Vektoroperationen und Anwendungen

Diese Seite vertieft die Vektorrechnung mit Fokus auf wichtige Operationen und praktische Anwendungen. Sie baut auf den Grundlagen der vorherigen Seite auf und erweitert das Verständnis für Vektoren in der Mathematik und Physik.

Der Abstand zweier Punkte wird als praktische Anwendung der Vektorlängenberechnung vorgestellt.

Definition: Der Abstand zweier Punkte A(a₁,a₂,a₃) und B(b₁,b₂,b₃) ist gleich der Länge des Verbindungsvektors AB. Er berechnet sich nach der Formel: |AB| = √((b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + (b₃-a₃)²)

Die Addition von Vektoren wird als grundlegende Operation eingeführt, die in vielen Bereichen der Physik und Technik Anwendung findet.

Example: Für die Addition zweier Vektoren a = (3|-3|2) und b = (6|4|-4) gilt: a + b = (3+6|-3+4|2+(-4)) = (9|1|-2)

Ebenso wird die Subtraktion von Vektoren erklärt, die oft bei der Berechnung von Differenzvektoren benötigt wird.

Example: Für die Subtraktion der Vektoren a = (3|-3|2) und b = (6|4|-4) gilt: a - b = (3-6|-3-4|2-(-4)) = (-3|-7|6)

Die skalare Multiplikation, auch als Vervielfachen eines Vektors bekannt, wird vorgestellt. Diese Operation ist besonders wichtig für die Skalierung von Vektoren.

Definition: Ein Vektor v = (v₁,v₂,v₃) wird koordinatenweise mit einer reellen Zahl r multipliziert. Es gilt: r·v = (r·v₁, r·v₂, r·v₃)

Highlight: Die Pfeile der Vektoren v und r·v sind parallel zueinander, was die geometrische Bedeutung der skalaren Multiplikation verdeutlicht.

Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über grundlegende Vektoroperationen und ihre Anwendungen, was für das Verständnis komplexerer Konzepte in der linearen Algebra und Physik unerlässlich ist.