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Mathe
8. Dez. 2025
7.150
5 Seiten
Jette Katenkamp @jettekatenkamp
Vektoren sind dein Schlüssel zum Verständnis des dreidimensionalen Raums - sie beschreiben Verschiebungen und Richtungen und helfen dir... Mehr anzeigen
Punkte und Koordinaten werden im dreidimensionalen Raum durch drei Zahlen beschrieben, zum Beispiel A(4|1|2). Je nachdem, welche Koordinaten null sind, liegt ein Punkt auf bestimmten Achsen oder in speziellen Ebenen.
Vektoren sind im Grunde Verschiebungsanweisungen im Raum. Ein Vektor wie sagt dir genau, wie weit du dich in jede Richtung bewegen musst. Der Ortsvektor verbindet den Ursprung mit einem Punkt, während der Verbindungsvektor zwei beliebige Punkte miteinander verbindet.
Den Betrag eines Vektors berechnest du mit der Formel - das gibt dir die tatsächliche Länge der Verschiebung an. Genauso funktioniert die Abstandsberechnung zwischen zwei Punkten Du bildest den Verbindungsvektor und berechnest dessen Betrag.
💡 Merktipp Vektoren addierst und subtrahierst du komponentenweise, bei der Multiplikation mit einer Zahl multiplizierst du jede Komponente einzeln.
Kollineare Vektoren sind parallel zueinander - das erkennst du daran, dass einer ein Vielfaches des anderen ist . Um das zu prüfen, setzt du die Vektoren in diese Gleichung ein und löst das entstehende Gleichungssystem.
Falls alle drei Gleichungen denselben Wert für r ergeben, sind die Vektoren kollinear. Unterschiedliche r-Werte bedeuten, dass sie nicht parallel sind.
Linearkombinationen sind noch vielseitiger Hier kombinierst du mehrere Vektoren mit verschiedenen Faktoren . Du prüfst, ob ein Vektor eine Linearkombination anderer ist, indem du wieder ein Gleichungssystem aufstellst und nach den Faktoren r und s suchst.
💡 Praxistipp Bei Kollinearität reicht ein Faktor r, bei Linearkombinationen brauchst du meist mehrere Faktoren - das Prinzip bleibt aber dasselbe Gleichungssystem aufstellen und lösen!
Eine Parametergleichung beschreibt jede Gerade durch einen festen Punkt (Stützvektor) und eine Richtung . Der Parameter r bestimmt, wo genau auf der Gerade du dich befindest.
Um eine Geradengleichung aufzustellen, wählst du einen beliebigen Punkt als Stützvektor und berechnest den Richtungsvektor als Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten der Gerade. Dann setzt du alles in die Parameterform ein.
Punktproben funktionieren super einfach Du setzt die Koordinaten des fraglichen Punktes in die Geradengleichung ein und löst nach r auf. Gibt es eine Lösung, liegt der Punkt auf der Gerade.
Für Strecken verwendest du dieselbe Form, beschränkst aber den Parameter sorgt dafür, dass du nur den Bereich zwischen zwei bestimmten Punkten erhältst.
💡 Wichtig Der Stützvektor ist nicht eindeutig - du kannst jeden Punkt der Gerade nehmen. Der Richtungsvektor kann beliebig skaliert werden, ohne die Gerade zu verändern.
Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Gerade mit den Koordinatenebenen. Für jeden Spurpunkt setzt du eine Koordinate gleich null und löst nach dem Parameter r auf.
Bei der x₁x₂-Ebene ist x₃ = 0, bei der x₂x₃-Ebene ist x₁ = 0, und bei der x₁x₃-Ebene ist x₂ = 0. Manchmal gibt es keinen Spurpunkt, wenn die Rechnung zu einem Widerspruch führt.
Lagebeziehungen zwischen Geraden untersuchst du systematisch Erst prüfst du, ob die Richtungsvektoren kollinear sind. Dann setzt du die Geradengleichungen gleich und löst das Gleichungssystem.
