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Komplanar und Kollineare Vektoren einfach erklärt – Alles über Abstand und mehr!

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helin

14.3.2021

Mathe

Vektoren

Komplanar und Kollineare Vektoren einfach erklärt – Alles über Abstand und mehr!

Vectors and Geometry in Space - A comprehensive guide explaining kollineare Vektoren, vector operations, and geometric relationships in two and three dimensions.

• The guide covers fundamental concepts of Was ist ein Vektor Mathe, including vector collinearity, distance calculations, and parametric equations of lines

• Detailed explanations of vector operations including addition, subtraction, and scalar multiplication are provided with practical examples

• Special focus on geometric relationships between lines, including parallel, intersecting, and skew lines

• Mathematical formulas and step-by-step solutions demonstrate practical applications

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Lagebeziehungen von Geraden

Die Lagebeziehungen von Geraden können durch Vektorrechnung ermittelt werden. Dabei werden folgende Schritte durchgeführt:

  1. Überprüfung der Vektoren
  2. Punktprobe
  3. Überprüfung der Parallelität der Richtungsvektoren

Highlight: Geraden können identisch, parallel, sich schneidend oder windschief zueinander sein.

Beispiel für identische Geraden: Wenn die Vektoren Vielfache voneinander sind und die Punktprobe erfolgreich ist, sind die Geraden identisch.

Beispiel für parallele Geraden: Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, aber die Punktprobe nicht erfolgreich ist, sind die Geraden parallel.

Example: Für die Geraden g: x = 2,2,22,2,2 + r · 3,1,23,1,2 und h: x = 4,3,34,3,3 + s · 6,2,46,2,4 sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, aber die Punktprobe schlägt fehl. Daher sind die Geraden parallel.

Beispiel für sich schneidende Geraden: Wenn die Vektorengleichung eine eindeutige Lösung hat, schneiden sich die Geraden.

Beispiel für windschiefe Geraden: Wenn die Vektorengleichung keine Lösung hat, sind die Geraden windschief.

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Vektoren im Koordinatensystem

Vektoren werden im Koordinatensystem durch Pfeile dargestellt und können durch Kleinbuchstaben mit einem Pfeil oder durch ihre Komponenten beschrieben werden.

Definition: Ein Vektor a im zweidimensionalen Koordinatensystem wird als a = a1,a2a₁, a₂ geschrieben, wobei a₁ die x-Komponente und a₂ die y-Komponente ist.

Rechnen mit Vektoren:

  1. Addition: a + b = a1+b1,a2+b2a₁ + b₁, a₂ + b₂
  2. Subtraktion: a - b = a1b1,a2b2a₁ - b₁, a₂ - b₂

Example: Für die Vektoren a = 2,12,1 und b = 4,34,3 ergibt die Addition a + b = 6,46,4.

In drei Dimensionen erweitert sich die Darstellung auf a = a1,a2,a3a₁, a₂, a₃.

Highlight: Die Addition und Subtraktion von Vektoren erfolgt komponentenweise.

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Vektoren zwischen zwei Punkten berechnen

Um den Vektor zwischen zwei Punkten A und B zu berechnen, verwendet man die Formel:

AB = B - A = b1a1,b2a2,b3a3b₁ - a₁, b₂ - a₂, b₃ - a₃

Vocabulary:

  • Ortsvektor: Ein Vektor vom Ursprung zu einem Punkt.
  • Richtungsvektor: Ein Vektor von einem Punkt zu einem anderen Punkt.

Example: Für die Punkte A4,1,54,-1,5 und B0,4,20,4,2 ergibt sich der Vektor AB = 4,5,3-4, 5, -3.

Skalarmultiplikation: Vektoren können durch Multiplikation mit einer reellen Zahl SkalarSkalar gestreckt oder gestaucht werden.

Highlight: Bei der Skalarmultiplikation wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert.

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Parameterform einer Geraden

Jede Gerade lässt sich durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschreiben.

Allgemeine Formel: g: x = p + r · u

Dabei ist:

  • p: Stützvektor einPunktaufderGeradenein Punkt auf der Geraden
  • u: Richtungsvektor
  • r: reelle Zahl ParameterParameter

Highlight: Der Stützvektor gibt den Startpunkt der Geraden an, während der Richtungsvektor die Richtung bestimmt.

Aufstellen einer Geradengleichung:

  1. Einen der gegebenen Punkte als Stützvektor wählen.
  2. Den Richtungsvektor durch Subtraktion zweier Punkte bestimmen.
  3. In die Parameterform einsetzen.

Example: Für die Punkte A1,2,31,2,3 und B4,5,64,5,6 ergibt sich die Geradengleichung: g: x = 1,2,31,2,3 + r · 3,3,33,3,3

Vocabulary:

  • Stützvektor: Ein Punkt auf der Geraden, von dem aus die Gerade "startet".
  • Richtungsvektor: Gibt die Richtung der Geraden an.

