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Vektoren Klausur für Mathe Klasse 11 und 12 mit Lösungen

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Jil

27.2.2021

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Winkel zwischen zwei vektoren

Vektoren Klausur für Mathe Klasse 11 und 12 mit Lösungen

This document covers key concepts in vector mathematics, including coordinate systems, parallelograms, reflections, parallel lines, and the centroid of a triangle. It provides detailed explanations and examples for solving vector problems in 3D space. The material is suitable for advanced high school or early university-level mathematics courses.

Key points:
• Plotting points and shapes in 3D coordinate systems
• Calculating parallel and perpendicular vectors
• Finding reflection points across planes
• Deriving parametric equations for lines
• Determining if points lie on given lines
• Proving when lines are parallel
• Calculating the centroid (center of mass) of a triangle

Highlight: The document emphasizes showing clear calculation steps and explaining reasoning, which is crucial for exam preparation.

Vocabulary: Important terms include parametric equations, direction vectors, position vectors, and centroid.

...

27.2.2021

18641

GK Mathematik Achten Sie auf nachvollziehbare Rechenwege! 1. Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(4 | 5 | 3), B(-1|3|-4) und C(3

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Page 2: Vector Calculations and Line Equations

This page focuses on vector calculations and deriving equations for lines in 3D space.

Key topics covered: • Calculating direction vectors from two points • Formulating parametric equations for lines • Determining if a point lies on a given line

Example: For a line through points A1∣4∣01|4|0 and B0∣1∣20|1|2, the direction vector AB is calculated as −1,−3,2-1, -3, 2.

Vocabulary: The "Ortsvektor" positionvectorposition vector represents the coordinates of a point, while the "Richtungsvektor" directionvectordirection vector indicates the direction of a line.

Highlight: The page emphasizes the importance of explaining the meaning of each component in a parametric equation.

GK Mathematik Achten Sie auf nachvollziehbare Rechenwege! 1. Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(4 | 5 | 3), B(-1|3|-4) und C(3

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Page 3: Parallel Lines and Linear Systems

This page delves into proving that lines are parallel and solving systems of linear equations.

Key concepts: • Criteria for parallel lines in vector form • Solving linear systems to find intersection points • Determining points on a line that lie in a specific plane

Definition: Two lines are parallel if their direction vectors are scalar multiples of each other.

Example: To prove lines a and b are parallel, their direction vectors 2,1,−22, 1, -2 and 6,3,−66, 3, -6 are compared, showing a scalar relationship of 3.

Highlight: The page demonstrates how to use substitution and elimination methods to solve systems of linear equations arising from vector problems.

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Page 4: Collinearity and Vector Operations

This page focuses on determining collinearity of points and performing various vector operations.

Key topics: • Testing for collinearity using vector equations • Solving parametric equations to find specific points • Vector addition and scalar multiplication

Vocabulary: Collinear points lie on the same straight line.

Example: To check if three points are collinear, their position vectors are used to form an equation: A + tB−AB-A = C, where t is a scalar parameter.

Highlight: The page emphasizes the importance of verifying solutions by substituting results back into original equations.

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Page 5: Intersection of Lines and Planes

This page covers the intersection of lines with planes and verifying calculated results.

Key concepts: • Determining the intersection point of a line and a plane • Using parametric equations to solve for intersection points • Verifying results through substitution

Example: The intersection of a line a: x = 3,1,23, 1, 2 + t3,2,13, 2, 1 with a plane is found by solving for the parameter t and then substituting back into the line equation.

Highlight: The page stresses the importance of checking solutions by substituting the calculated intersection point into both the line and plane equations.

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Page 6: Triangle Geometry and Centroid Calculation

This page focuses on triangle geometry, particularly the calculation of the centroid.

Key topics: • Visualizing triangles in 3D space • Calculating midpoints of triangle sides • Finding the centroid using vector operations

Definition: The centroid of a triangle divides each median in a 2:1 ratio, with the longer segment closer to the vertex.

Example: For triangle ABC with vertices A4∣5∣34|5|3, B−1∣3∣−4-1|3|-4, and C3∣−1∣−23|-1|-2, the centroid S is calculated using vector operations.

Highlight: The page provides a step-by-step approach to finding the centroid, emphasizing the use of vector addition and scalar multiplication.

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Page 7: Advanced Vector Problems and Solution Strategies

This page covers more advanced vector problems and outlines strategies for solving complex geometric questions.

Key topics: • Reflection of points across planes • Parallel lines in specific planes • General approach to solving centroid problems

Example: To reflect point A4∣5∣34|5|3 across the x₁x₃-plane, only the x₂-coordinate changes sign, resulting in A'4∣−5∣34|-5|3.

Highlight: The page provides a general strategy for finding the centroid of a triangle:

  1. Calculate the midpoints of all sides
  2. Form equations for the medians
  3. Set up a system of linear equations
  4. Solve the system to find the centroid coordinates

Vocabulary: A median of a triangle is a line segment that connects a vertex to the midpoint of the opposite side.

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Definition: Two lines are parallel if their direction vectors are scalar multiples of each other.

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  1. Calculate the midpoints of all sides
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Page 1: Introduction and Problem Setup

This page introduces a set of vector geometry problems for a mathematics exam. The questions cover various aspects of 3D vector calculations and geometric concepts.

Key points: • A triangle ABC is given with vertices A4∣5∣34|5|3, B−1∣3∣−4-1|3|-4, and C3∣−1∣−23|-1|-2 • Students must plot the triangle, find a fourth point to form a parallelogram, and reflect point A • A parametric equation for a line parallel to the x₁-axis through point B is required • The concept of the centroid SchwerpunktSchwerpunkt of a triangle is introduced

Definition: The centroid of a triangle is the intersection point of its medians, which connect each vertex to the midpoint of the opposite side.

Highlight: The centroid divides each median in a 2:1 ratio, with the longer segment closer to the vertex.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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