Die Ergebnisse verraten dir alles Eindeutige Lösung = Schnittpunkt, keine Lösung bei kollinearen Richtungsvektoren = echt parallel, keine Lösung bei nicht-kollinearen Richtungsvektoren = windschief, unendlich viele Lösungen = identische Geraden.
💡 Systematisches Vorgehen Immer erst Richtungsvektoren prüfen, dann Gleichungssystem aufstellen - so behältst du bei komplexeren Aufgaben den Überblick.
Das Bestimmen von Lagebeziehungen folgt immer demselben Schema, egal wie kompliziert die Vektoren aussehen. Du stellst die Geradengleichungen gleich, formst in ein lineares Gleichungssystem um und analysierst die Lösung.
Der entscheidende Schritt ist die Kollinearitätsprüfung der Richtungsvektoren - sie verrät dir bereits, welche Art von Beziehung möglich ist. Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, können die Geraden sich nur schneiden oder windschief zueinander liegen.
Nach dem Lösen des Gleichungssystems weißt du sofort Bescheid Eine eindeutige Lösung gibt dir den Schnittpunkt, keine Lösung bedeutet bei parallelen Richtungsvektoren echte Parallelität, bei nicht-parallelen Richtungsvektoren Windschiefheit.
💡 Effizienz-Tipp Prüfe immer zuerst die Richtungsvektoren auf Kollinearität - das spart dir Zeit und hilft bei der Interpretation des Gleichungssystems.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die Lage von Geraden im Raum, einschließlich der Konzepte von parallelen und identischen Linien sowie windschiefen Geraden. Die Aufgaben auf Seite 155 (1a/b und 3a/b) werden detailliert analysiert, um die Richtungsvektoren und deren Beziehungen zu verstehen. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und räumliche Positionierung vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung: Orthogonalität, Kollinearität, Schnittwinkel und die Position von Geraden im Raum. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Linearkombinationen, Nullvektoren, Normalvektoren und mehr. Ideal für Studierende der Mathematik und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoroperationen, einschließlich Skalar- und Vektorprodukten, Vektoraddition und -subtraktion sowie deren geometrische Bedeutung im dreidimensionalen Raum. Diese Präsentation bietet eine umfassende Übersicht über die Eigenschaften von Vektoren, die Berechnung von Winkeln und die Orthogonalität von Vektoren. Ideal für Studierende der multivariaten Analysis und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für Vektoren, einschließlich Addition, Subtraktion und Linearkombination. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu Vektoroperationen und deren geometrischen Interpretationen, ideal für Studierende der Mathematik und Physik.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoren in der Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt die Punktprobe, die Orthogonalität von Vektoren, die Kollinearität, die Aufstellung von Geraden und die Berechnung von Winkeln zwischen Schnittgeraden. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der räumlichen Positionierung vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Vektoren, die Orthogonalität von Vektoren sowie die Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Ideal für Schüler im Mathematik Grundkurs, die sich auf Leistungskontrollen vorbereiten. Enthält wichtige Konzepte wie Vektoroperationen, lineare Kombinationen und die Umwandlung von Geradengleichungen.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Jette Katenkamp
@jettekatenkamp
Vektoren sind dein Schlüssel zum Verständnis des dreidimensionalen Raums - sie beschreiben Verschiebungen und Richtungen und helfen dir dabei, komplexe geometrische Probleme zu lösen. Ob du Abstände berechnest oder Geraden aufstellst, mit den richtigen Grundlagen wirst du schnell merken, dass... Mehr anzeigen
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Punkte und Koordinaten werden im dreidimensionalen Raum durch drei Zahlen beschrieben, zum Beispiel A(4|1|2). Je nachdem, welche Koordinaten null sind, liegt ein Punkt auf bestimmten Achsen oder in speziellen Ebenen.
