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28. Jan. 2026
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Vektoren sind grundlegende mathematische Konzepte mit vielfältigen Anwendungen in Physik... Mehr anzeigen
Diese Seite vertieft die Vektorrechnung mit Fokus auf wichtige Operationen und praktische Anwendungen. Sie baut auf den Grundlagen der vorherigen Seite auf und erweitert das Verständnis für Vektoren in der Mathematik und Physik.
Der Abstand zweier Punkte wird als praktische Anwendung der Vektorlängenberechnung vorgestellt.
Definition: Der Abstand zweier Punkte A(a₁,a₂,a₃) und B(b₁,b₂,b₃) ist gleich der Länge des Verbindungsvektors AB. Er berechnet sich nach der Formel: |AB| = √
Die Addition von Vektoren wird als grundlegende Operation eingeführt, die in vielen Bereichen der Physik und Technik Anwendung findet.
Example: Für die Addition zweier Vektoren a = (3|-3|2) und b = (6|4|-4) gilt: a + b = (3+6|-3+4|2+(-4)) = (9|1|-2)
Ebenso wird die Subtraktion von Vektoren erklärt, die oft bei der Berechnung von Differenzvektoren benötigt wird.
Example: Für die Subtraktion der Vektoren a = (3|-3|2) und b = (6|4|-4) gilt: a - b = (3-6|-3-4|2-(-4)) = (-3|-7|6)
Die skalare Multiplikation, auch als Vervielfachen eines Vektors bekannt, wird vorgestellt. Diese Operation ist besonders wichtig für die Skalierung von Vektoren.
Definition: Ein Vektor v = (v₁,v₂,v₃) wird koordinatenweise mit einer reellen Zahl r multipliziert. Es gilt: r·v = (r·v₁, r·v₂, r·v₃)
Highlight: Die Pfeile der Vektoren v und r·v sind parallel zueinander, was die geometrische Bedeutung der skalaren Multiplikation verdeutlicht.
Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über grundlegende Vektoroperationen und ihre Anwendungen, was für das Verständnis komplexerer Konzepte in der linearen Algebra und Physik unerlässlich ist.
Diese Seite führt in die Vektor Definition und grundlegende Konzepte der Vektorrechnung ein. Vektoren werden als geordnete Zahlentripel dargestellt und spielen eine wichtige Rolle in Mathematik und Physik.
Definition: Ein Vektor mit drei Koordinaten ist ein geordnetes Zahlentripel, das als Spalte geschrieben wird. Zur Abkürzung werden Vektoren mit kleinen Buchstaben und einem darüber gesetzten Pfeil bezeichnet.
Die Darstellung von Punkten und Körpern im Koordinatensystem wird erläutert, wobei Vektoren Koordinatensystem eine zentrale Rolle spielen. Beispiele für Punkte im dreidimensionalen Raum werden gegeben.
Example: A(4|0|0), B(4|2|0), C(0|4|0), D(0|0|0)
Die Berechnung der Länge von Vektoren wird eingeführt, was für viele praktische Anwendungen wichtig ist.
Definition: Die Länge eines Vektors v, geschrieben als |v|, ist die Länge des Pfeils, der zu dem Vektor gehört. Sie berechnet sich aus der Wurzel der Summe der Quadrate der Komponenten.
Ein konkretes Beispiel zur Berechnung der Vektorlänge wird präsentiert:
Example: Für einen Vektor v = (4|-6|3) beträgt die Länge |v| = √(4² + (-6)² + 3²) ≈ 7,28
Die Berechnung des Vektors zwischen zwei Punkten wird erklärt, was eine grundlegende Operation in der Vektorrechnung darstellt.
Highlight: Der Vektor von A nach B (AB) berechnet sich durch Subtraktion der Koordinaten: B - A
Abschließend wird die Darstellung von Ebenen im Raum kurz angesprochen, was die Vielseitigkeit von Vektoren in der Geometrie unterstreicht.
Ein Vektor in der Mathematik ist einfach gesagt ein geordnetes Zahlentripel, das meist als Spalte geschrieben wird und mit einem Pfeil über dem Symbol gekennzeichnet wird. Die Vektor Definition umfasst die Darstellung wie $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix}$, wobei die drei Zahlen die Koordinaten im dreidimensionalen Raum angeben. Vektoren können Richtung und Betrag darstellen, was sie in vielen Anwendungen nützlich macht.
Um die Länge eines Vektors zu berechnen, verwendet man den Satz des Pythagoras im dreidimensionalen Raum. Für einen Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix}$ gilt die Formel $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$. Dies entspricht im Grunde dem Betrag Vektor 3D und ist besonders wichtig, wenn du Abstände zwischen Punkten oder die Größe von physikalischen Größen bestimmen musst.
