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Mathematik

Vektorraumoperationen

Kreuzprodukt

360

•

8. Dez. 2025

•

2 Seiten

Umfassende Formelsammlung für Vektoren und Geometrie

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Tammy

@tammy_plsk

Vektoren begegnen dir überall - von der Navigation im Handy... Mehr anzeigen

r معه محمد GEGENVEKTOR VA V₂ -V3 MITTELPUNKT OM = 1/2 · 10² + BETRÄGE (LÄNGE) DREIECKSREGEL PARAMETERGLEI- CHUNG EABC UMFANG V. BETRÄ- GEN S

Grundlagen der Vektorrechnung

Vektoren sind gerichtete Größen, die du dir wie Pfeile im Raum vorstellen kannst. Sie haben eine Richtung und eine Länge, was sie perfekt für räumliche Berechnungen macht.

Den Gegenvektor erhältst du, indem du einfach alle Vorzeichen umkehrst. Aus (2, -3, 1) wird dann (-2, 3, -1). Der Mittelpunkt zwischen zwei Punkten A und B berechnest du mit OM→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}).

Die Länge eines Vektors (auch Betrag genannt) findest du mit dem Satz des Pythagoras im dreidimensionalen Raum: ∣AB→∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}. Die Dreiecksregel AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} zeigt, wie du Vektoren aneinanderhängst.

Merkregel: Bei der Vektoraddition muss der Endpunkt des ersten Vektors der Startpunkt des zweiten sein!

Mit Parametergleichungen beschreibst du Geraden und Ebenen. Eine Gerade hat die Form g:x→=OA→+t⋅AB→g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OA} + t \cdot \overrightarrow{AB}, eine Ebene braucht zwei Richtungsvektoren: x→=OA→+r⋅AB→+s⋅AC→\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}.

r معه محمد GEGENVEKTOR VA V₂ -V3 MITTELPUNKT OM = 1/2 · 10² + BETRÄGE (LÄNGE) DREIECKSREGEL PARAMETERGLEI- CHUNG EABC UMFANG V. BETRÄ- GEN S

Erweiterte Vektoroperationen und Anwendungen

Das Skalarprodukt multipliziert Vektoren komponentenweise und addiert die Ergebnisse: a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3. Ist das Ergebnis null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander - super praktisch für Winkelberechnungen!

Beim Kreuzprodukt (Vektorprodukt) entsteht ein neuer Vektor, der senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren steht. Die Berechnung sieht kompliziert aus, folgt aber einem festen Schema. Du brauchst es hauptsächlich für Normalenvektoren und Flächenberechnungen.

Flächeninhalte berechnest du elegant mit dem Kreuzprodukt: Ein Parallelogramm hat den Flächeninhalt A=∣AB⃗×AD⃗∣A = |\vec{AB} \times \vec{AD}|, ein Dreieck die Hälfte davon. Für Volumina kombinierst du Kreuz- und Skalarprodukt - ein Spat hat das Volumen V=∣(AB⃗×AD⃗)⋅AE⃗∣V = |(\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot \vec{AE}|.

Tipp: Gehe bei Volumenberechnungen systematisch vor - erst die Vektoren bilden, dann kreuzen, dann das Skalarprodukt berechnen!

Besondere Dreiecke erkennst du an den Seitenlängen: gleichschenklig (zwei gleiche Seiten), gleichseitig (alle gleich) oder rechtwinklig Pythagoras−Satzerfu¨lltPythagoras-Satz erfüllt.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Beliebteste Inhalte: Kreuzprodukt

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Entdecken Sie die Grundlagen der Geometrie im Raum mit diesem umfassenden Überblick über Ebenen und Geraden. Erfahren Sie, wie Spurpunkte, Schnittpunkte und die gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen bestimmt werden. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Vektoren, Skalar- und Vektorprodukte sowie die verschiedenen Formen von Ebenengleichungen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur 2022.

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Diese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der Vektoren in der analytischen Geometrie, einschließlich Vektortypen, Skalar- und Kreuzprodukt, Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen sowie Lagebeziehungen. Ideal für das Abitur im Leistungskurs. Erlerne die Grundlagen der Vektorgeometrie und deren Anwendungen im dreidimensionalen Koordinatensystem.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Jana V

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Vektorraumoperationen

Kreuzprodukt

 

Mathe

•

360

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•

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Grundlagen der Vektorrechnung

Vektoren sind gerichtete Größen, die du dir wie Pfeile im Raum vorstellen kannst. Sie haben eine Richtung und eine Länge, was sie perfekt für räumliche Berechnungen macht.

Den Gegenvektor erhältst du, indem du einfach alle Vorzeichen umkehrst. Aus (2, -3, 1) wird dann (-2, 3, -1). Der Mittelpunkt zwischen zwei Punkten A und B berechnest du mit OM→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}).

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Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Lineare Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der linearen Funktionen: Erfahren Sie, wie man Punkte testet, Wertetabellen erstellt, Funktionen zeichnet und die Steigung sowie den y-Achsenabschnitt bestimmt. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur Umformung von Gleichungen in die Normalform und zur Bestimmung von Schnittpunkten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Lineare Funktionen verstehen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über lineare Funktionen, einschließlich der allgemeinen Formel, der Bestimmung von Funktionsgleichungen, der Steigung und der Nullstellen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten. Enthält Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Berechnung von Schnittpunkten und zur Analyse von Graphen.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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