Vektoren sind im Grunde Verschiebungsanweisungen im Raum. Ein Vektor wie sagt dir genau, wie weit du dich in jede Richtung bewegen musst. Der Ortsvektor verbindet den Ursprung mit einem Punkt, während der Verbindungsvektor zwei beliebige Punkte miteinander verbindet.
Den Betrag eines Vektors berechnest du mit der Formel - das gibt dir die tatsächliche Länge der Verschiebung an. Genauso funktioniert die Abstandsberechnung zwischen zwei Punkten: Du bildest den Verbindungsvektor und berechnest dessen Betrag.
💡 Merktipp: Vektoren addierst und subtrahierst du komponentenweise, bei der Multiplikation mit einer Zahl multiplizierst du jede Komponente einzeln.
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Kollineare Vektoren sind parallel zueinander - das erkennst du daran, dass einer ein Vielfaches des anderen ist: . Um das zu prüfen, setzt du die Vektoren in diese Gleichung ein und löst das entstehende Gleichungssystem.
Falls alle drei Gleichungen denselben Wert für r ergeben, sind die Vektoren kollinear. Unterschiedliche r-Werte bedeuten, dass sie nicht parallel sind.
Linearkombinationen sind noch vielseitiger: Hier kombinierst du mehrere Vektoren mit verschiedenen Faktoren: . Du prüfst, ob ein Vektor eine Linearkombination anderer ist, indem du wieder ein Gleichungssystem aufstellst und nach den Faktoren r und s suchst.
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Eine Parametergleichung beschreibt jede Gerade durch einen festen Punkt (Stützvektor) und eine Richtung: . Der Parameter r bestimmt, wo genau auf der Gerade du dich befindest.
Um eine Geradengleichung aufzustellen, wählst du einen beliebigen Punkt als Stützvektor und berechnest den Richtungsvektor als Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten der Gerade. Dann setzt du alles in die Parameterform ein.
Punktproben funktionieren super einfach: Du setzt die Koordinaten des fraglichen Punktes in die Geradengleichung ein und löst nach r auf. Gibt es eine Lösung, liegt der Punkt auf der Gerade.
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Bei der x₁x₂-Ebene ist x₃ = 0, bei der x₂x₃-Ebene ist x₁ = 0, und bei der x₁x₃-Ebene ist x₂ = 0. Manchmal gibt es keinen Spurpunkt, wenn die Rechnung zu einem Widerspruch führt.
Lagebeziehungen zwischen Geraden untersuchst du systematisch: Erst prüfst du, ob die Richtungsvektoren kollinear sind. Dann setzt du die Geradengleichungen gleich und löst das Gleichungssystem.
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Das Bestimmen von Lagebeziehungen folgt immer demselben Schema, egal wie kompliziert die Vektoren aussehen. Du stellst die Geradengleichungen gleich, formst in ein lineares Gleichungssystem um und analysierst die Lösung.
Der entscheidende Schritt ist die Kollinearitätsprüfung der Richtungsvektoren - sie verrät dir bereits, welche Art von Beziehung möglich ist. Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, können die Geraden sich nur schneiden oder windschief zueinander liegen.
Nach dem Lösen des Gleichungssystems weißt du sofort Bescheid: Eine eindeutige Lösung gibt dir den Schnittpunkt, keine Lösung bedeutet bei parallelen Richtungsvektoren echte Parallelität, bei nicht-parallelen Richtungsvektoren Windschiefheit.
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Diese Zusammenfassung behandelt die Lage von Geraden im Raum, einschließlich der Konzepte von parallelen und identischen Linien sowie windschiefen Geraden. Die Aufgaben auf Seite 155 (1a/b und 3a/b) werden detailliert analysiert, um die Richtungsvektoren und deren Beziehungen zu verstehen. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und räumliche Positionierung vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung: Orthogonalität, Kollinearität, Schnittwinkel und die Position von Geraden im Raum. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Linearkombinationen, Nullvektoren, Normalvektoren und mehr. Ideal für Studierende der Mathematik und Geometrie.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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