Lagebeziehungen von Geraden

Die Lagebeziehungen von Geraden können durch Vektorrechnung ermittelt werden. Dabei werden folgende Schritte durchgeführt

1. Überprüfung der Vektoren
2. Punktprobe
3. Überprüfung der Parallelität der Richtungsvektoren

Highlight Geraden können identisch, parallel, sich schneidend oder windschief zueinander sein.

Beispiel für identische Geraden Wenn die Vektoren Vielfache voneinander sind und die Punktprobe erfolgreich ist, sind die Geraden identisch.

Beispiel für parallele Geraden Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, aber die Punktprobe nicht erfolgreich ist, sind die Geraden parallel.

Example Für die Geraden g x = $2,2,2$ + r · $3,1,2$ und h x = $4,3,3$ + s · (6,2,4) sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, aber die Punktprobe schlägt fehl. Daher sind die Geraden parallel.

Beispiel für sich schneidende Geraden Wenn die Vektorengleichung eine eindeutige Lösung hat, schneiden sich die Geraden.

Beispiel für windschiefe Geraden Wenn die Vektorengleichung keine Lösung hat, sind die Geraden windschief.

Vektoren im Koordinatensystem

Vektoren werden im Koordinatensystem durch Pfeile dargestellt und können durch Kleinbuchstaben mit einem Pfeil oder durch ihre Komponenten beschrieben werden.

Definition Ein Vektor a im zweidimensionalen Koordinatensystem wird als a = $a₁, a₂$ geschrieben, wobei a₁ die x-Komponente und a₂ die y-Komponente ist.

Rechnen mit Vektoren

1. Addition a + b = $a₁ + b₁, a₂ + b₂$

2. Subtraktion a - b = $a₁ - b₁, a₂ - b₂$

Example Für die Vektoren a = $2,1$ und b = $4,3$ ergibt die Addition a + b = (6,4).

In drei Dimensionen erweitert sich die Darstellung auf a = (a₁, a₂, a₃).

Highlight Die Addition und Subtraktion von Vektoren erfolgt komponentenweise.

Vektoren zwischen zwei Punkten berechnen

Um den Vektor zwischen zwei Punkten A und B zu berechnen, verwendet man die Formel

AB = B - A = $b₁ - a₁, b₂ - a₂, b₃ - a₃$

Vocabulary

• Ortsvektor Ein Vektor vom Ursprung zu einem Punkt.
• Richtungsvektor Ein Vektor von einem Punkt zu einem anderen Punkt.

Example Für die Punkte A$4,-1,5$ und B$0,4,2$ ergibt sich der Vektor AB = $-4, 5, -3$.

Skalarmultiplikation Vektoren können durch Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar) gestreckt oder gestaucht werden.

Highlight Bei der Skalarmultiplikation wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert.

Parameterform einer Geraden

Jede Gerade lässt sich durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschreiben.

Allgemeine Formel g x = p + r · u

Dabei ist

• p Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden)
• u Richtungsvektor
• r reelle Zahl (Parameter)

Highlight Der Stützvektor gibt den Startpunkt der Geraden an, während der Richtungsvektor die Richtung bestimmt.

Aufstellen einer Geradengleichung

1. Einen der gegebenen Punkte als Stützvektor wählen.
2. Den Richtungsvektor durch Subtraktion zweier Punkte bestimmen.
3. In die Parameterform einsetzen.

Example Für die Punkte A(1,2,3) und B(4,5,6) ergibt sich die Geradengleichung g x = $1,2,3$ + r · (3,3,3)

Vocabulary

• Stützvektor Ein Punkt auf der Geraden, von dem aus die Gerade "startet".
• Richtungsvektor Gibt die Richtung der Geraden an.

Die Parameterform ermöglicht es, jeden Punkt auf der Geraden durch Variation des Parameters r zu beschreiben.

Lagebeziehungen von Geraden (Fortsetzung)

Um die Lagebeziehungen von Geraden zu bestimmen, werden folgende Schritte durchgeführt

1. Überprüfung der Vektoren auf Kollinearität
2. Durchführung einer Punktprobe
3. Lösung der Vektorengleichung

Highlight Die Lagebeziehungen von Geraden können identisch, parallel, schneidend oder windschief sein.

Für schneidende Geraden Wenn die Vektorengleichung eine eindeutige Lösung hat, schneiden sich die Geraden in einem Punkt.

Example Für die Geraden g x = $1,2,3$ + r · $2,1,1$ und h x = $2,3,4$ + s · (1,1,2) ergibt die Lösung der Vektorengleichung einen Schnittpunkt bei S(3,4,5).

Für windschiefe Geraden Wenn die Vektorengleichung keine Lösung hat, sind die Geraden windschief.

Vocabulary

• Windschief Geraden, die sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.

Highlight Bei windschiefen Geraden gibt es keinen gemeinsamen Punkt und die Richtungsvektoren sind nicht kollinear.

Die genaue Bestimmung der Lagebeziehung erfordert oft eine sorgfältige Analyse der Vektorgleichungen und die Überprüfung verschiedener Bedingungen.

Vector Applications and Problem Solving

This section demonstrates practical applications of vector concepts through problem-solving.

Definition Lines are skew when they neither intersect nor are parallel.

Example Determining if lines are skew requires checking both vector relationships and point positions.

Highlight Vector methods provide powerful tools for solving geometric problems in three dimensions.

Advanced Vector Relationships

This section explores more complex relationships between vectors and lines in space.

Definition The parameter form of a line equation combines a support vector with a direction vector.

Example Line equation g x = p + ru, where p is the support vector and u is the direction vector.

Highlight Understanding parametric forms is crucial for analyzing geometric relationships in space.

Kollinearität von Vektoren

Die Kollinearität von Vektoren kann sowohl rechnerisch als auch graphisch überprüft werden.

Rechnerische Überprüfung Die Formel a = s · b wird verwendet, um zu prüfen, ob ein eindeutiger Wert für s existiert. Ist dies der Fall, sind die Vektoren kollinear.

Example Für die Vektoren a = $3, -2$ und b = $4, -1$ ergibt sich s = 1,5. Da s eindeutig ist, sind die Vektoren kollinear.

Graphische Überprüfung Vektoren sind graphisch kollinear, wenn sie in dieselbe Richtung zeigen können, aber unterschiedliche Längen haben.

Highlight Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer durch Verlängerung, Verkürzung oder 180°-Drehung in den anderen überführt werden kann.

Abstände von Punkten im Raum

Der Abstand zwischen zwei Punkten entspricht der kürzesten Verbindungsstrecke, also einer geraden Linie.

Definition Ein Vektor ist eine Verschiebung in der Ebene oder im Raum und wird durch Pfeile repräsentiert, deren Länge und Richtung genau der Verschiebung entsprechen.

Abstandsberechnung in 2D d = √$(x₂-x₁$² + $y₂-y₁$²)

Abstandsberechnung in 3D d = √$(x₂-x₁$² + $y₂-y₁$² + $z₂-z₁$²)

Example Für die Punkte P₁$3,4,1$ und P₂$3,-1,0$ im dreidimensionalen Raum beträgt der Abstand d = 5.