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Mathematik

Vektorraumoperationen

orthogonale Vektoren

1.023

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25. Jan. 2026

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Grundlagen und Anwendungen der Vektorrechnung

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Celine

@cel1n3

Vektoren und Geometrie sind überall um uns herum - von... Mehr anzeigen

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# Merkzettel Der Abstand zwischen zwei Punkten Ebene: Abstand von $A(a_1/a_2)$ $\overline{AB} = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2}$ und $B (

Grundlagen der Vektorrechnung

Abstände berechnen ist eigentlich ganz einfach! In der Ebene nutzt du die Formel AB‾=(b1−a1)2+(b2−a2)2\overline{AB} = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2}, im Raum kommt einfach eine dritte Koordinate dazu. Das ist wie beim Satz des Pythagoras, nur erweitert.

Bei der Vektoraddition legst du die Pfeile einfach aneinander - der Summenvektor zeigt vom Anfang des ersten zum Ende des zweiten Vektors. So ähnlich funktioniert auch die Subtraktion, nur dass der Differenzvektor vom Ende des zweiten zum Ende des ersten Vektors führt.

Das Skalarprodukt gibt's in zwei Formen: Die Kosinusform a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡γ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \gamma und die praktischere Koordinatenform, wo du einfach die entsprechenden Koordinaten multiplizierst und addierst. Wenn das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander!

Merktipp: Zwei Vektoren sind kollinear (parallel), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Drei Vektoren sind komplanar (liegen in einer Ebene), wenn sich einer als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt.

# Merkzettel Der Abstand zwischen zwei Punkten Ebene: Abstand von $A(a_1/a_2)$ $\overline{AB} = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2}$ und $B (

Geraden im Raum

Geradengleichungen schreibst du als x⃗=a⃗+r⋅m⃗\vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{m}, wobei a⃗\vec{a} der Stützvektor und m⃗\vec{m} der Richtungsvektor ist. Für die Zweipunktegleichung durch A und B nutzt du x⃗=a⃗+r⋅(b⃗−a⃗)\vec{x} = \vec{a} + r \cdot (\vec{b} - \vec{a}).

Die Lagebeziehung zweier Geraden checkst du systematisch: Erst schaust du, ob die Richtungsvektoren kollinear sind (dann parallel). Falls nicht, setzt du die Geradengleichungen gleich. Lässt sich das Gleichungssystem eindeutig lösen, schneiden sich die Geraden. Sonst sind sie windschief.

Den Schnittwinkel berechnest du mit cos⁡γ=∣m1⃗⋅m2⃗∣∣m1⃗∣⋅∣m2⃗∣\cos \gamma = \frac{|\vec{m_1} \cdot \vec{m_2}|}{|\vec{m_1}| \cdot |\vec{m_2}|}. Die Betragsstriche sorgen dafür, dass du immer den spitzen Winkel erhältst (zwischen 0° und 90°).

Praxistipp: Beim Flächeninhalt eines Dreiecks hilft die Formel A=12∣a⃗∣2⋅∣b⃗∣2−(a⃗⋅b⃗)2A = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}. Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 gilt.

# Merkzettel Der Abstand zwischen zwei Punkten Ebene: Abstand von $A(a_1/a_2)$ $\overline{AB} = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2}$ und $B (

Ebenen und ihre Darstellungen

Ebenengleichungen haben drei verschiedene Formen, die alle gleichwertig sind. Die Parametergleichung E:x⃗=p⃗+r⋅u⃗+s⋅v⃗E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} ist oft am anschaulichsten. Die Normalengleichung E:(x⃗−p⃗)⋅n⃗=0E: (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0 nutzt einen Normalenvektor, der senkrecht zur Ebene steht.

Die Koordinatengleichung E:n1⋅x+n2⋅y+n3⋅z=dE: n_1 \cdot x + n_2 \cdot y + n_3 \cdot z = d ist besonders praktisch für Rechnungen. Der Normalenvektor (n1/n2/n3)(n_1/n_2/n_3) lässt sich direkt ablesen! Bei der Achsenabschnittsgleichung xa+yb+zc=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 siehst du sofort die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Den Normalenvektor aus zwei Spannvektoren berechnest du mit dem Kreuzprodukt n⃗=u⃗×v⃗\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}. Dieser steht automatisch senkrecht zu beiden Spannvektoren und damit zur ganzen Ebene.

Umrechnungstrick: Du kannst jederzeit zwischen den drei Darstellungsformen wechseln. Von der Koordinatengleichung zur Normalengleichung musst du nur einen passenden Stützvektor finden - nimm einfach einen Punkt, der die Gleichung erfüllt!



