Vektoren und Einheitsvektoren im dreidimensionalen Raum
Die Vektoren zwischen zwei Punkten berechnen ist ein fundamentales Konzept der analytischen Geometrie. Im dreidimensionalen Koordinatensystem lässt sich jeder Vektor durch seine drei Komponenten (x,y,z) eindeutig beschreiben. Der Ortsvektor OA beschreibt dabei die Position eines Punktes A vom Ursprung O aus.
Definition: Ein Einheitsvektor und Ortsvektor ist ein Vektor mit der Länge 1, der die Richtung eines beliebigen Vektors angibt. Man erhält ihn durch Division des Vektors durch seinen Betrag.
Die Berechnung von Vektoren zwischen zwei Punkten A und B erfolgt durch Subtraktion ihrer Koordinaten: AB = B - A. Dabei spielt die Reihenfolge eine wichtige Rolle, da AB = -BA gilt. Die Komponenten des resultierenden Vektors geben die Verschiebung in x-, y- und z-Richtung an.
Für praktische Anwendungen ist oft die Winkelberechnung zwischen Vektoren relevant. Der Winkel α zwischen zwei Vektoren lässt sich über das Skalarprodukt berechnen: cos(α) = (a·b)/(|a|·|b|). Diese Formel findet beispielsweise in der Mechanik oder Computergrafik Anwendung.
Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(1,2,3) und B(4,5,6). Der Vektor AB ergibt sich durch:
AB = B - A = (4-1, 5-2, 6-3) = (3,3,3)