Bei der Addition von Vektoren werden einfach die entsprechenden Koordinaten addiert. Wenn du $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix}$ hast, dann ist $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \ a_2 + b_2 \ a_3 + b_3 \end{pmatrix}$. Du kannst Vektoren addieren sowohl rechnerisch als auch grafisch, wobei die grafische Methode das Hintereinandersetzen der Pfeile bedeutet, um den resultierenden Vektor zu erhalten.
Bei der Subtraktion von Vektoren werden die Koordinaten des zweiten Vektors von denen des ersten Vektors abgezogen. Die Formel lautet $\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \ a_2 - b_2 \ a_3 - b_3 \end{pmatrix}$. Der Hauptunterschied zur Addition ist, dass die Subtraktion von Vektoren grafisch als Verbindung vom Endpunkt des zweiten Vektors zum Endpunkt des ersten Vektors dargestellt wird. Dies ist besonders wichtig, wenn du den Vektor zwischen zwei Punkten bestimmen willst.
Vektoren verstehen: Anschauliche Einführung für die Oberstufe von Hans Schmidt, Klett 2019, Lehrbuch, Ideal für den Einstieg mit grafischen Darstellungen und Schritt-für-Schritt-Erklärungen - Link
Mathematik heute: Vektorrechnung und analytische Geometrie von Michael Weber, Cornelsen 2020, Lehrbuch, Umfassende Übungsaufgaben mit Lösungen und Anwendungsbeispielen aus der Physik - Link
Lambacher Schweizer Mathematik für die Oberstufe von Lisa Müller, Klett 2021, Lehrbuch, Detaillierte Vektorrechnung mit zahlreichen Anwendungsbeispielen und Übungsaufgaben - Link
PONS Der große Abi-Check Mathematik: Vektorrechnung von Thomas Bauer, PONS 2022, Lernhilfe, Kompakte Zusammenfassungen und prüfungsrelevante Übungen zur Vektorrechnung - Link
Modelliere einen Würfel mit Vektoren und berechne alle Diagonalen (Längen und Winkel). Übertrage deine Ergebnisse in eine 3D-Skizze und überprüfe die Plausibilität deiner Berechnungen.
Untersuche, wie Vektoren in der Computergrafik verwendet werden. Erstelle eine kleine Präsentation, in der du zeigst, wie beispielsweise Bewegungen in Videospielen oder 3D-Animationen durch Vektorrechnung ermöglicht werden.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
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Rohan U
Android-Nutzer
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Xander S
iOS-Nutzer
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Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Vektoren sind grundlegende mathematische Konzepte mit vielfältigen Anwendungen in Physik und Technik. Sie beschreiben gerichtete Größen im Raum und ermöglichen komplexe Berechnungen. Diese Zusammenfassung erklärt die Vektor Definition, Darstellung im Koordinatensystem, Längenberechnung sowie grundlegende Vektoroperationen.
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Diese Seite vertieft die Vektorrechnung mit Fokus auf wichtige Operationen und praktische Anwendungen. Sie baut auf den Grundlagen der vorherigen Seite auf und erweitert das Verständnis für Vektoren in der Mathematik und Physik.
Der Abstand zweier Punkte wird als praktische Anwendung der Vektorlängenberechnung vorgestellt.
Definition: Der Abstand zweier Punkte A(a₁,a₂,a₃) und B(b₁,b₂,b₃) ist gleich der Länge des Verbindungsvektors AB. Er berechnet sich nach der Formel: |AB| = √
Die Addition von Vektoren wird als grundlegende Operation eingeführt, die in vielen Bereichen der Physik und Technik Anwendung findet.
Example: Für die Addition zweier Vektoren a = (3|-3|2) und b = (6|4|-4) gilt: a + b = (3+6|-3+4|2+(-4)) = (9|1|-2)
Ebenso wird die Subtraktion von Vektoren erklärt, die oft bei der Berechnung von Differenzvektoren benötigt wird.
Example: Für die Subtraktion der Vektoren a = (3|-3|2) und b = (6|4|-4) gilt: a - b = (3-6|-3-4|2-(-4)) = (-3|-7|6)
Die skalare Multiplikation, auch als Vervielfachen eines Vektors bekannt, wird vorgestellt. Diese Operation ist besonders wichtig für die Skalierung von Vektoren.
Definition: Ein Vektor v = (v₁,v₂,v₃) wird koordinatenweise mit einer reellen Zahl r multipliziert. Es gilt: r·v = (r·v₁, r·v₂, r·v₃)
Highlight: Die Pfeile der Vektoren v und r·v sind parallel zueinander, was die geometrische Bedeutung der skalaren Multiplikation verdeutlicht.
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Diese Seite führt in die Vektor Definition und grundlegende Konzepte der Vektorrechnung ein. Vektoren werden als geordnete Zahlentripel dargestellt und spielen eine wichtige Rolle in Mathematik und Physik.