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Beliebtester Inhalt: orthogonale Vektoren

Mathe LK Abitur Lernzettel 2024 NRW

Alle drei Inhaltsfelder, die relevant fürs Mathe LK Abitur sind mit Stochastik, analytische Geometrie und Analysis zusammengefasst. Alle Themen des Mathe Abis 2025.

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Vektoren: Mathe Abitur GK

Umfassende Zusammenfassung für das Matheabitur im Bereich Vektoren. Behandelt Themen wie Skalarprodukt, Winkelberechnung, orthogonale Vektoren, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen sowie lineare Gleichungssysteme. Ideal für Schüler in NRW, die sich auf das Abitur vorbereiten.

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Vektorgeometrie Zusammenfassung

Diese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte der Vektorgeometrie, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen, dem Skalarprodukt zur Winkelberechnung, der Berechnung von Abständen und der Darstellung geometrischer Objekte im 3D-Koordinatensystem. Ideal für das Abitur 2023 in NRW. Themen: Orthogonalität, lineare Abhängigkeit, Punktproben und mehr.

MatheMathe
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Analytische Geometrie: Vektoren & Ebenen

Diese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der analytischen Geometrie, einschließlich Punkte und Vektoren, Geraden und Ebenen, Abstände zwischen Punkten und Ebenen sowie Winkelbeziehungen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur und das Verständnis linearer Algebra. Themen: Orthogonalität, Lagebeziehungen und Parametergleichungen.

MatheMathe
11

Vektoren: Grundlagen und Anwendungen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektoren, einschließlich Addition, Subtraktion, Geradengleichungen, Skalarprodukt und Abstandsberechnung. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu linearer Abhängigkeit, Orthogonalität und den Lagebeziehungen von Geraden. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Mathematik.

MatheMathe
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Winkel zwischen Vektoren

Erfahren Sie, wie man den Winkel zwischen Vektoren berechnet, einschließlich der Verwendung des Skalarprodukts und der Beträge. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Vektorwinkelberechnung, orthogonale Vektoren und spezielle Fälle. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

MatheMathe
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Vektoren und Geometrie

Vertiefte Zusammenfassung zu Vektoren, Geraden, Ebenen und deren Lagebeziehungen. Erlerne die Berechnung von Abständen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen sowie die Anwendung der Hesse'schen Normalenform. Ideal für Abiturvorbereitung in der Vektorgeometrie.

MatheMathe
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Vektorielle Geometrie: Grundlagen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der vektoriellen Geometrie, einschließlich der Normalgleichung von Ebenen, Koordinatengleichungen, Abstandsberechnungen, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen sowie dem Hesse'schen Normalform. Ideal für das Abitur 2023 im Leistungskurs. Themen: Vektoren, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, orthogonale Beziehungen und mehr.

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Vektoren und Lagebeziehungen

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, einschließlich ihrer Eigenschaften, Skalarprodukt, Punktprobe und Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu orthogonalen Vektoren, parallelen Linien und mehr. Ideal für Studierende der analytischen Geometrie.

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Potenzfunktionen verstehen

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

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Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Samantha Klich

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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Mathematik

Vektorraumoperationen

orthogonale Vektoren

 

Mathe

•

1.023

•

25. Jan. 2026

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Vektoren und Geometrie sind überall um uns herum - von der GPS-Navigation bis hin zu 3D-Grafiken in Videospielen. Diese mathematischen Werkzeuge helfen dir dabei, Abstände, Winkel und räumliche Beziehungen zu verstehen und zu berechnen.

# Merkzettel Der Abstand zwischen zwei Punkten Ebene: Abstand von $A(a_1/a_2)$ $\overline{AB} = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2}$ und $B (

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Grundlagen der Vektorrechnung

Abstände berechnen ist eigentlich ganz einfach! In der Ebene nutzt du die Formel AB‾=(b1−a1)2+(b2−a2)2\overline{AB} = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2}, im Raum kommt einfach eine dritte Koordinate dazu. Das ist wie beim Satz des Pythagoras, nur erweitert.

Bei der Vektoraddition legst du die Pfeile einfach aneinander - der Summenvektor zeigt vom Anfang des ersten zum Ende des zweiten Vektors. So ähnlich funktioniert auch die Subtraktion, nur dass der Differenzvektor vom Ende des zweiten zum Ende des ersten Vektors führt.

