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Coole Vektoren: Komplanar und Kollinear einfach erklärt!

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Coole Vektoren: Komplanar und Kollinear einfach erklärt!
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Kollineare Vektoren und Abstandsberechnung im Raum sind grundlegende Konzepte der Vektorgeometrie. Die Überprüfung der Kollinearität von Vektoren erfolgt rechnerisch oder graphisch. Im Raum werden Abstände zwischen Punkten mithilfe der Abstandsformel berechnet. Vektoren dienen zur Beschreibung von Verschiebungen und Lagebeziehungen.

• Kollineare Vektoren sind Vielfache voneinander und zeigen in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung.
• Die Abstandsberechnung erfolgt in 2D und 3D mithilfe des Satzes des Pythagoras.
• Vektoren werden durch Pfeile dargestellt und beschreiben Verschiebungen im Raum.
• Lagebeziehungen von Geraden (identisch, parallel, schneidend, windschief) lassen sich durch Vektorrechnung ermitteln.
• Die Parameterform einer Geraden nutzt Stütz- und Richtungsvektor zur Beschreibung.

14.3.2021

2039

*A SIND ZWEI VEKTOREN KOLLINEAR? [= VIELFACHE] Rechnerisch Formel a.s= ↑ ist s eindeutig? a. Bsp a. () (3) · (41) -2 ·015 Eine zahl für s ei

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Vektoren im Koordinatensystem

Vektoren werden im Koordinatensystem durch Pfeile dargestellt und können durch Kleinbuchstaben mit einem Pfeil oder durch ihre Komponenten beschrieben werden.

Definition: Ein Vektor a im zweidimensionalen Koordinatensystem wird als a = (a₁, a₂) geschrieben, wobei a₁ die x-Komponente und a₂ die y-Komponente ist.

Rechnen mit Vektoren:

  1. Addition: a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

  2. Subtraktion: a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)

Example: Für die Vektoren a = (2,1) und b = (4,3) ergibt die Addition a + b = (6,4).

In drei Dimensionen erweitert sich die Darstellung auf a = (a₁, a₂, a₃).

Highlight: Die Addition und Subtraktion von Vektoren erfolgt komponentenweise.

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Parameterform einer Geraden

Jede Gerade lässt sich durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschreiben.

Allgemeine Formel: g: x = p + r · u

Dabei ist:

  • p: Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden)
  • u: Richtungsvektor
  • r: reelle Zahl (Parameter)

Highlight: Der Stützvektor gibt den Startpunkt der Geraden an, während der Richtungsvektor die Richtung bestimmt.

Aufstellen einer Geradengleichung:

  1. Einen der gegebenen Punkte als Stützvektor wählen.
  2. Den Richtungsvektor durch Subtraktion zweier Punkte bestimmen.
  3. In die Parameterform einsetzen.

Example: Für die Punkte A(1,2,3) und B(4,5,6) ergibt sich die Geradengleichung: g: x = (1,2,3) + r · (3,3,3)

Vocabulary:

  • Stützvektor: Ein Punkt auf der Geraden, von dem aus die Gerade "startet".
  • Richtungsvektor: Gibt die Richtung der Geraden an.

Die Parameterform ermöglicht es, jeden Punkt auf der Geraden durch Variation des Parameters r zu beschreiben.

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Lagebeziehungen von Geraden (Fortsetzung)

Um die Lagebeziehungen von Geraden zu bestimmen, werden folgende Schritte durchgeführt:

  1. Überprüfung der Vektoren auf Kollinearität
  2. Durchführung einer Punktprobe
  3. Lösung der Vektorengleichung

Highlight: Die Lagebeziehungen von Geraden können identisch, parallel, schneidend oder windschief sein.

Für schneidende Geraden: Wenn die Vektorengleichung eine eindeutige Lösung hat, schneiden sich die Geraden in einem Punkt.

Example: Für die Geraden g: x = (1,2,3) + r · (2,1,1) und h: x = (2,3,4) + s · (1,1,2) ergibt die Lösung der Vektorengleichung einen Schnittpunkt bei S(3,4,5).

Für windschiefe Geraden: Wenn die Vektorengleichung keine Lösung hat, sind die Geraden windschief.

Vocabulary:

  • Windschief: Geraden, die sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.

Highlight: Bei windschiefen Geraden gibt es keinen gemeinsamen Punkt und die Richtungsvektoren sind nicht kollinear.

Die genaue Bestimmung der Lagebeziehung erfordert oft eine sorgfältige Analyse der Vektorgleichungen und die Überprüfung verschiedener Bedingungen.