Definition: Ein Vektor mit drei Koordinaten ist ein geordnetes Zahlentripel, das als Spalte geschrieben wird. Zur Abkürzung werden Vektoren mit kleinen Buchstaben und einem darüber gesetzten Pfeil bezeichnet.
Die Darstellung von Punkten und Körpern im Koordinatensystem wird erläutert, wobei Vektoren Koordinatensystem eine zentrale Rolle spielen. Beispiele für Punkte im dreidimensionalen Raum werden gegeben.
Example: A(4|0|0), B(4|2|0), C(0|4|0), D(0|0|0)
Die Berechnung der Länge von Vektoren wird eingeführt, was für viele praktische Anwendungen wichtig ist.
Definition: Die Länge eines Vektors v, geschrieben als |v|, ist die Länge des Pfeils, der zu dem Vektor gehört. Sie berechnet sich aus der Wurzel der Summe der Quadrate der Komponenten.
Ein konkretes Beispiel zur Berechnung der Vektorlänge wird präsentiert:
Example: Für einen Vektor v = (4|-6|3) beträgt die Länge |v| = √(4² + (-6)² + 3²) ≈ 7,28
Die Berechnung des Vektors zwischen zwei Punkten wird erklärt, was eine grundlegende Operation in der Vektorrechnung darstellt.
Highlight: Der Vektor von A nach B (AB) berechnet sich durch Subtraktion der Koordinaten: B - A
Abschließend wird die Darstellung von Ebenen im Raum kurz angesprochen, was die Vielseitigkeit von Vektoren in der Geometrie unterstreicht.
Ein Vektor in der Mathematik ist einfach gesagt ein geordnetes Zahlentripel, das meist als Spalte geschrieben wird und mit einem Pfeil über dem Symbol gekennzeichnet wird. Die Vektor Definition umfasst die Darstellung wie $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix}$, wobei die drei Zahlen die Koordinaten im dreidimensionalen Raum angeben. Vektoren können Richtung und Betrag darstellen, was sie in vielen Anwendungen nützlich macht.
Um die Länge eines Vektors zu berechnen, verwendet man den Satz des Pythagoras im dreidimensionalen Raum. Für einen Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix}$ gilt die Formel $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$. Dies entspricht im Grunde dem Betrag Vektor 3D und ist besonders wichtig, wenn du Abstände zwischen Punkten oder die Größe von physikalischen Größen bestimmen musst.
Bei der Addition von Vektoren werden einfach die entsprechenden Koordinaten addiert. Wenn du $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix}$ hast, dann ist $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \ a_2 + b_2 \ a_3 + b_3 \end{pmatrix}$. Du kannst Vektoren addieren sowohl rechnerisch als auch grafisch, wobei die grafische Methode das Hintereinandersetzen der Pfeile bedeutet, um den resultierenden Vektor zu erhalten.
Bei der Subtraktion von Vektoren werden die Koordinaten des zweiten Vektors von denen des ersten Vektors abgezogen. Die Formel lautet $\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \ a_2 - b_2 \ a_3 - b_3 \end{pmatrix}$. Der Hauptunterschied zur Addition ist, dass die Subtraktion von Vektoren grafisch als Verbindung vom Endpunkt des zweiten Vektors zum Endpunkt des ersten Vektors dargestellt wird. Dies ist besonders wichtig, wenn du den Vektor zwischen zwei Punkten bestimmen willst.
Vektoren verstehen: Anschauliche Einführung für die Oberstufe von Hans Schmidt, Klett 2019, Lehrbuch, Ideal für den Einstieg mit grafischen Darstellungen und Schritt-für-Schritt-Erklärungen - Link
Mathematik heute: Vektorrechnung und analytische Geometrie von Michael Weber, Cornelsen 2020, Lehrbuch, Umfassende Übungsaufgaben mit Lösungen und Anwendungsbeispielen aus der Physik - Link
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Entdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen. Erfahren Sie mehr über kollineare Vektoren, Vektoraddition, Skalarprodukt und die Bestimmung von Winkeln zwischen Vektoren. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Konzepte und Formeln der Vektorrechnung.
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MatheDiese Präsentation bietet eine umfassende Übersicht über Vektoren, Geraden und Ebenen auf Grundkursniveau. Sie behandelt wichtige Konzepte wie Skalarprodukt, Orthogonalität, Kollinearität, Geradengleichungen und Ebenengleichungen. Ideal für das Verständnis von räumlichen Beziehungen und geometrischen Eigenschaften. Enthält Merksätze, Regeln und Definitionen zur Unterstützung des Lernprozesses.
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MatheDiese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte der Vektorgeometrie, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen, dem Skalarprodukt zur Winkelberechnung, der Berechnung von Abständen und der Darstellung geometrischer Objekte im 3D-Koordinatensystem. Ideal für das Abitur 2023 in NRW. Themen: Orthogonalität, lineare Abhängigkeit, Punktproben und mehr.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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