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orthogonale Vektoren

Mathe1.054Aktualisiert 16. Sept. 20263 Seiten

Grundlagen und Anwendungen der Vektorrechnung

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Vektoren und Geometrie sind überall um uns herum - von der GPS-Navigation bis hin zu 3D-Grafiken in Videospielen. Diese mathematischen Werkzeuge helfen dir dabei, Abstände, Winkel und räumliche Beziehungen zu verstehen und zu berechnen.
Übersicht zur Vektorrechnung – Seite 1

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Grundlagen der Vektorrechnung

Abstände berechnen ist eigentlich ganz einfach! In der Ebene nutzt du die Formel AB‾=(b1−a1)2+(b2−a2)2\overline{AB} = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2}, im Raum kommt einfach eine dritte Koordinate dazu. Das ist wie beim Satz des Pythagoras, nur erweitert.

Bei der Vektoraddition legst du die Pfeile einfach aneinander - der Summenvektor zeigt vom Anfang des ersten zum Ende des zweiten Vektors. So ähnlich funktioniert auch die Subtraktion, nur dass der Differenzvektor vom Ende des zweiten zum Ende des ersten Vektors führt.

Das Skalarprodukt gibt's in zwei Formen: Die Kosinusform a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡γ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \gamma und die praktischere Koordinatenform, wo du einfach die entsprechenden Koordinaten multiplizierst und addierst. Wenn das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander!

Merktipp: Zwei Vektoren sind kollinear (parallel), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Drei Vektoren sind komplanar (liegen in einer Ebene), wenn sich einer als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt.

Übersicht zur Vektorrechnung – Seite 2

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Geraden im Raum

Geradengleichungen schreibst du als x⃗=a⃗+r⋅m⃗\vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{m}, wobei a⃗\vec{a} der Stützvektor und m⃗\vec{m} der Richtungsvektor ist. Für die Zweipunktegleichung durch A und B nutzt du x⃗=a⃗+r⋅(b⃗−a⃗)\vec{x} = \vec{a} + r \cdot (\vec{b} - \vec{a}).

Die Lagebeziehung zweier Geraden checkst du systematisch: Erst schaust du, ob die Richtungsvektoren kollinear sind (dann parallel). Falls nicht, setzt du die Geradengleichungen gleich. Lässt sich das Gleichungssystem eindeutig lösen, schneiden sich die Geraden. Sonst sind sie windschief.

Den Schnittwinkel berechnest du mit cos⁡γ=∣m1⃗⋅m2⃗∣∣m1⃗∣⋅∣m2⃗∣\cos \gamma = \frac{|\vec{m_1} \cdot \vec{m_2}|}{|\vec{m_1}| \cdot |\vec{m_2}|}. Die Betragsstriche sorgen dafür, dass du immer den spitzen Winkel erhältst (zwischen 0° und 90°).

Praxistipp: Beim Flächeninhalt eines Dreiecks hilft die Formel A=12∣a⃗∣2⋅∣b⃗∣2−(a⃗⋅b⃗)2A = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}. Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 gilt.

Übersicht zur Vektorrechnung – Seite 3

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Ebenen und ihre Darstellungen

Ebenengleichungen haben drei verschiedene Formen, die alle gleichwertig sind. Die Parametergleichung E:x⃗=p⃗+r⋅u⃗+s⋅v⃗E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} ist oft am anschaulichsten. Die Normalengleichung E:(x⃗−p⃗)⋅n⃗=0E: (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0 nutzt einen Normalenvektor, der senkrecht zur Ebene steht.

Die Koordinatengleichung E:n1⋅x+n2⋅y+n3⋅z=dE: n_1 \cdot x + n_2 \cdot y + n_3 \cdot z = d ist besonders praktisch für Rechnungen. Der Normalenvektor (n1/n2/n3)(n_1/n_2/n_3) lässt sich direkt ablesen! Bei der Achsenabschnittsgleichung xa+yb+zc=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 siehst du sofort die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Den Normalenvektor aus zwei Spannvektoren berechnest du mit dem Kreuzprodukt n⃗=u⃗×v⃗\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}. Dieser steht automatisch senkrecht zu beiden Spannvektoren und damit zur ganzen Ebene.

Umrechnungstrick: Du kannst jederzeit zwischen den drei Darstellungsformen wechseln. Von der Koordinatengleichung zur Normalengleichung musst du nur einen passenden Stützvektor finden - nimm einfach einen Punkt, der die Gleichung erfüllt!

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