Die Parameterform ermöglicht es, jeden Punkt auf der Geraden durch Variation des Parameters r zu beschreiben.

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Lagebeziehungen von Geraden (Fortsetzung)

Um die Lagebeziehungen von Geraden zu bestimmen, werden folgende Schritte durchgeführt:

  1. Überprüfung der Vektoren auf Kollinearität
  2. Durchführung einer Punktprobe
  3. Lösung der Vektorengleichung

Highlight: Die Lagebeziehungen von Geraden können identisch, parallel, schneidend oder windschief sein.

Für schneidende Geraden: Wenn die Vektorengleichung eine eindeutige Lösung hat, schneiden sich die Geraden in einem Punkt.

Example: Für die Geraden g: x = 1,2,31,2,3 + r · 2,1,12,1,1 und h: x = 2,3,42,3,4 + s · 1,1,21,1,2 ergibt die Lösung der Vektorengleichung einen Schnittpunkt bei S3,4,53,4,5.

Für windschiefe Geraden: Wenn die Vektorengleichung keine Lösung hat, sind die Geraden windschief.

Vocabulary:

  • Windschief: Geraden, die sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.

Highlight: Bei windschiefen Geraden gibt es keinen gemeinsamen Punkt und die Richtungsvektoren sind nicht kollinear.

Die genaue Bestimmung der Lagebeziehung erfordert oft eine sorgfältige Analyse der Vektorgleichungen und die Überprüfung verschiedener Bedingungen.

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Vector Applications and Problem Solving

This section demonstrates practical applications of vector concepts through problem-solving.

Definition: Lines are skew when they neither intersect nor are parallel.

Example: Determining if lines are skew requires checking both vector relationships and point positions.

Highlight: Vector methods provide powerful tools for solving geometric problems in three dimensions.

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Advanced Vector Relationships

This section explores more complex relationships between vectors and lines in space.

Definition: The parameter form of a line equation combines a support vector with a direction vector.

Example: Line equation g: x = p + ru, where p is the support vector and u is the direction vector.

Highlight: Understanding parametric forms is crucial for analyzing geometric relationships in space.

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Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

2.125

14. März 2021

8 Seiten

Komplanar und Kollineare Vektoren einfach erklärt – Alles über Abstand und mehr!

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helin

@helin_c209b4

Vectors and Geometry in Space - A comprehensive guide explaining kollineare Vektoren, vector operations, and geometric relationships in two and three dimensions.

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Lagebeziehungen von Geraden

Die Lagebeziehungen von Geraden können durch Vektorrechnung ermittelt werden. Dabei werden folgende Schritte durchgeführt:

  1. Überprüfung der Vektoren
  2. Punktprobe
  3. Überprüfung der Parallelität der Richtungsvektoren

Highlight: Geraden können identisch, parallel, sich schneidend oder windschief zueinander sein.

Beispiel für identische Geraden: Wenn die Vektoren Vielfache voneinander sind und die Punktprobe erfolgreich ist, sind die Geraden identisch.

Beispiel für parallele Geraden: Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, aber die Punktprobe nicht erfolgreich ist, sind die Geraden parallel.

Example: Für die Geraden g: x = 2,2,22,2,2 + r · 3,1,23,1,2 und h: x = 4,3,34,3,3 + s · 6,2,46,2,4 sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, aber die Punktprobe schlägt fehl. Daher sind die Geraden parallel.

Beispiel für sich schneidende Geraden: Wenn die Vektorengleichung eine eindeutige Lösung hat, schneiden sich die Geraden.

Beispiel für windschiefe Geraden: Wenn die Vektorengleichung keine Lösung hat, sind die Geraden windschief.

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Vektoren im Koordinatensystem

Vektoren werden im Koordinatensystem durch Pfeile dargestellt und können durch Kleinbuchstaben mit einem Pfeil oder durch ihre Komponenten beschrieben werden.

Definition: Ein Vektor a im zweidimensionalen Koordinatensystem wird als a = a1,a2a₁, a₂ geschrieben, wobei a₁ die x-Komponente und a₂ die y-Komponente ist.

Rechnen mit Vektoren:

  1. Addition: a + b = a1+b1,a2+b2a₁ + b₁, a₂ + b₂
  2. Subtraktion: a - b = a1b1,a2b2a₁ - b₁, a₂ - b₂

Example: Für die Vektoren a = 2,12,1 und b = 4,34,3 ergibt die Addition a + b = 6,46,4.

In drei Dimensionen erweitert sich die Darstellung auf a = a1,a2,a3a₁, a₂, a₃.