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Vektoren zwischen zwei Punkten berechnen

Um den Vektor zwischen zwei Punkten A und B zu berechnen, verwendet man die Formel:

AB = B - A = (b₁ - a₁, b₂ - a₂, b₃ - a₃)

Vocabulary:

  • Ortsvektor: Ein Vektor vom Ursprung zu einem Punkt.
  • Richtungsvektor: Ein Vektor von einem Punkt zu einem anderen Punkt.

Example: Für die Punkte A(4,-1,5) und B(0,4,2) ergibt sich der Vektor AB = (-4, 5, -3).

Skalarmultiplikation: Vektoren können durch Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar) gestreckt oder gestaucht werden.

Highlight: Bei der Skalarmultiplikation wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert.

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Lagebeziehungen von Geraden

Die Lagebeziehungen von Geraden können durch Vektorrechnung ermittelt werden. Dabei werden folgende Schritte durchgeführt:

  1. Überprüfung der Vektoren
  2. Punktprobe
  3. Überprüfung der Parallelität der Richtungsvektoren

Highlight: Geraden können identisch, parallel, sich schneidend oder windschief zueinander sein.

Beispiel für identische Geraden: Wenn die Vektoren Vielfache voneinander sind und die Punktprobe erfolgreich ist, sind die Geraden identisch.

Beispiel für parallele Geraden: Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, aber die Punktprobe nicht erfolgreich ist, sind die Geraden parallel.

Example: Für die Geraden g: x = (2,2,2) + r · (3,1,2) und h: x = (4,3,3) + s · (6,2,4) sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, aber die Punktprobe schlägt fehl. Daher sind die Geraden parallel.

Beispiel für sich schneidende Geraden: Wenn die Vektorengleichung eine eindeutige Lösung hat, schneiden sich die Geraden.

Beispiel für windschiefe Geraden: Wenn die Vektorengleichung keine Lösung hat, sind die Geraden windschief.

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Kollinearität von Vektoren

Die Kollinearität von Vektoren kann sowohl rechnerisch als auch graphisch überprüft werden.

Rechnerische Überprüfung: Die Formel a = s · b wird verwendet, um zu prüfen, ob ein eindeutiger Wert für s existiert. Ist dies der Fall, sind die Vektoren kollinear.

Example: Für die Vektoren a = (3, -2) und b = (4, -1) ergibt sich s = 1,5. Da s eindeutig ist, sind die Vektoren kollinear.

Graphische Überprüfung: Vektoren sind graphisch kollinear, wenn sie in dieselbe Richtung zeigen können, aber unterschiedliche Längen haben.

Highlight: Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer durch Verlängerung, Verkürzung oder 180°-Drehung in den anderen überführt werden kann.

Abstände von Punkten im Raum

Der Abstand zwischen zwei Punkten entspricht der kürzesten Verbindungsstrecke, also einer geraden Linie.

Definition: Ein Vektor ist eine Verschiebung in der Ebene oder im Raum und wird durch Pfeile repräsentiert, deren Länge und Richtung genau der Verschiebung entsprechen.

Abstandsberechnung in 2D: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

Abstandsberechnung in 3D: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)

Example: Für die Punkte P₁(3,4,1) und P₂(3,-1,0) im dreidimensionalen Raum beträgt der Abstand d = 5.

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Kollineare Vektoren und Abstandsberechnung im Raum sind grundlegende Konzepte der Vektorgeometrie. Die Überprüfung der Kollinearität von Vektoren erfolgt rechnerisch oder graphisch. Im Raum werden Abstände zwischen Punkten mithilfe der Abstandsformel berechnet. Vektoren dienen zur Beschreibung von Verschiebungen und Lagebeziehungen.

• Kollineare Vektoren sind Vielfache voneinander und zeigen in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung.
• Die Abstandsberechnung erfolgt in 2D und 3D mithilfe des Satzes des Pythagoras.
• Vektoren werden durch Pfeile dargestellt und beschreiben Verschiebungen im Raum.
• Lagebeziehungen von Geraden (identisch, parallel, schneidend, windschief) lassen sich durch Vektorrechnung ermitteln.
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Vektoren im Koordinatensystem

Vektoren werden im Koordinatensystem durch Pfeile dargestellt und können durch Kleinbuchstaben mit einem Pfeil oder durch ihre Komponenten beschrieben werden.

Definition: Ein Vektor a im zweidimensionalen Koordinatensystem wird als a = (a₁, a₂) geschrieben, wobei a₁ die x-Komponente und a₂ die y-Komponente ist.

Rechnen mit Vektoren:

  1. Addition: a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

  2. Subtraktion: a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)

Example: Für die Vektoren a = (2,1) und b = (4,3) ergibt die Addition a + b = (6,4).

