeln sind perfekt für Klausuraufgaben, weil sie so systematisch funktionieren. Du musst dir nur merken, welcher Bruch zu welchem Körper gehört.

🎯 Klausurtipp: Das Spatprodukt kommt in fast jeder Vektorrechnung-Klausur vor – übe die Faktoren auswendig!

# Das Vektor- bzw. Kreuzprodukt Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spannen eine Ebene aus. Gesucht ist ein Vektor $\vec{n}$ der auf den b

Flächenberechnungen und praktische Anwendung

Flächenberechnungen mit dem Vektorprodukt sind super straightforward: Für ein Parallelogramm nimmst du einfach ∣a⃗×b⃗∣|\vec{a} \times \vec{b}|, für ein Dreieck die Hälfte davon.

Das Beispiel mit der dreieckigen Pyramide zeigt dir den typischen Lösungsweg: Zuerst bildest du die Richtungsvektoren von einem Punkt zu allen anderen. Dann berechnest du das Vektorprodukt der ersten beiden Vektoren.

Anschließend machst du das Skalarprodukt mit dem dritten Vektor und setzt alles in die Volumenformel ein. Bei der dreieckigen Pyramide war das Ergebnis 30,3 Volumeneinheiten.

📝 Lösungsstrategie: Arbeite immer systematisch: Richtungsvektoren → Vektorprodukt → Skalarprodukt → Formel einsetzen.

# Das Vektor- bzw. Kreuzprodukt Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spannen eine Ebene aus. Gesucht ist ein Vektor $\vec{n}$ der auf den b


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Beliebtester Inhalt: Kreuzprodukt

Mathematik LK Abi 2021: Themenübersicht

Umfassende Zusammenfassung aller relevanten Themen für das Mathematik Abitur 2021, einschließlich Analysis, analytische Geometrie und Stochastik. Ideal für die Prüfungsvorbereitung. Themen: Hypothesentests, Normalverteilung, Integralrechnung, Vektoren und mehr.

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Entdecken Sie die Grundlagen der Geometrie im Raum mit diesem umfassenden Überblick über Ebenen und Geraden. Erfahren Sie, wie Spurpunkte, Schnittpunkte und die gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen bestimmt werden. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Vektoren, Skalar- und Vektorprodukte sowie die verschiedenen Formen von Ebenengleichungen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur 2022.

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Diese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der Vektoren in der analytischen Geometrie, einschließlich Vektortypen, Skalar- und Kreuzprodukt, Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen sowie Lagebeziehungen. Ideal für das Abitur im Leistungskurs. Erlerne die Grundlagen der Vektorgeometrie und deren Anwendungen im dreidimensionalen Koordinatensystem.

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Kreuzprodukt verstehen

Erfahren Sie alles über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) und seine Anwendung zur Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen. Diese Zusammenfassung behandelt die Herleitung der Formel, die Eigenschaften von Vektoren und die Bedeutung des orientierten Flächeninhalts. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Entdecken Sie die Grundlagen des Vektorprodukts, einschließlich Definition, Rechengesetze und praktische Anwendungen wie den Flächeninhalt eines Parallelogramms und das Volumen von Pyramiden und Spaten. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik, die ein tieferes Verständnis der Vektorgeometrie suchen.

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Diese Zusammenfassung behandelt die grundlegenden Konzepte des Skalarprodukts, Vektorprodukts und Spatprodukts. Erfahren Sie, wie man den Winkel zwischen Vektoren berechnet, die Eigenschaften der Produkte analysiert und deren Anwendungen in der Geometrie versteht. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Entdecken Sie die wichtigsten Formeln und Konzepte der Vektoren und Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt Vektorprodukte, Abstände zwischen Ebenen, die Position von Linien und mehr. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Mathematik

Vektorraumoperationen

Kreuzprodukt

 

Mathe

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1.972

•

1. Feb. 2026

•

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Das Vektorprodukt: Erklärung und Beispielaufgabe

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Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) ist ein mächtiges Werkzeug in der Vektorrechnung, mit dem du Normalvektoren findest und verschiedene Flächen- und Volumenberechnungen durchführen kannst. Es hilft dir dabei, geometrische Probleme elegant zu lösen, die in Klausuren häufig vorkommen.

# Das Vektor- bzw. Kreuzprodukt Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spannen eine Ebene aus. Gesucht ist ein Vektor $\vec{n}$ der auf den b

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Das Vektorprodukt verstehen

Stell dir vor, du hast zwei Vektoren a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b}, die eine Ebene aufspannen. Das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) hilft dir dabei, einen dritten Vektor zu finden, der senkrecht auf beiden steht – den Normalvektor n⃗\vec{n}.

Die Formel für das Vektorprodukt sieht erstmal kompliziert aus, folgt aber einem klaren Muster: a⃗×b⃗=(a2b3−a3b2\a3b1−a1b3\a1b2−a2b1)\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2\a_3 b_1 - a_1 b_3\a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}. Du rechnest dabei kreuzweise die Komponenten durch.

Das Besondere: Der entstehende Normalvektor steht orthogonal zu beiden ursprünglichen Vektoren und bildet mit ihnen ein Rechtssystem. Falls das Kreuzprodukt den Nullvektor ergibt, sind die beiden Vektoren kollinear (also Vielfache voneinander).

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# Das Vektor- bzw. Kreuzprodukt Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spannen eine Ebene aus. Gesucht ist ein Vektor $\vec{n}$ der auf den b

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Mit dem Spatprodukt kannst du ganz einfach Volumen verschiedener 3D-Körper berechnen. Das Grundprinzip: Du kombinierst das Vektorprodukt mit dem Skalarprodukt zu ∣(a⃗×b⃗)∘c⃗∣|(\vec{a} \times \vec{b}) \circ \vec{c}|.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Zusammenfassung Heimsuchung

ein Zusammenfassung vom Buch Heimsuchung hinsichtlich auf eine literarische Erörterung

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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Findest du nicht, was du suchst? Entdecke andere Fächer.

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4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

iOS-Nutzer

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Anna

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Thomas R

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Basil

Android-Nutzer

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David K

iOS-Nutzer

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Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

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Elisha

iOS-Nutzer

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Paul T

iOS-Nutzer