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Vektoren zwischen zwei Punkten berechnen

Um den Vektor zwischen zwei Punkten A und B zu berechnen, verwendet man die Formel:

AB = B - A = b1a1,b2a2,b3a3b₁ - a₁, b₂ - a₂, b₃ - a₃

Vocabulary:

  • Ortsvektor: Ein Vektor vom Ursprung zu einem Punkt.
  • Richtungsvektor: Ein Vektor von einem Punkt zu einem anderen Punkt.

Example: Für die Punkte A4,1,54,-1,5 und B0,4,20,4,2 ergibt sich der Vektor AB = 4,5,3-4, 5, -3.

Skalarmultiplikation: Vektoren können durch Multiplikation mit einer reellen Zahl SkalarSkalar gestreckt oder gestaucht werden.

Highlight: Bei der Skalarmultiplikation wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert.

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Parameterform einer Geraden

Jede Gerade lässt sich durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschreiben.

Allgemeine Formel: g: x = p + r · u

Dabei ist:

  • p: Stützvektor einPunktaufderGeradenein Punkt auf der Geraden
  • u: Richtungsvektor
  • r: reelle Zahl ParameterParameter

Highlight: Der Stützvektor gibt den Startpunkt der Geraden an, während der Richtungsvektor die Richtung bestimmt.

Aufstellen einer Geradengleichung:

  1. Einen der gegebenen Punkte als Stützvektor wählen.
  2. Den Richtungsvektor durch Subtraktion zweier Punkte bestimmen.
  3. In die Parameterform einsetzen.

Example: Für die Punkte A1,2,31,2,3 und B4,5,64,5,6 ergibt sich die Geradengleichung: g: x = 1,2,31,2,3 + r · 3,3,33,3,3

Vocabulary:

  • Stützvektor: Ein Punkt auf der Geraden, von dem aus die Gerade "startet".
  • Richtungsvektor: Gibt die Richtung der Geraden an.

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Lagebeziehungen von Geraden (Fortsetzung)

Um die Lagebeziehungen von Geraden zu bestimmen, werden folgende Schritte durchgeführt:

  1. Überprüfung der Vektoren auf Kollinearität
  2. Durchführung einer Punktprobe
  3. Lösung der Vektorengleichung

Highlight: Die Lagebeziehungen von Geraden können identisch, parallel, schneidend oder windschief sein.

Für schneidende Geraden: Wenn die Vektorengleichung eine eindeutige Lösung hat, schneiden sich die Geraden in einem Punkt.

Example: Für die Geraden g: x = 1,2,31,2,3 + r · 2,1,12,1,1 und h: x = 2,3,42,3,4 + s · 1,1,21,1,2 ergibt die Lösung der Vektorengleichung einen Schnittpunkt bei S3,4,53,4,5.

Für windschiefe Geraden: Wenn die Vektorengleichung keine Lösung hat, sind die Geraden windschief.

Vocabulary:

  • Windschief: Geraden, die sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.

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Vector Applications and Problem Solving

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Advanced Vector Relationships

This section explores more complex relationships between vectors and lines in space.

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Example: Line equation g: x = p + ru, where p is the support vector and u is the direction vector.

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Kollinearität von Vektoren

Die Kollinearität von Vektoren kann sowohl rechnerisch als auch graphisch überprüft werden.

Rechnerische Überprüfung: Die Formel a = s · b wird verwendet, um zu prüfen, ob ein eindeutiger Wert für s existiert. Ist dies der Fall, sind die Vektoren kollinear.

Example: Für die Vektoren a = 3,23, -2 und b = 4,14, -1 ergibt sich s = 1,5. Da s eindeutig ist, sind die Vektoren kollinear.

Graphische Überprüfung: Vektoren sind graphisch kollinear, wenn sie in dieselbe Richtung zeigen können, aber unterschiedliche Längen haben.

Highlight: Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer durch Verlängerung, Verkürzung oder 180°-Drehung in den anderen überführt werden kann.

Abstände von Punkten im Raum

Der Abstand zwischen zwei Punkten entspricht der kürzesten Verbindungsstrecke, also einer geraden Linie.

Definition: Ein Vektor ist eine Verschiebung in der Ebene oder im Raum und wird durch Pfeile repräsentiert, deren Länge und Richtung genau der Verschiebung entsprechen.

Abstandsberechnung in 2D: d = √(x2x1(x₂-x₁² + y2y1y₂-y₁²)

Abstandsberechnung in 3D: d = √(x2x1(x₂-x₁² + y2y1y₂-y₁² + z2z1z₂-z₁²)

Example: Für die Punkte P₁3,4,13,4,1 und P₂3,1,03,-1,0 im dreidimensionalen Raum beträgt der Abstand d = 5.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

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Sudenaz Ocak

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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