Das Skalarprodukt gibt's in zwei Formen: Die Kosinusform a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡γ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \gamma und die praktischere Koordinatenform, wo du einfach die entsprechenden Koordinaten multiplizierst und addierst. Wenn das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander!

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Geraden im Raum

Geradengleichungen schreibst du als x⃗=a⃗+r⋅m⃗\vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{m}, wobei a⃗\vec{a} der Stützvektor und m⃗\vec{m} der Richtungsvektor ist. Für die Zweipunktegleichung durch A und B nutzt du x⃗=a⃗+r⋅(b⃗−a⃗)\vec{x} = \vec{a} + r \cdot (\vec{b} - \vec{a}).

Die Lagebeziehung zweier Geraden checkst du systematisch: Erst schaust du, ob die Richtungsvektoren kollinear sind (dann parallel). Falls nicht, setzt du die Geradengleichungen gleich. Lässt sich das Gleichungssystem eindeutig lösen, schneiden sich die Geraden. Sonst sind sie windschief.

Den Schnittwinkel berechnest du mit cos⁡γ=∣m1⃗⋅m2⃗∣∣m1⃗∣⋅∣m2⃗∣\cos \gamma = \frac{|\vec{m_1} \cdot \vec{m_2}|}{|\vec{m_1}| \cdot |\vec{m_2}|}. Die Betragsstriche sorgen dafür, dass du immer den spitzen Winkel erhältst (zwischen 0° und 90°).

Praxistipp: Beim Flächeninhalt eines Dreiecks hilft die Formel A=12∣a⃗∣2⋅∣b⃗∣2−(a⃗⋅b⃗)2A = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}. Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 gilt.

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Ebenen und ihre Darstellungen

Ebenengleichungen haben drei verschiedene Formen, die alle gleichwertig sind. Die Parametergleichung E:x⃗=p⃗+r⋅u⃗+s⋅v⃗E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} ist oft am anschaulichsten. Die Normalengleichung E:(x⃗−p⃗)⋅n⃗=0E: (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0 nutzt einen Normalenvektor, der senkrecht zur Ebene steht.

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Den Normalenvektor aus zwei Spannvektoren berechnest du mit dem Kreuzprodukt n⃗=u⃗×v⃗\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}. Dieser steht automatisch senkrecht zu beiden Spannvektoren und damit zur ganzen Ebene.

Umrechnungstrick: Du kannst jederzeit zwischen den drei Darstellungsformen wechseln. Von der Koordinatengleichung zur Normalengleichung musst du nur einen passenden Stützvektor finden - nimm einfach einen Punkt, der die Gleichung erfüllt!

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Analytische Geometrie: Vektoren & Ebenen

Diese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der analytischen Geometrie, einschließlich Punkte und Vektoren, Geraden und Ebenen, Abstände zwischen Punkten und Ebenen sowie Winkelbeziehungen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur und das Verständnis linearer Algebra. Themen: Orthogonalität, Lagebeziehungen und Parametergleichungen.

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Vektoren: Grundlagen und Anwendungen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektoren, einschließlich Addition, Subtraktion, Geradengleichungen, Skalarprodukt und Abstandsberechnung. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu linearer Abhängigkeit, Orthogonalität und den Lagebeziehungen von Geraden. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Mathematik.

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Winkel zwischen Vektoren

Erfahren Sie, wie man den Winkel zwischen Vektoren berechnet, einschließlich der Verwendung des Skalarprodukts und der Beträge. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Vektorwinkelberechnung, orthogonale Vektoren und spezielle Fälle. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Vektoren und Geometrie

Vertiefte Zusammenfassung zu Vektoren, Geraden, Ebenen und deren Lagebeziehungen. Erlerne die Berechnung von Abständen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen sowie die Anwendung der Hesse'schen Normalenform. Ideal für Abiturvorbereitung in der Vektorgeometrie.

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Vektorielle Geometrie: Grundlagen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der vektoriellen Geometrie, einschließlich der Normalgleichung von Ebenen, Koordinatengleichungen, Abstandsberechnungen, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen sowie dem Hesse'schen Normalform. Ideal für das Abitur 2023 im Leistungskurs. Themen: Vektoren, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, orthogonale Beziehungen und mehr.

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Vektoren und Lagebeziehungen

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, einschließlich ihrer Eigenschaften, Skalarprodukt, Punktprobe und Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu orthogonalen Vektoren, parallelen Linien und mehr. Ideal für Studierende der analytischen Geometrie.

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

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App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Thomas R

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David K

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Rohan U

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Elisha

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Paul T

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