In drei Dimensionen erweitert sich die Darstellung auf a = (a₁, a₂, a₃).

Highlight: Die Addition und Subtraktion von Vektoren erfolgt komponentenweise.

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Parameterform einer Geraden

Jede Gerade lässt sich durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschreiben.

Allgemeine Formel: g: x = p + r · u

Dabei ist:

  • p: Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden)
  • u: Richtungsvektor
  • r: reelle Zahl (Parameter)

Highlight: Der Stützvektor gibt den Startpunkt der Geraden an, während der Richtungsvektor die Richtung bestimmt.

Aufstellen einer Geradengleichung:

  1. Einen der gegebenen Punkte als Stützvektor wählen.
  2. Den Richtungsvektor durch Subtraktion zweier Punkte bestimmen.
  3. In die Parameterform einsetzen.

Example: Für die Punkte A(1,2,3) und B(4,5,6) ergibt sich die Geradengleichung: g: x = (1,2,3) + r · (3,3,3)

Vocabulary:

  • Stützvektor: Ein Punkt auf der Geraden, von dem aus die Gerade "startet".
  • Richtungsvektor: Gibt die Richtung der Geraden an.

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Example: Für die Geraden g: x = (1,2,3) + r · (2,1,1) und h: x = (2,3,4) + s · (1,1,2) ergibt die Lösung der Vektorengleichung einen Schnittpunkt bei S(3,4,5).

Für windschiefe Geraden: Wenn die Vektorengleichung keine Lösung hat, sind die Geraden windschief.

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Vektoren zwischen zwei Punkten berechnen

Um den Vektor zwischen zwei Punkten A und B zu berechnen, verwendet man die Formel:

AB = B - A = (b₁ - a₁, b₂ - a₂, b₃ - a₃)

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Example: Für die Punkte A(4,-1,5) und B(0,4,2) ergibt sich der Vektor AB = (-4, 5, -3).

Skalarmultiplikation: Vektoren können durch Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar) gestreckt oder gestaucht werden.

Highlight: Bei der Skalarmultiplikation wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert.

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Lagebeziehungen von Geraden

Die Lagebeziehungen von Geraden können durch Vektorrechnung ermittelt werden. Dabei werden folgende Schritte durchgeführt:

  1. Überprüfung der Vektoren
  2. Punktprobe
  3. Überprüfung der Parallelität der Richtungsvektoren

Highlight: Geraden können identisch, parallel, sich schneidend oder windschief zueinander sein.

Beispiel für identische Geraden: Wenn die Vektoren Vielfache voneinander sind und die Punktprobe erfolgreich ist, sind die Geraden identisch.

Beispiel für parallele Geraden: Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, aber die Punktprobe nicht erfolgreich ist, sind die Geraden parallel.

Example: Für die Geraden g: x = (2,2,2) + r · (3,1,2) und h: x = (4,3,3) + s · (6,2,4) sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, aber die Punktprobe schlägt fehl. Daher sind die Geraden parallel.

Beispiel für sich schneidende Geraden: Wenn die Vektorengleichung eine eindeutige Lösung hat, schneiden sich die Geraden.

Beispiel für windschiefe Geraden: Wenn die Vektorengleichung keine Lösung hat, sind die Geraden windschief.

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Kollinearität von Vektoren

Die Kollinearität von Vektoren kann sowohl rechnerisch als auch graphisch überprüft werden.

Rechnerische Überprüfung: Die Formel a = s · b wird verwendet, um zu prüfen, ob ein eindeutiger Wert für s existiert. Ist dies der Fall, sind die Vektoren kollinear.

Example: Für die Vektoren a = (3, -2) und b = (4, -1) ergibt sich s = 1,5. Da s eindeutig ist, sind die Vektoren kollinear.

Graphische Überprüfung: Vektoren sind graphisch kollinear, wenn sie in dieselbe Richtung zeigen können, aber unterschiedliche Längen haben.

Highlight: Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer durch Verlängerung, Verkürzung oder 180°-Drehung in den anderen überführt werden kann.

Abstände von Punkten im Raum

Der Abstand zwischen zwei Punkten entspricht der kürzesten Verbindungsstrecke, also einer geraden Linie.

Definition: Ein Vektor ist eine Verschiebung in der Ebene oder im Raum und wird durch Pfeile repräsentiert, deren Länge und Richtung genau der Verschiebung entsprechen.

Abstandsberechnung in 2D: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

Abstandsberechnung in 3D: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)

Example: Für die Punkte P₁(3,4,1) und P₂(3,-1,0) im dreidimensionalen Raum beträgt der Abstand d = 5.

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